From d732a94f72bcb414ada8f8f638fc2a034426686f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 18 Oct 2021 19:52:32 +0200
Subject: typos chapters 1-5

---
 buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex | 44 +++++++++++++++-------------
 1 file changed, 23 insertions(+), 21 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex')

diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
index dcb2e8a..26dfcec 100755
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
@@ -62,7 +62,7 @@ u = \begin{pmatrix}u_1&u_2&\dots&u_m\end{pmatrix} \in \Bbbk^m.
 Für Vektoren gleicher Dimension sind zwei Rechenoperationen definiert.
 Die {\em Addition von Vektoren} $a,b\in\Bbbk^n$  und die Multiplikation
 \index{Addition von Vektoren}%
-eines Vektors mit einem Skalar $\lambda\in\Bbbk$ erfolgt elementweise:
+eines Vektors mit einem Skalar $\lambda\in\Bbbk$ erfolgen elementweise:
 \[
 a+b
 =
@@ -161,7 +161,7 @@ kann als (abstrakter) Vektor betrachtet werden.
 
 \begin{definition}
 Eine Menge $V$ von Objekten, auf der zwei Operationen definiert sind,
-nämlich die Addition, geschrieben $a+b$ für $a,b\in V$ und die
+nämlich die Addition, geschrieben $a+b$ für $a,b\in V$, und die
 Multiplikation mit Skalaren, geschrieben $\lambda a$ für $a\in V$ und
 $\lambda\in \Bbbk$, heisst ein {\em $\Bbbk$-Vektorraum} oder {\em Vektorraum
 über $\Bbbk$} (oder
@@ -205,7 +205,7 @@ Die Vektorraum-Rechenregeln
 \end{beispiel}
 
 Die Beispiele zeigen, dass der Begriff des Vektorraums die algebraischen
-Eigenschaften eine grosse Zahl sehr verschiedenartiger mathematischer
+Eigenschaften einer grossen Zahl sehr verschiedenartiger mathematischer
 Objekte beschreiben kann.
 Alle Erkenntnisse, die man ausschliesslich aus Vektorraumeigenschaften
 gewonnen hat, sind auf alle diese Objekte übertragbar.
@@ -315,7 +315,7 @@ $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\Bbbk$ gibt, die nicht alle $0$ sind, so dass
 \lambda_1a_1+\dots+\lambda_na_n = 0.
 \label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:linabhdef}
 \end{equation}
-Die Vektoren heissen linear abhängig, wenn aus
+Die Vektoren heissen {\em linear abhängig}, wenn aus
 \eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:linabhdef}
 folgt, dass alle $\lambda_1=0,\dots,\lambda_n=0$ sind.
 \end{definition}
@@ -412,8 +412,8 @@ $M_n(\Bbbk) = M_{n\times n}(\Bbbk)$ ab.
 \end{definition}
 
 Die $m$-dimensionalen Spaltenvektoren $v\in \Bbbk^m$ sind $m\times 1$-Matrizen
-$v\in M_{n\times 1}(\Bbbk)$, die $n$-dimensionalen Zeilenvektoren $u\in\Bbbk^n$
-sind $1\times n$-Matrizen $v\in M_{1\times n}(\Bbbk)$.
+$v\in M_{n\times 1}(\Bbbk)$, die $n$-dimensio\-nalen Zeilenvektoren
+$u\in\Bbbk^n$ sind $1\times n$-Matrizen $v\in M_{1\times n}(\Bbbk)$.
 Eine $m\times n$-Matrix $A$ mit den Koeffizienten $a_{i\!j}$ besteht aus
 den $n$ Spaltenvektoren
 \[
@@ -428,7 +428,7 @@ Sie besteht auch aus den $m$ Zeilenvektoren
 mit $k=1,\dots,m$.
 
 \subsubsection{Addition und Multiplikation mit Skalaren}
-Die $m\times n$-Matrizen $M_{m\times n}(\Bbbk)$ bilden eine Vektorraum,
+Die $m\times n$-Matrizen $M_{m\times n}(\Bbbk)$ bilden einen Vektorraum,
 die Addition von Matrizen und die Multiplikation wird wie folgt definiert.
 
 \begin{definition}
@@ -479,15 +479,15 @@ Die Koeffizienten $a_{ik}$ kommen aus der Zeile $i$ von $A$, die Koeffizienten
 $b_{k\!j}$ stehen in der Spalte $j$ von $B$, die Multiplikationsregel
 \eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:matrixmultiplikation}
 besagt also, dass das Element $c_{i\!j}$ als das Produkt
-der Zeile $i$ von $A$ mit der Spalte $j$ von $C$ entsteht.
+der Zeile $i$ von $A$ mit der Spalte $j$ von $B$ entsteht.
 
 \subsubsection{Einheitsmatrix}
 Welche $m\times m$-Matrix $I\in M_{m}(\Bbbk)$ hat die Eigenschaft, dass
-$IA=A$ für jede beliebige Matrix $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$.
+$IA=A$ für jede beliebige Matrix $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$?
 Wir bezeichnen die Einträge von $I$ mit $\delta_{i\!j}$.
 Die Bedingung $IA=A$ bedeutet
 \[
-a_{i\!j} = \delta_{i1}a_{1j} + \dots + \delta_{im}a_{mj},
+a_{i\!j} = \delta_{i1}a_{1j} + \dots + \delta_{im}a_{mj}.
 \]
 Da auf der linken Seite nur $a_{i\!j}$ vorkommt, müssen
 auf der rechten Seite alle Terme
@@ -605,12 +605,12 @@ a_{m1}&\dots &a_{mn}&b_m   \\
 eingetragen.
 Die vertikale Linie erinnert an die Position des Gleichheitszeichens.
 Das Tableau beinhaltet alle Informationen zur Durchführung des Algorithmus.
-Der Algorithmus is so gestaltet, dass er nicht mehr Speicher als
+Der Algorithmus ist so gestaltet, dass er nicht mehr Speicher als
 das Tableau benötigt, alle Schritte operieren direkt auf den Daten
 des Tableaus.
 
 In jedem Schritt des Algorithmus wird zunächst eine Zeile $i$ und
-Spalte $j$ ausgewählt, das Elemente $a_{i\!j}$ heisst das {\em Pivotelement}.
+Spalte $j$ ausgewählt, das Element $a_{i\!j}$ heisst das {\em Pivotelement}.
 \index{Pivotelement}%
 Die {\em Pivotdivision}
 \index{Pivotdivision}
@@ -698,7 +698,7 @@ Der Lösungsvektor kann also in der Spalte ganz rechts abgelesen werden.
 Falls in einer Spalte kein weiteres von $0$ verschiedenes Pivotelement
 zur Verfügung steht, wird die Zeile übersprungen.
 Weisse Felder enthalten $0$, dunkelgraue $1$.
-Die roten Kreise bezeichnen Pivot-Elemente, die blauen Felder
+Die roten Kreise bezeichnen Pivot-Elemente, die blauen Felder,
 die mit einer Zeilensubtraktion zu $0$ gemacht werden sollen.
 \label{buch:grundlagen:fig:gaussalgorithmus}}
 \end{figure}
@@ -954,7 +954,7 @@ wird auch der Wert der Determinanten mit $\lambda$ multipliziert.
 \item
 \label{buch:linear:determinante:asymetrisch}
 Die Determinante ist eine lineare Funktion der Zeilen von $A$.
-Zusammen mit der Eigeschaft~\ref{buch:linear:determinante:vorzeichen}
+Zusammen mit der Eigenschaft~\ref{buch:linear:determinante:vorzeichen}
 folgt, dass die Determinante eine antisymmetrische lineare Funktion
 der Zeilen ist.
 \item
@@ -1049,7 +1049,8 @@ Die Inverse der $n\times n$-Matrix $A$ ist gegeben durch
 \index{Formel für die inverse Matrix}%
 \index{inverse Matrix, Formel für}%
 \begin{equation}
-(A^{-1})_{i\!j}
+%(A^{-1})_{i\!j}
+A^{-1}
 =
 \frac{1}{\det(A)}
 \begin{pmatrix}
@@ -1059,7 +1060,7 @@ Die Inverse der $n\times n$-Matrix $A$ ist gegeben durch
 	& (-1)^{2+n} \det(A_{n2}) \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 (-1)^{1+j}\det(A_{1j}) & (-1)^{2+j}\det(A_{2j}) & \dots
-	& (-1)^{i+j} \det(A_{ji})
+	& (-1)^{i+j} \det(A_{ij})
 	& \dots & (-1)^{j+n} \det(A_{nj}) \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 (-1)^{1+n}\det(A_{1n}) & (-1)^{2+n}\det(A_{2n}) & \dots
@@ -1072,6 +1073,7 @@ Die Transponierte der Matrix auf der rechten Seite (ohne den Vorfaktor
 $1/\det(A)$)
 heisst die {\em Adjunkte} $\operatorname{adj}A$ von $A$.
 \index{Adjunkte}%
+Die Matrixelemente sind $(A^{-1})_{ji} = (-1)^{i+j}\det A_{ij}/\det A$.
 \end{satz}
 
 Der Satz~\ref{buch:linalg:inverse:adjunkte} liefert eine algebraische
@@ -1378,8 +1380,8 @@ A' = T_VAT_U^{-1}.
 \end{equation}
 
 \subsubsection{Umkehrabbbildung}
-Sei $f$ eine umkehrbare lineare Abbildung $f\colon U\to V$ und $g\colon V\to U$.
-die zugehörige Umkehrabbildung.
+Sei $f$ eine umkehrbare lineare Abbildung $f\colon U\to V$ und
+$g\colon V\to U$ die zugehörige Umkehrabbildung.
 \index{Umkehrabbildung}%
 Für zwei Vektoren $u$ und $w$ in $U$ setzen wir $a=g(u)\in V$
 und $b=g(w)\in V$.
@@ -1443,7 +1445,7 @@ Wir definieren daher das Bild einer linearen Abbildung oder Matrix
 wie folgt.
 
 \begin{definition}
-Ist $f\colon V\to U$ eine lineare Abbildung dann ist das Bild von $f$
+Ist $f\colon V\to U$ eine lineare Abbildung dann ist das {\em Bild} von $f$
 der Unterraum
 \[
 \operatorname{im}f = \{ f(v)  \mid v\in V\} \subset U
@@ -1468,7 +1470,7 @@ a+b       &= f(u)+f(v)=f(u+v)           && \Rightarrow &       a+b &\in\operator
 also ist auch das Bild $\operatorname{im}f$ ein Unterraum von $U$.
 Das Bild der Matrix $A$ ist der Unterraum
 \[
-\{ x_1f(b_1) + \dots x_n f(b_n) \,|\, x_i\in\Bbbk\}
+\{ x_1f(b_1) + \dots x_n f(b_n) \mid x_i\in\Bbbk\}
 =
 \langle f(b_1),\dots,f(b_n)\rangle
 =
@@ -1511,7 +1513,7 @@ Dimension des Lösungsraumes des homogenen Gleichungssystems mit
 Koeffizientenmatrix $A$.
 Dies ist auch die Anzahl der frei wählbaren Variablen nach
 der Durchführung des Gaussalgorithmus
-Die behauptete Bezieung kann man jetzt unmittelbar aus dem
+Die behauptete Beziehung kann man jetzt unmittelbar aus dem
 Schlusstableau
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.5]
-- 
cgit v1.2.1

