From 39f232312a86c70c271f8edef77b233e1dd40c1c Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Sat, 25 Sep 2021 20:41:52 +0200
Subject: 2. Lesung

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 buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex |  6 +++---
 buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex  | 12 ++++++------
 buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex   |  6 +++---
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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
index 9a9bef3..d7c9266 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
@@ -98,7 +98,7 @@ Die Menge der invertierbaren Matrizen
 \operatorname{GL}_n(\Bbbk)
 =
 \{
-A\in M_n(\Bbbk)\;|\; \text{$A$ invertierbar}
+A\in M_n(\Bbbk) \mid \text{$A$ invertierbar}
 \}
 \]
 ist bezüglich der Multiplikation eine Gruppe.
@@ -224,7 +224,7 @@ Ist $\varphi\colon G\to H$ ein Homomorphisus, dann ist
 \[
 \ker\varphi
 =
-\{g\in G\;|\; \varphi(g)=e\}
+\{g\in G \mid \varphi(g)=e\}
 \]
 eine Untergruppe.
 \index{Kern}%
@@ -290,7 +290,7 @@ also $H$ ein Normalteiler ist.
 Für eine Gruppe $G$ mit Normalteiler  $H\triangleleft G$ ist die
 Menge
 \[
-G/H = \{ gH \;|\; g\in G\}
+G/H = \{ gH \mid g\in G\}
 \]
 eine Gruppe mit der Verknüpfung $g_1H\cdot g_2H=(g_1g_2)H$.
 $G/H$ heisst {\em Faktorgruppe} oder {\em Quotientengruppe}.
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
index 33169bd..dcb2e8a 100755
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
@@ -268,7 +268,7 @@ Sind $a_1,\dots,a_n\in V$ Vektoren, dann heisst die Menge
 \[
 \langle a_1,\dots,a_n\rangle
 =
-\{x_1a_1+\dots+x_na_n\;|\; x_1,\dots,x_n\in\Bbbk\}
+\{x_1a_1+\dots+x_na_n \mid x_1,\dots,x_n\in\Bbbk\}
 \]
 aller Vektoren, die sich durch Linearkombination aus den Vektoren
 $a_1,\dots,a_n$ gewinnen lassen, der von $a_1,\dots,a_n$
@@ -403,7 +403,7 @@ M_{m\times n}(\Bbbk)
 =
 M_{m,n}(\Bbbk)
 =
-\{ A\;|\; \text{$A$ ist eine $m\times n$-Matrix}\}.
+\{ A \mid \text{$A$ ist eine $m\times n$-Matrix}\}.
 \]
 Falls $m=n$ gilt, heisst die Matrix $A$ auch {\em quadratisch}.
 \index{quadratische Matrix}%
@@ -1412,7 +1412,7 @@ Ist $f$ eine lineare Abbildung $U\to V$, dann heisst die Menge
 \[
 \ker f
 =
-\{x\in U\;|\; f(x)=0\}
+\{x\in U \mid f(x)=0\}
 \]
 der {\em Kern} oder {\em Nullraum} der linearen Abbildung $f$.
 \index{Kern}%
@@ -1423,7 +1423,7 @@ Der Kern oder Nullraum der Matrix $A$ ist die Menge
 \[
 \ker A
 =
-\{ x\in\Bbbk^n \;|\; Ax=0\}.
+\{ x\in\Bbbk^n \mid Ax=0\}.
 \]
 \end{definition}
 
@@ -1446,12 +1446,12 @@ wie folgt.
 Ist $f\colon V\to U$ eine lineare Abbildung dann ist das Bild von $f$
 der Unterraum
 \[
-\operatorname{im}f = \{ f(v)\;|\;v\in V\} \subset U
+\operatorname{im}f = \{ f(v)  \mid v\in V\} \subset U
 \]
 von $U$.
 Das {\em Bild} einer $m\times n$-Matrix $A$ ist die Menge
 \[
-\operatorname{im}A = \{ Av \;|\; v\in\Bbbk^n\} \subset \Bbbk^m.
+\operatorname{im}A = \{ Av \mid v\in\Bbbk^n\} \subset \Bbbk^m.
 \]
 \end{definition}
 \index{Bild}%
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex
index 6c7e091..33626bf 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex
@@ -119,7 +119,7 @@ Die Menge
 \[
 \mathbb{Z} + i\mathbb{Z}
 =
-\{a+bi\;|\; a,b\in\mathbb{Z}\}
+\{a+bi \mid a,b\in\mathbb{Z}\}
 =
 \mathbb{Z}[i]
 \subset
@@ -181,7 +181,7 @@ Die Menge der invertierbaren Elemente verdient einen besonderen Namen.
 \begin{definition}
 Ist $R$ ein Ring mit Eins, dann heissen die Elemente von
 \[
-U(R) = \{ r\in R \;|\; \text{$r$ in $R$ invertierbar}\}.
+U(R) = \{ r\in R \mid \text{$r$ in $R$ invertierbar}\}.
 \]
 die {\em Einheiten} von $R$.
 \index{Einheit}%
@@ -267,7 +267,7 @@ ist und ausserdem gilt
 \]
 Der Kern ist die Menge
 \[
-\ker\varphi = \{ r\in R\;|\; \varphi(r)=0\}
+\ker\varphi = \{ r\in R \mid \varphi(r)=0\}
 \]
 \index{Kern}%
 \end{definition}
-- 
cgit v1.2.1