From 70215b72a37c2191bc6119c008d2117ed122cc7e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Roy Seitz Date: Wed, 27 Jan 2021 15:04:26 +0100 Subject: Typos. --- buch/chapters/20-polynome/chapter.tex | 13 +++---- buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex | 54 +++++++++++++++--------------- buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex | 8 ++--- 3 files changed, 38 insertions(+), 37 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/20-polynome') diff --git a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex index b044bcd..c7fc9e9 100644 --- a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex +++ b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex @@ -15,7 +15,7 @@ p(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1} + \cdots a_2X^2 + a_1X + a_0. Ursprünglich stand das Symbol $X$ als Platzhalter für eine Zahl. Die Polynomgleichung $Y=p(X)$ drückt dann einen Zusammenhang zwischen den Grössen $X$ und $Y$ aus. -Zum Beispiel drückt +Zum Beispiel drückt \begin{equation} H = -\frac12gT^2 + v_0T +h_0 = p(T) \label{buch:eqn:polynome:beispiel} @@ -53,14 +53,14 @@ gelten. In dieser algebraischen Sichtweise können je nach den gewählten algebraischen Rechenregeln für $X$ interessante rechnerische Strukturen abgebildet werden. \index{algebraische Sichtweise}% -Ziel dieses Kapitels ist zu zeigen, wie man die Rechenregeln für $X$ +Ziel dieses Kapitels ist zu zeigen, wie man die Rechenregeln für $X$ mit Hilfe von Matrizen allgemein darstellen kann. Diese Betrachtungsweise wird später in Anwendungen ermöglichen, -handliche Realisierungen für das Rechnen mit Grössen zu finden, +handliche Realisierungen für das Rechnen mit Grössen zu finden, die polynomielle Gleichungen erfüllen. Ebenso sollen in späteren Kapiteln die Regeln \eqref{buch:eqn:polynome:basic} -erweitert werden oder abgelöst werden um weitere Anwendungen zu erschliessen. +erweitert oder abgelöst werden um weitere Anwendungen zu erschliessen. Bei der Auswahl der zusätzlichen algebraischen Regeln muss man sehr vorsichtig vorgehen. @@ -71,7 +71,7 @@ Aber auch eine Regel wie $X^2 \ge 0$, die für alle reellen Zahlen gilt, würde die Anwendungsmöglichkeiten zu stark einschränken. Es gibt zwar keine reelle Zahl, die man in das Polynom $p(X)=X^2+1$ einsetzen könnte, so dass es den Wert $0$ annimmt. -Man könnte $X$ aber als ein neues Objekt ausserhalb von $\mathbb{R}$ +Man könnte $X$ aber als ein neues Objekt ausserhalb von $\mathbb{R}$ betrachten, welches die Gleichung $X^2+1=0$ erfüllt. In den komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ gibt es mit der imaginären Einheit $i\in\mathbb{C}$ tatsächlich ein Zahl mit der Eigenschaft @@ -80,7 +80,8 @@ verletzt. Für das Symbol $X$ sollen also die ``üblichen'' Rechenregeln gelten. Dies ist natürlich nur sinnvoll, wenn man auch mit den Koeffizienten -$a_0,\dots,a_n$ rechnen kann, sind müssen also Elemente einer +$a_0,\dots,a_n$ rechnen kann. +Sie müssen also Elemente einer algebraischen Struktur sein, in der mindestens die Addition und die Multiplikation definiert sind. Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ kommen dafür in Frage, aber auch diff --git a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex index 82356d7..4794dea 100644 --- a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex +++ b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \section{Definitionen \label{buch:section:polynome:definitionen}} \rhead{Definitionen} -In diesem Abschnitt stellen wir einige grundlegende Definitionen für das +In diesem Abschnitt stellen wir einige grundlegende Definitionen für das Rechnen mit Polynomen zusammen. % @@ -26,7 +26,7 @@ unter einer ``Zahl'' vorstellen. Wir bezeichnen die Menge, aus der die ``Zahlen'' kommen können mit $R$ und nennen sie die Menge der Skalare. \index{Skalar}% -Wenn wir uns vorstellen, dass man die Elemente von $R$ an Stelle von $X$ +Wenn wir uns vorstellen, dass man die Elemente von $R$ an Stelle von $X$ in das Polynom einsetzen kann, dann muss es möglich sein, in $R$ zu Multiplizieren und zu Addieren, und es müssen die üblichen Rechenregeln der Algebra gelten, $R$ muss also ein Ring sein. @@ -44,7 +44,7 @@ R[X] p(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1} + \dots a_1X+a_0\;|\; a_k\in R, n\in\mathbb{N} \} \] -heisst die Menge der {\em Polynome} mit Koeffizienten in $R$ +heisst die Menge der {\em Polynome} mit Koeffizienten in $R$ oder {\em Polynome über} $R$. \index{Polynome über $R$}% @@ -77,7 +77,7 @@ Ein Polynom heisst {\em normiert} oder auch {\em monisch}, wenn der höchste Koeffizient oder auch {\em Leitkoeffizient} des Polynomus $1$ ist, also $a_n=1$. \index{Leitkoeffizient}% -Wann man in $R$ durch $a_n$ dividieren kann, dann kann man aus dem Polynom +Wenn man in $R$ durch $a_n$ dividieren kann, dann kann man aus dem Polynom $p(X)=a_nX^n+\dots$ mit Leitkoeffizient $a_n$ das normierte Polynom \[ \frac{1}{a_n}p(X) = \frac{1}{a_n}(a_nX^n + \dots + a_0)= @@ -86,9 +86,8 @@ X^n + \frac{a_{n-1}}{a_n}X^{n-1} + \dots + \frac{a_0}{a_n} machen. Man sagt auch, das Polynom $p(X)$ wurde normiert. -Die Beschreibung der Rechenoperationen wird etwas verkompliziert durch -die Tatsache, zwei Polynome nicht gleich viele von $0$ verschiedene -Koeffizienten haben müssen. +Die Tatsache, dass zwei Polynome nicht gleich viele von $0$ verschiedene Koeffizienten haben müssen, +verkompliziert die Beschreibung der Rechenoperationen ein wenig. Wir werden daher im Folgenden oft für ein Polynom \[ p(X) @@ -118,7 +117,7 @@ definiert ist. Die Menge $R[X]$ aller Polynome über $R$ wird zu einem Ring, wenn man die Rechenoperationen Addition und Multiplikation so definiert, wie man das in der Schule gelernt hat. -Die Summe von zwei Polynomen +Die Summe von zwei Polynomen \begin{align*} p(X) &= a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X + a_0\\ q(X) &= b_mX^m + b_{m-1}X^{m-1} + \dots + b_1X + b_0 @@ -129,7 +128,7 @@ p(X)+q(X) = \sum_{k} (a_k+b_k)X^k, \] -wobei die Summe wieder so zu interpretieren ist, über alle Terme +wobei die Summe wieder so zu interpretieren ist, über alle Terme summiert wird, für die mindestens einer der Summanden von $0$ verschieden ist. @@ -234,7 +233,7 @@ beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradprodukt}. Es könnte aber passieren, dass $a_nb_m=0$ ist, d.~h.~es ist durchaus möglich, dass der Grad kleiner ist. Schliesslich kann der höchsten Koeffizient von $\lambda p(X)$ nicht grösser -als der höchste Koeffizient von $p(X)$ sein, was +als der höchste Koeffizient von $p(X)$ sein, was \eqref{buch:eqn:polynome:gradskalar} beweist. \end{proof} @@ -253,7 +252,7 @@ a_nb_m = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}. \end{equation} Diese unangehme Situation tritt immer ein, wenn es von Null verschiedene Elemente gibt, deren Produkt $0$ ist. -In Matrizenringen ist das der Normalfall, man kann diesen fall also nicht +In Matrizenringen ist das der Normalfall, man kann diesen Fall also nicht einfach ausschliessen. In den Zahlenmengen wie $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{R}$ passiert das natürlich nie. @@ -262,13 +261,13 @@ das natürlich nie. Ein Ring $R$ heisst {\em nullteilerfrei}, wenn für zwei Elemente $a,b\in R$ aus $ab=0$ immer geschlossen werden kann, dass $a=0$ oder $b=0$. -Ein von $0$ verschiedenes Element $a\in R$ heisst ein Nullteiler, -wenn es eine $b\in R$ mit $b\ne 0$ gibt derart dass $b=0$. +Ein von $0$ verschiedenes Element $a\in R$ heisst Nullteiler, +wenn es eine $b\in R$ mit $b\ne 0$ gibt derart dass $ab=0$. \index{Nullteiler} \index{nullteilerfrei} \end{definition} -Die beiden Matrizen in +Die beiden Matrizen in \eqref{buch:eqn:definitionen:nullteilerbeispiel} sind Nullteiler im Ring $M_2(\mathbb{Z})$ der $2\times 2$-Matrizen. Der Matrizenring $M_2(\mathbb{Z})$ ist also nicht nullteilerfrei. @@ -294,17 +293,17 @@ Dann gilt \begin{proof}[Beweis] Der Fall, dass der höchste Koeffizient verschwindet, weil $a_n$, $b_m$ -und $\lambda$ Nullteiler sind, kann unter den gegebenen Voraussetzungen +oder $\lambda$ Nullteiler sind, kann unter den gegebenen Voraussetzungen nicht eintreten, daher werden die in Lemma~\ref{lemma:rechenregelnfuerpolynomgrad} gefunden Ungleichungen -exakt für Produkte exakt. +für Produkte exakt. \end{proof} Die Gleichung \eqref{buch:eqn:polynome:gradskalarexakt} kann im Fall $\lambda=0$ natürlich nicht gelten. Betrachten wir $\lambda$ wieder als ein Polynom, dann folgt aus -\eqref{buch:eqn:polynome:gradproduktexakt}, dass +\eqref{buch:eqn:polynome:gradsummeexakt}, dass \[ \begin{aligned} \lambda&\ne 0 &&\Rightarrow& \deg (\lambda p) &= \deg\lambda + \deg p = 0+\deg p @@ -312,13 +311,14 @@ Betrachten wir $\lambda$ wieder als ein Polynom, dann folgt aus \lambda&=0 &&\Rightarrow& \deg (0 p) &= \deg 0 + \deg p = \deg 0 \end{aligned} \] -Diese Gleichung kann also nur aufrechterhalten werden, wenn $\deg 0$ eine -Zahl ist mit der Eigenschaft, dass man immer noch $\deg 0$ bekommt, -wenn man irgend eine Zahl $\deg p$ hinzuaddiert. -So eine Zahl gibt es in den ganzen Zahlen nicht, wenn zu einer ganzen -Zahl eine andere ganze Zahl hinzuaddiert, ändert sich fast immer etwas. -Man muss daher $\deg 0 = -\infty$ setzen mit der Festlegung, dass -$-\infty + n = -\infty$ gilt für beliebige ganze Zahlen $n$. +Diese Gleichung kann also nur aufrechterhalten werden, wenn die ``Zahl'' $\deg 0$ die Eigenschaft besitzt, dass man immer noch $\deg 0$ bekommt, +wenn man irgend eine Zahl $\deg p$ hinzuaddiert. Wenn also +\[\deg 0 + \deg p = \deg 0 \qquad \forall \deg p \in \mathbb Z\] +gilt. +So eine Zahl gibt es in den ganzen Zahlen nicht. +Wenn man zu einer ganzen Zahl eine andere ganze Zahl hinzuaddiert, ändert sich fast immer etwas. +Man muss daher $\deg 0 = -\infty$ setzen und festlegen, dass +$-\infty + n = -\infty$ für beliebige ganze Zahlen $n$ gilt. \begin{definition} \label{buch:def:definitionen:polynomfilterung} @@ -338,18 +338,18 @@ R^{(-\infty)}[X] & \subset & R^{(0)}[X] & \subset & R^{(1)}[X] & \subset & \dots & \subset & R^{(k)}[X] & \subset - & R^{(k+1)}[x] & \subset & \dots & \subset + & R^{(k+1)}[X] & \subset & \dots & \subset & R[X]\\[3pt] \bigg\| & &\bigg\| & - &\bigg\| & & & + &\bigg\| & & & && && & & & \\[3pt] \{0\} & \subset & R & \subset - & \{ax+b\;|a,b\in R\} & \subset & \dots & + & \{a_1X+a_0\;|a_k\in R\} & \subset & \dots & \end{array} \] und ihre Vereinigung ist $R[X]$. diff --git a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex index a797c09..408587d 100644 --- a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex +++ b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex @@ -35,17 +35,17 @@ Die Abbildung von Vektoren auf Polynome \colon R^n \to R[X] : \begin{pmatrix}a_0\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} -\mapsto +\mapsto a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0 \] -erfüllt also +erfüllt also \[ \varphi( \lambda a) = \lambda \varphi(a) \qquad\text{und}\qquad \varphi(a+b) = \varphi(a) + \varphi(b) \] und ist damit eine lineare Abbildung. -Umgekehrt kann man auch zu jedem Polynom $p(X)$ vom Grad $\le n$ einen +Umgekehrt kann man auch zu jedem Polynom $p(X)$ vom Grad~$\le n$ einen Vektor finden, der von $\varphi$ auf das Polynom $p(X)$ abgebildet wird. Die Abbildung $\varphi$ ist also ein Isomorphismus \[ @@ -108,7 +108,7 @@ b_0\\b_1\\\vdots\\b_m\\0\\\vdots \end{pmatrix} . \] -Die Moduln $R^{k}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber +Die Moduln $R^{k}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber alle auf konsistente Weise mit der Abbildung $\varphi$ in den Polynomring $R[X]$ abgebildet werden. \begin{center} -- cgit v1.2.1