From 78a408188971844605dc913dc2a5ddcb99023150 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Sat, 30 Jan 2021 12:39:53 +0100
Subject: add more algebra stuff

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 buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex | 390 ++++++++++++++++++++++++++++
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index e53bde5..0a8ab1e 100644
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+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex
@@ -6,3 +6,393 @@
 \subsection{Ringe und Moduln
 \label{buch:grundlagen:subsection:ringe}}
 \rhead{Ringe}
+Die ganzen Zahlen haben ausser der Addition mit neutralem Element $0$
+auch noch eine Multiplikation mit dem neutralen Element $1$.
+Die Multiplikation ist aber nicht immer invertierbar und zwar
+nicht nur für $0$.
+Eine ähnliche Situation haben wir bei $M_n(\Bbbk)$ angetroffen.
+$M_n(\Bbbk)$ ist eine zunächst eine Gruppe bezüglich der Addition,
+hat aber auch noch eine Multiplikation, die nicht immer umkehrbar ist.
+Diese Art von Struktur nennt man einen Ring.
+
+\subsubsection{Definition eines Rings}
+
+\begin{definition}
+\index{Ring}%
+Eine Menge $R$ mit einer additiven Operation $+$ mit neutralem Element
+$0$ und einer multiplikativ geschriebenen Operation $\cdot$ heisst ein
+{\em Ring}, wenn folgendes gilt.
+\begin{enumerate}
+\item
+$R$ ist eine Gruppe bezüglich der Addition.
+\item
+$R\setminus\{0\}$ ist eine Halbgruppe.
+\item
+Es gelten die {\em Distributivgesetze}
+\[
+a(b+c)=ab+ac
+\qquad\text{und}\qquad
+(a+b)c=ac+bc
+\]
+für beliebige Elemente $a,b,c\in R$.
+\index{Distributivgesetz}%
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+
+Die Distributivgesetze stellen sicher, dass man in $R$ beliebig
+ausmultiplizieren kann.
+Man kann also so rechnen kann, wie man sich das gewohnt ist.
+Es stellt auch sicher, dass die Multiplikation mit $0$ immer $0$
+ergibt, denn es ist
+\[
+r0 = r(a-a) = ra-ra=0.
+\]
+
+Man beachte, dass weder verlangt wurde, dass die Multiplikation
+ein neutrales Element hat oder kommutativ ist.
+Der Ring $\mathbb{Z}$ erfüllt beide Bedingungen.
+Die Beispiele weiter unten werden zeigen, dass es auch Ringe gibt,
+in denen die Multiplikation nicht kommutativ ist, die Multiplikation
+kein neutrales Element hat oder beides.
+
+\begin{definition}
+\index{Ring mit Eins}%
+Ein Ring $R$ heisst ein Ring mit Eins, wenn die Multiplikation ein
+neutrales Element hat.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+\index{Ring!kommutativ}%
+\index{kommutativer Ring}%
+Ein Ring $R$ heisst kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ
+ist.
+\end{definition}
+
+\subsubsection{Beispiele von Ringen}
+
+\begin{beispiel}
+Alle Zahlenkörper aus Kapitel~\ref{buch:chapter:zahlen} sind kommutative
+Ringe mit Eins.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Die Menge $c(\mathbb{Z})$ der Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ mit
+Folgengliedern in $\mathbb{Z}$ wird eine Ring, wenn man die Addition
+und Multiplikation elementweise definiert, also
+\begin{align*}
+&\text{Addition:}
+&
+a+b&\text{\;ist die Folge mit Folgengliedern}&
+(a+b)_n &= a_nb_n \quad\text{für alle $n\in\mathbb{N}$}
+\\
+&\text{Multiplikation:}
+&
+a\cdot b&\text{\;ist die Folge mit Folgengliedern}&
+(a\cdot b)_n &=  a_nb_n \quad\text{für alle $n\in\mathbb{N}$}
+\end{align*}
+für $a,b\in c(\mathbb{Z})$.
+Die Algebra ist kommutativ und hat die konstante Folge 
+$u_n = 1\;\forall n$ als Eins.
+
+Wir betrachten jetzt ein Unterring $c_0(\mathbb{Z})\subset c(\mathbb{Z})$
+bestehend aus den Folgen, die nur für endlich viele Folgenglieder von
+$0$ verschieden sind.
+Für eine Folge $a\in c_0(\mathbb{Z})$ gibt es eine Zahl $N$ derart, dass
+$a_n=0$ für $n\ge N$.
+Die konstante Folge $u_n=1$, die in $c(\mathbb{Z})$ erfüllt diese
+Bedingung nicht, die Eins des Ringes $c(\mathbb{Z})$ ist also nicht in
+$c_0(\mathbb{Z})$.
+$c_0(\mathbb{Z})$ ist immer noch ein Ring, aber er hat kein Eins.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/10-vektorenmatrizen/images/gausszahlen.pdf}
+%\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.8]
+%\draw[->] (-8.5,0) -- (8.5,0) coordinate[label={$\Re z$}];
+%\draw[->] (0,-4.5) -- (0,4.5) coordinate[label={right:$\Im z$}];
+%\foreach \x in {-8,...,8}{
+%	\foreach \y in {-4,...,4}{
+%		\fill (\x,\y) circle[radius=0.05];
+%	}
+%}
+%
+%
+%\coordinate (O) at (0,0);
+%\coordinate (A) at (2,2);
+%\coordinate (B) at (-3,1);
+%\coordinate (C) at (-8,-4);
+%\coordinate (D) at (-1,3);
+%\draw[line width=0.5pt] (A)--(D)--(B);
+%\draw[->,color=red] (O) -- (A);
+%\draw[->,color=red] (O) -- (B);
+%\draw[->,color=blue] (O) -- (C);
+%\draw[->,color=darkgreen] (O) -- (D);
+%\fill[color=red] (A) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (B) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=blue] (C) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=darkgreen] (D) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=black] (O) circle[radius=0.08];
+%\node[color=red] at (A) [above right] {$z$};
+%\node[color=red] at (B) [above left] {$w$};
+%\node[color=darkgreen] at (D) [above] {$z+w$};
+%\node[color=blue] at (C) [below right] {$z\cdot w$};
+%
+%\end{tikzpicture}
+\caption{Der Ring der ganzen Gausschen Zahlen besteht aus den ganzahligen
+Gitterpunkten in der Gausschen Zahlenebene
+\label{buch:vektorenmatrizen:fig:ganzgauss}}
+\end{figure}
+Die Menge
+\[
+\mathbb{Z} + i\mathbb{Z}
+=
+\{a+bi\;|\; a,b\in\mathbb{Z}\}
+=
+\mathbb{Z}[i]
+\subset
+\mathbb{C}
+\]
+ist eine Teilmenge von $\mathbb{C}$ und erbt natürlich die 
+arithmetischen Operationen.
+Die Summe zweier solcher Zahlen $a+bi\in\mathbb{Z}[i]$ und
+$c+di\in\mathbb{Z}[i]$ ist
+$(a+bi)+(c+di)=(a+c) + (b+d)i\in \mathbb{Z}[i]$, weil $a+c\in\mathbb{Z}$
+und $b+d\in\mathbb{Z}$ ganze Zahlen sind.
+Ebenso ist das Produkt dieser Zahlen
+\(
+(a+bi)(c+di)
+=
+(ac-bd) + (ad+bc)i
+\in \mathbb{Z}[i]
+\)
+weil Realteil $ac-bd\in\mathbb{Z}$ und der Imaginärteil $ad+bc\in\mathbb{Z}$
+ganze Zahlen sind.
+Die Menge $\mathbb{Z}[i]$ ist also ein kommutative Ring mit Eins, er
+heisst der Ring der ganzen {\em Gaussschen Zahlen}.
+\index{Gausssche Zahlen}%
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Die Menge der Matrizen $M_n(\mathbb{Z})$ ist ein Ring mit Eins.
+Für $n>1$ ist er nicht kommutativ.
+Der Ring $M_2(\mathbb{Z})$ enthält den Teilring
+\[
+G
+=
+\biggl\{
+\begin{pmatrix}
+a&-b\\b&a
+\end{pmatrix}
+\;\bigg|\;
+a,b\in\mathbb{Z}
+\biggr\}
+=
+\mathbb{Z}+ \mathbb{Z}J
+\subset
+M_2(\mathbb{Z}).
+\]
+Da die Matrix $J$ die Relation $J^2=-E$ erfüllt, ist der Ring $G$
+nichts anderes als der Ring der ganzen Gaussschen Zahlen.
+Der Ring $\mathbb{Z}[i]$ ist also ein Unterring des Matrizenrings
+$M_2(\mathbb{Z})$.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Einheiten}
+In einem Ring mit Eins sind normalerweise nicht alle von $0$ verschiedenen
+Elemente intertierbar.
+Die Menge der von $0$ verschiedenen Elemente in $R$ wir mit $R^*$
+bezeichnet.
+\index{$R^*$}%
+Die Menge der invertierbaren Elemente verdient einen besonderen Namen.
+
+\begin{definition}
+Ist $R$ ein Ring mit Eins, dann heissen die Elemente von
+\[
+U(R) = \{ r\in R \;|\; \text{$r$ in $R$ invertierbar}\}.
+\]
+die {\em Einheiten} von $R$.
+\index{Einheit}%
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+$U(R)$ ist eine Gruppe, die sogenannte {\em Einheitengruppe}.
+\index{Einheitengruppe}%
+\end{satz}
+
+\begin{beispiel}
+Die Menge $M_2(\mathbb{Z})$ ist ein Ring mit Eins, die Einheitengruppe
+besteht aus den invertierbaren $2\times 2$-Matrizen. 
+Aus der Formel für 
+\[
+\begin{pmatrix}
+a&b\\
+c&d
+\end{pmatrix}^{-1}
+=
+\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
+d&-b\\
+-c&a
+\end{pmatrix}
+\]
+zeigt, dass $U(M_2(\mathbb{Z})) = \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Die Einheitengruppe von $M_n(\Bbbk)$ ist die allgemeine lineare Gruppe 
+$U(M_n(\Bbbk))=\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Nullteiler}
+Ein möglicher Grund, warum ein Element $r\in R$ nicht invertierbar
+ist, kann sein, dass es ein Element $s\in R$ gibt mit $rs=0$.
+Wäre nämlich $t$ ein inverses Element, dann wäre $0=t0 = t(rs) = (tr)s=s$.
+
+\begin{definition}
+Ein Element $r\in R^*$ heisst ein {\em Nullteiler} in $R$,
+wenn es ein $s\in R^*$ gibt mit $rs=0$
+Ein Ring ohne Nullteiler heisst {\em nullteilerfrei}.
+\end{definition}
+
+In $\mathbb{R}$ ist man sich gewohnt zu argumentieren, dass wenn ein
+Produkt $ab=0$ ist, dann muss einer der Faktoren $a=0$ oder $b=0$ sein.
+Dieses Argument funktioniert nur, weil $\mathbb{R}$ ein nullteilerfreier
+Ring ist.
+In $M_2(\mathbb{R})$ ist dies nicht mehr möglich.
+Die beiden Matrizen
+\[
+A=\begin{pmatrix}
+1&0\\0&0
+\end{pmatrix}
+,\qquad
+B=\begin{pmatrix}
+0&0\\0&1
+\end{pmatrix}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+AB=0
+\]
+sind Nullteiler in $M_2(\mathbb{Z})$.
+
+\subsubsection{Homomorphismus}
+Eine Abbildung zwischen Ringen muss die algebraische Struktur respektieren,
+wenn sich damit Eigenschaften vom einen Ring auf den anderen transportieren
+lassen sollen.
+
+\begin{definition}
+Eine Abbildung $\varphi:R \to S$ zwischen Ringen heisst ein
+{\em Homomorphismus}
+\index{Homomorphismus}%
+oder {\em Ringhomomorphismus},
+\index{Ringhomomorphismus}%
+wenn $\varphi$ ein Gruppenhomomorphismus der additiven Gruppen der Ringe
+ist und ausserdem gilt
+\[
+\varphi(r_1r_2) = \varphi(r_1)\varphi(r_2).
+\]
+Der Kern ist die Menge
+\[
+\ker\varphi = \{ r\in R\;|\; \varphi(r)=0\}
+\]
+\index{Kern}%
+\end{definition}
+
+Wieder hat der Kern zusätzliche Eigenschaften.
+Er ist natürlich bezüglich der additiven Struktur des Ringes ein
+Normalteiler, aber weil die additive Gruppe ja abelsch ist, ist das
+keine wirkliche Einschränkung.
+Für ein beliebiges Element $r\in R$ und $k\in \ker\varphi$ gilt
+\begin{align*}
+\varphi(kr) &= \varphi(k)\varphi(r) = 0\cdot\varphi(r) = 0
+\\
+\varphi(rk) &= \varphi(r)\varphi(k) = \varphi(r)\cdot 0 = 0.
+\end{align*}
+Für den Kern gilt also, dass $\ker\varphi\cdot R\subset \ker\varphi$
+und $R\cdot\ker\varphi\subset\ker\varphi$.
+
+\subsubsection{Ideale}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/10-vektorenmatrizen/images/ideale.pdf}
+\caption{Ideale im Ring der ganzen Gaussschen Zahlen $\mathbb{Z}[i]$.
+Für jedes Element $r\in \mathbb{Z}[i]$ ist die Menge  $r\mathbb{Z}[i]$
+ein ein Ideal in $\mathbb{Z}[i]$.
+Links das Ideal $(1+2i)\mathbb{Z}[i]$ (blau), rechts das Ideal
+$(1+i)\mathbb{Z}[i]$ (rot).
+\label{buch:vektorenmatrizen:fig:ideale}}
+\end{figure}
+Bei der Betrachtung der additiven Gruppe des Ringes $\mathbb{Z}$ der
+ganzen Zahlen wurde bereits die Untergruppe $n\mathbb{Z}$ diskutiert
+und die Faktorgruppe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ der Reste konstruiert.
+Reste können aber auch multipliziert werden, es muss also auch möglich
+sein, der Faktorgruppe eine multiplikative Struktur zu verpassen.
+
+Sei jetzt also $I\subset R$ ein Unterring.
+Die Faktorgruppe $R/I$ hat bereits die additive Struktur, es muss
+aber auch die Multiplikation definiert werden.
+Die Elemente $r_1+I$ und $r_2+I$ der Faktorgruppe $R/I$ haben das
+Produkt
+\[
+(r_1+I)(r_2+I)
+=
+r_1r_2 + r_1I + Ir_2 + II.
+\]
+Dies stimmt nur dann mit $r_1r_2+I$ überein, wenn $r_1I\subset I$ und
+$r_2I\subset I$ ist.
+
+\begin{definition}
+Ein Unterring $I\subset R$ heisst ein {\em Ideal}, wenn für jedes $r\in R$ gilt
+$rI\subset I$ und $Ir\subset I$ gilt.
+\index{Ideal}%
+Die Faktorgruppe $R/I$ erhält eine natürliche Ringstruktur, $R/I$ 
+heisst der {\em Quotientenring}.
+\index{Quotientenring}%
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+Die Menge $n\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z}$ besteht aus den durch $n$ teilbaren
+Zahlen.
+Multipliziert man durch $n$ teilbare Zahlen mit einer ganzen Zahl,
+bleiben sie durch $n$ teilbar, $n\mathbb{Z}$ ist also ein Ideal in
+$\mathbb{Z}$.
+Der Quotientenring ist der Ring der Reste bei Teilung durch $n$,
+er wird in 
+Kapitel~\ref{buch:chapter:endliche-koerper}
+im Detail untersucht.
+\end{beispiel}
+
+Ein Ideal $I\subset R$ drückt als die Idee ``gemeinsamer Faktoren''
+auf algebraische Weise aus und der Quotientenring $R/I$ beschreibt
+das, was übrig bleibt, wenn man diese Faktoren ignoriert.
+
+\begin{beispiel}
+In Abbildung~\ref{buch:vektorenmatrizen:fig:ideale} sind zwei
+Ideale im Ring der ganzen Gaussschen Zahlen dargestellt.
+Die blauen Punkte sind $I_1=(1+2i)\mathbb{Z}$ und die roten Punkte sind
+$I_2=(1+i)\mathbb{Z}$.
+Die Faktorgruppen $R/I_1$ und $R/I_2$ fassen jeweils Punkte, die sich
+um ein Element von $I_1$ bzw.~$I_2$ unterscheiden, zusammen.
+
+Im Falle von $I_2$ gibt es nur zwei Arten von Punkten, nämlich
+die roten und die schwarzen, der Quotientenring hat
+daher nur zwei Elemente, $R/I_2 = \{0+I_2,1+I_2\}$.
+Wegen $1+1=0$ in diesem Quotientenring, ist $R/I_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
+
+Im Falle von $I_1$ gibt es fünf verschiedene Punkte, als Menge ist
+\[
+R/I_1 
+=
+\{
+0+I_1,
+1+I_1,
+2+I_1,
+3+I_1,
+4+I_1
+\}.
+\]
+Die Rechenregeln sind also dieselben wie im Ring $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$.
+In gewisser Weise verhält sich die Zahl $1+2i$ in den ganzen 
+Gaussschen Zahlen bezüglich Teilbarkeit ähnlich wie die Zahl $5$ in den
+ganzen Zahlen.
+\end{beispiel}
+
-- 
cgit v1.2.1

