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From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 31 Aug 2021 11:05:57 +0200
Subject: =?UTF-8?q?Kapitel=202=20=C3=BCberarbeitet?=
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 buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex | 37 ++++++++++++++--------------
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+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
@@ -395,7 +395,7 @@ a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\
 a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}\\
 \end{pmatrix}
 \]
-mit $a_{ij}\in\Bbbk$.
+mit $a_{i\!j}\in\Bbbk$.
 Die Menge aller $m\times n$-Matrizen wird mit
 \[
 M_{m\times n}(\Bbbk)
@@ -413,7 +413,7 @@ $M_n(\Bbbk) = M_{n\times n}(\Bbbk)$ ab.
 Die $m$-dimensionalen Spaltenvektoren $v\in \Bbbk^m$ sind $m\times 1$-Matrizen
 $v\in M_{n\times 1}(\Bbbk)$, die $n$-dimensionalen Zeilenvetoren $u\in\Bbbk^n$
 sind $1\times n$-Matrizen $v\in M_{1\times n}(\Bbbk)$.
-Eine $m\times n$-Matrix $A$ mit den Koeffizienten $a_{ij}$ besteht aus
+Eine $m\times n$-Matrix $A$ mit den Koeffizienten $a_{i\!j}$ besteht aus
 den $n$ Spaltenvektoren
 \[
 a_1 = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix},\quad
@@ -469,7 +469,7 @@ $n\times l$-Matrix $B\in M_{n\times l}(\Bbbk)$ haben als Produkt
 eine $m\times l$-Matrix $C=AB\in M_{m\times l}(\Bbbk)$ mit den
 Koeffizienten
 \begin{equation}
-c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}.
+c_{i\!j} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}.
 \label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:matrixmultiplikation}
 \end{equation}
 \end{definition}
@@ -477,34 +477,34 @@ c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}.
 Die Koeffizienten $a_{ik}$ kommen aus der Zeile $i$ von $A$, die Koeffizienten
 $b_{kj}$ stehen in der Spalte $j$ von $B$, die Multiplikationsregel
 \eqref{buch:vektoren-unbd-matrizen:eqn:matrixmultiplikation}
-besagt also, dass das Element $c_{ij}$ entsteht als das Produkt
+besagt also, dass das Element $c_{i\!j}$ entsteht als das Produkt
 der Zeile $i$ von $A$ mit der Spalte $j$ von $C$.
 
 \subsubsection{Einheitsmatrix}
 Welche $m\times m$-Matrix $I\in M_{m}(\Bbbk)$ hat die Eigenschaft, dass
 $IA=A$ für jede beliebige Matrix $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$.
-Wir bezeichnen die Einträge von $I$ mit $\delta_{ij}$.
+Wir bezeichnen die Einträge von $I$ mit $\delta_{i\!j}$.
 Die Bedingung $IA=A$ bedeutet
 \[
-a_{ij} = \delta_{i1}a_{1j} + \dots + \delta_{im}a_{mj},
+a_{i\!j} = \delta_{i1}a_{1j} + \dots + \delta_{im}a_{mj},
 \]
-Da auf der linken Seite nur $a_{ij}$ vorkommt, müssen alle Terme auf der
-rechten Seite verschwinden ausser dem Term mit $a_{ij}$, dessen
+Da auf der linken Seite nur $a_{i\!j}$ vorkommt, müssen alle Terme auf der
+rechten Seite verschwinden ausser dem Term mit $a_{i\!j}$, dessen
 Koeffizient $\delta_{ii}=1$ sein muss.
 Die Koeffizienten sind daher
 \[
-\delta_{ij}
+\delta_{i\!j}
 =
 \begin{cases}
 1&\qquad i=j\\
 0&\qquad\text{sonst}
 \end{cases}
 \]
-Die Zahlen $\delta_{ij}$ heissen auch das {\em Kronecker-Symbol} oder
+Die Zahlen $\delta_{i\!j}$ heissen auch das {\em Kronecker-Symbol} oder
 {\em Kronecker-Delta}.
 \index{Kronecker-$\delta$}%
 \index{Kronecker-Symbol}%
-Die Matrix $I$ hat die Einträge $\delta_{ij}$ und heisst die
+Die Matrix $I$ hat die Einträge $\delta_{i\!j}$ und heisst die
 {\em Einheitsmatrix}
 \index{Einheitsmatrix}%
 \[
@@ -608,7 +608,7 @@ das Tableau benötigt, alle Schritte operieren direkt auf den Daten
 des Tableaus.
 
 In jedem Schritt des Algorithmus wird zunächst eine Zeile $i$ und
-Spalte $j$ ausgewählt, das Elemente $a_{ij}$ heisst das {\em Pivotelement}.
+Spalte $j$ ausgewählt, das Elemente $a_{i\!j}$ heisst das {\em Pivotelement}.
 \index{Pivotelement}%
 Die {\em Pivotdivision}
 \index{Pivotdivision}
@@ -617,7 +617,7 @@ Die {\em Pivotdivision}
 \hline
 a_{11}&\dots &a_{1j}&\dots &a_{1n}&b_1   \\[-2pt]
 \vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
-a_{i1}&\dots &{\color{red}a_{ij}}&\dots &a_{in}&b_i   \\[-2pt]
+a_{i1}&\dots &{\color{red}a_{i\!j}}&\dots &a_{in}&b_i   \\[-2pt]
 \vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
 a_{m1}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}&b_m   \\
 \hline
@@ -627,7 +627,7 @@ a_{m1}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}&b_m   \\
 \hline
 a_{11}&\dots &a_{1j}&\dots &a_{1n}&b_1   \\[-2pt]
 \vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
-{\color{red}\frac{a_{i1}}{a_{ij}}}&\dots &{\color{red}1}&\dots &{\color{red}\frac{a_{in}}{a_{ij}}}&{\color{red}\frac{b_i}{a_{ij}}}\\[-2pt]
+{\color{red}\frac{a_{i1}}{a_{i\!j}}}&\dots &{\color{red}1}&\dots &{\color{red}\frac{a_{in}}{a_{i\!j}}}&{\color{red}\frac{b_i}{a_{i\!j}}}\\[-2pt]
 \vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
 a_{m1}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}&b_m   \\
 \hline
@@ -864,7 +864,7 @@ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}&0     &0     &\dots &1     \\
 \end{tabular}
 \]
 Die Vektoren $c_k$ sind die Spaltenvektoren der Matrix $C$ mit den
-Einträgen $c_{ij}$.
+Einträgen $c_{i\!j}$.
 
 Mit den Vektoren $c_k$ können jetzt beliebige inhomogene Gleichungssysteme
 $Ax=b$ gelöst werden.
@@ -1046,7 +1046,7 @@ Die Inverse der $n\times n$-Matrix $A$ ist gegeben durch
 \index{Formel für die inverse Matrix}%
 \index{inverse Matrix, Formel für}%
 \begin{equation}
-(A^{-1})_{ij}
+(A^{-1})_{i\!j}
 =
 \frac{1}{\det(A)}
 \begin{pmatrix}
@@ -1367,9 +1367,10 @@ Basis in die gestrichen umzurechnen gestattet.
 Ist $A$ die Matrix von $A$ in den Basen $\mathcal{B}$ und $\mathcal{C}$,
 dann ist Matrix der gleichen Abbildung in den Basen $\mathcal{B}'$
 und $\mathcal{C}'$ gegeben durch die Matrix
-\[
+\begin{equation}
 A' = T_VAT_U^{-1}.
-\]
+\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:basiswechselabb}
+\end{equation}
 
 \subsubsection{Umkehrabbbildung}
 Sei $f$ eine umkehrbare lineare Abbildung $U\to V$ und $g\colon V\to U$.
-- 
cgit v1.2.1

