From 70215b72a37c2191bc6119c008d2117ed122cc7e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Roy Seitz <roy.seitz@ost.ch>
Date: Wed, 27 Jan 2021 15:04:26 +0100
Subject: Typos.
---
buch/chapters/20-polynome/chapter.tex | 13 +++----
buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex | 54 +++++++++++++++---------------
buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex | 8 ++---
3 files changed, 38 insertions(+), 37 deletions(-)
(limited to 'buch/chapters/20-polynome')
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index b044bcd..c7fc9e9 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
@@ -15,7 +15,7 @@ p(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1} + \cdots a_2X^2 + a_1X + a_0.
Ursprünglich stand das Symbol $X$ als Platzhalter für eine Zahl.
Die Polynomgleichung $Y=p(X)$ drückt dann einen Zusammenhang zwischen
den Grössen $X$ und $Y$ aus.
-Zum Beispiel drückt
+Zum Beispiel drückt
\begin{equation}
H = -\frac12gT^2 + v_0T +h_0 = p(T)
\label{buch:eqn:polynome:beispiel}
@@ -53,14 +53,14 @@ gelten.
In dieser algebraischen Sichtweise können je nach den gewählten algebraischen
Rechenregeln für $X$ interessante rechnerische Strukturen abgebildet werden.
\index{algebraische Sichtweise}%
-Ziel dieses Kapitels ist zu zeigen, wie man die Rechenregeln für $X$
+Ziel dieses Kapitels ist zu zeigen, wie man die Rechenregeln für $X$
mit Hilfe von Matrizen allgemein darstellen kann.
Diese Betrachtungsweise wird später in Anwendungen ermöglichen,
-handliche Realisierungen für das Rechnen mit Grössen zu finden,
+handliche Realisierungen für das Rechnen mit Grössen zu finden,
die polynomielle Gleichungen erfüllen.
Ebenso sollen in späteren Kapiteln die Regeln
\eqref{buch:eqn:polynome:basic}
-erweitert werden oder abgelöst werden um weitere Anwendungen zu erschliessen.
+erweitert oder abgelöst werden um weitere Anwendungen zu erschliessen.
Bei der Auswahl der zusätzlichen algebraischen Regeln muss man sehr
vorsichtig vorgehen.
@@ -71,7 +71,7 @@ Aber auch eine Regel wie $X^2 \ge 0$, die für alle reellen Zahlen gilt,
würde die Anwendungsmöglichkeiten zu stark einschränken.
Es gibt zwar keine reelle Zahl, die man in das Polynom $p(X)=X^2+1$
einsetzen könnte, so dass es den Wert $0$ annimmt.
-Man könnte $X$ aber als ein neues Objekt ausserhalb von $\mathbb{R}$
+Man könnte $X$ aber als ein neues Objekt ausserhalb von $\mathbb{R}$
betrachten, welches die Gleichung $X^2+1=0$ erfüllt.
In den komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ gibt es mit der imaginären
Einheit $i\in\mathbb{C}$ tatsächlich ein Zahl mit der Eigenschaft
@@ -80,7 +80,8 @@ verletzt.
Für das Symbol $X$ sollen also die ``üblichen'' Rechenregeln gelten.
Dies ist natürlich nur sinnvoll, wenn man auch mit den Koeffizienten
-$a_0,\dots,a_n$ rechnen kann, sind müssen also Elemente einer
+$a_0,\dots,a_n$ rechnen kann.
+Sie müssen also Elemente einer
algebraischen Struktur sein, in der mindestens die Addition und die
Multiplikation definiert sind.
Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ kommen dafür in Frage, aber auch
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
index 82356d7..4794dea 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
@@ -6,7 +6,7 @@
\section{Definitionen
\label{buch:section:polynome:definitionen}}
\rhead{Definitionen}
-In diesem Abschnitt stellen wir einige grundlegende Definitionen für das
+In diesem Abschnitt stellen wir einige grundlegende Definitionen für das
Rechnen mit Polynomen zusammen.
%
@@ -26,7 +26,7 @@ unter einer ``Zahl'' vorstellen.
Wir bezeichnen die Menge, aus der die ``Zahlen'' kommen können mit $R$ und
nennen sie die Menge der Skalare.
\index{Skalar}%
-Wenn wir uns vorstellen, dass man die Elemente von $R$ an Stelle von $X$
+Wenn wir uns vorstellen, dass man die Elemente von $R$ an Stelle von $X$
in das Polynom einsetzen kann, dann muss es möglich sein, in $R$ zu
Multiplizieren und zu Addieren, und es müssen die üblichen Rechenregeln
der Algebra gelten, $R$ muss also ein Ring sein.
@@ -44,7 +44,7 @@ R[X]
p(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1} + \dots a_1X+a_0\;|\; a_k\in R, n\in\mathbb{N}
\}
\]
-heisst die Menge der {\em Polynome} mit Koeffizienten in $R$
+heisst die Menge der {\em Polynome} mit Koeffizienten in $R$
oder
{\em Polynome über} $R$.
\index{Polynome über $R$}%
@@ -77,7 +77,7 @@ Ein Polynom heisst {\em normiert} oder auch {\em monisch}, wenn der
höchste Koeffizient oder auch {\em Leitkoeffizient} des Polynomus $1$ ist,
also $a_n=1$.
\index{Leitkoeffizient}%
-Wann man in $R$ durch $a_n$ dividieren kann, dann kann man aus dem Polynom
+Wenn man in $R$ durch $a_n$ dividieren kann, dann kann man aus dem Polynom
$p(X)=a_nX^n+\dots$ mit Leitkoeffizient $a_n$ das normierte Polynom
\[
\frac{1}{a_n}p(X) = \frac{1}{a_n}(a_nX^n + \dots + a_0)=
@@ -86,9 +86,8 @@ X^n + \frac{a_{n-1}}{a_n}X^{n-1} + \dots + \frac{a_0}{a_n}
machen.
Man sagt auch, das Polynom $p(X)$ wurde normiert.
-Die Beschreibung der Rechenoperationen wird etwas verkompliziert durch
-die Tatsache, zwei Polynome nicht gleich viele von $0$ verschiedene
-Koeffizienten haben müssen.
+Die Tatsache, dass zwei Polynome nicht gleich viele von $0$ verschiedene Koeffizienten haben müssen,
+verkompliziert die Beschreibung der Rechenoperationen ein wenig.
Wir werden daher im Folgenden oft für ein Polynom
\[
p(X)
@@ -118,7 +117,7 @@ definiert ist.
Die Menge $R[X]$ aller Polynome über $R$ wird zu einem Ring, wenn man die
Rechenoperationen Addition und Multiplikation so definiert, wie man das
in der Schule gelernt hat.
-Die Summe von zwei Polynomen
+Die Summe von zwei Polynomen
\begin{align*}
p(X) &= a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X + a_0\\
q(X) &= b_mX^m + b_{m-1}X^{m-1} + \dots + b_1X + b_0
@@ -129,7 +128,7 @@ p(X)+q(X)
=
\sum_{k} (a_k+b_k)X^k,
\]
-wobei die Summe wieder so zu interpretieren ist, über alle Terme
+wobei die Summe wieder so zu interpretieren ist, über alle Terme
summiert wird, für die mindestens einer der Summanden von $0$
verschieden ist.
@@ -234,7 +233,7 @@ beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradprodukt}.
Es könnte aber passieren, dass $a_nb_m=0$ ist, d.~h.~es ist durchaus möglich,
dass der Grad kleiner ist.
Schliesslich kann der höchsten Koeffizient von $\lambda p(X)$ nicht grösser
-als der höchste Koeffizient von $p(X)$ sein, was
+als der höchste Koeffizient von $p(X)$ sein, was
\eqref{buch:eqn:polynome:gradskalar} beweist.
\end{proof}
@@ -253,7 +252,7 @@ a_nb_m = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.
\end{equation}
Diese unangehme Situation tritt immer ein, wenn es von Null verschiedene
Elemente gibt, deren Produkt $0$ ist.
-In Matrizenringen ist das der Normalfall, man kann diesen fall also nicht
+In Matrizenringen ist das der Normalfall, man kann diesen Fall also nicht
einfach ausschliessen.
In den Zahlenmengen wie $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{R}$ passiert
das natürlich nie.
@@ -262,13 +261,13 @@ das natürlich nie.
Ein Ring $R$ heisst {\em nullteilerfrei}, wenn für zwei Elemente
$a,b\in R$ aus $ab=0$ immer geschlossen werden kann, dass
$a=0$ oder $b=0$.
-Ein von $0$ verschiedenes Element $a\in R$ heisst ein Nullteiler,
-wenn es eine $b\in R$ mit $b\ne 0$ gibt derart dass $b=0$.
+Ein von $0$ verschiedenes Element $a\in R$ heisst Nullteiler,
+wenn es eine $b\in R$ mit $b\ne 0$ gibt derart dass $ab=0$.
\index{Nullteiler}
\index{nullteilerfrei}
\end{definition}
-Die beiden Matrizen in
+Die beiden Matrizen in
\eqref{buch:eqn:definitionen:nullteilerbeispiel}
sind Nullteiler im Ring $M_2(\mathbb{Z})$ der $2\times 2$-Matrizen.
Der Matrizenring $M_2(\mathbb{Z})$ ist also nicht nullteilerfrei.
@@ -294,17 +293,17 @@ Dann gilt
\begin{proof}[Beweis]
Der Fall, dass der höchste Koeffizient verschwindet, weil $a_n$, $b_m$
-und $\lambda$ Nullteiler sind, kann unter den gegebenen Voraussetzungen
+oder $\lambda$ Nullteiler sind, kann unter den gegebenen Voraussetzungen
nicht eintreten, daher werden die in
Lemma~\ref{lemma:rechenregelnfuerpolynomgrad} gefunden Ungleichungen
-exakt für Produkte exakt.
+für Produkte exakt.
\end{proof}
Die Gleichung
\eqref{buch:eqn:polynome:gradskalarexakt}
kann im Fall $\lambda=0$ natürlich nicht gelten.
Betrachten wir $\lambda$ wieder als ein Polynom, dann folgt aus
-\eqref{buch:eqn:polynome:gradproduktexakt}, dass
+\eqref{buch:eqn:polynome:gradsummeexakt}, dass
\[
\begin{aligned}
\lambda&\ne 0 &&\Rightarrow& \deg (\lambda p) &= \deg\lambda + \deg p = 0+\deg p
@@ -312,13 +311,14 @@ Betrachten wir $\lambda$ wieder als ein Polynom, dann folgt aus
\lambda&=0 &&\Rightarrow& \deg (0 p) &= \deg 0 + \deg p = \deg 0
\end{aligned}
\]
-Diese Gleichung kann also nur aufrechterhalten werden, wenn $\deg 0$ eine
-Zahl ist mit der Eigenschaft, dass man immer noch $\deg 0$ bekommt,
-wenn man irgend eine Zahl $\deg p$ hinzuaddiert.
-So eine Zahl gibt es in den ganzen Zahlen nicht, wenn zu einer ganzen
-Zahl eine andere ganze Zahl hinzuaddiert, ändert sich fast immer etwas.
-Man muss daher $\deg 0 = -\infty$ setzen mit der Festlegung, dass
-$-\infty + n = -\infty$ gilt für beliebige ganze Zahlen $n$.
+Diese Gleichung kann also nur aufrechterhalten werden, wenn die ``Zahl'' $\deg 0$ die Eigenschaft besitzt, dass man immer noch $\deg 0$ bekommt,
+wenn man irgend eine Zahl $\deg p$ hinzuaddiert. Wenn also
+\[\deg 0 + \deg p = \deg 0 \qquad \forall \deg p \in \mathbb Z\]
+gilt.
+So eine Zahl gibt es in den ganzen Zahlen nicht.
+Wenn man zu einer ganzen Zahl eine andere ganze Zahl hinzuaddiert, ändert sich fast immer etwas.
+Man muss daher $\deg 0 = -\infty$ setzen und festlegen, dass
+$-\infty + n = -\infty$ für beliebige ganze Zahlen $n$ gilt.
\begin{definition}
\label{buch:def:definitionen:polynomfilterung}
@@ -338,18 +338,18 @@ R^{(-\infty)}[X] & \subset
& R^{(0)}[X] & \subset
& R^{(1)}[X] & \subset & \dots & \subset
& R^{(k)}[X] & \subset
- & R^{(k+1)}[x] & \subset & \dots & \subset
+ & R^{(k+1)}[X] & \subset & \dots & \subset
& R[X]\\[3pt]
\bigg\| &
&\bigg\| &
- &\bigg\| & & &
+ &\bigg\| & & &
&&
&& & &
&
\\[3pt]
\{0\} & \subset
& R & \subset
- & \{ax+b\;|a,b\in R\} & \subset & \dots &
+ & \{a_1X+a_0\;|a_k\in R\} & \subset & \dots &
\end{array}
\]
und ihre Vereinigung ist $R[X]$.
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
index a797c09..408587d 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
@@ -35,17 +35,17 @@ Die Abbildung von Vektoren auf Polynome
\colon R^n \to R[X]
:
\begin{pmatrix}a_0\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}
-\mapsto
+\mapsto
a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0
\]
-erfüllt also
+erfüllt also
\[
\varphi( \lambda a) = \lambda \varphi(a)
\qquad\text{und}\qquad
\varphi(a+b) = \varphi(a) + \varphi(b)
\]
und ist damit eine lineare Abbildung.
-Umgekehrt kann man auch zu jedem Polynom $p(X)$ vom Grad $\le n$ einen
+Umgekehrt kann man auch zu jedem Polynom $p(X)$ vom Grad~$\le n$ einen
Vektor finden, der von $\varphi$ auf das Polynom $p(X)$ abgebildet wird.
Die Abbildung $\varphi$ ist also ein Isomorphismus
\[
@@ -108,7 +108,7 @@ b_0\\b_1\\\vdots\\b_m\\0\\\vdots
\end{pmatrix}
.
\]
-Die Moduln $R^{k}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber
+Die Moduln $R^{k}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber
alle auf konsistente Weise mit der Abbildung $\varphi$ in den Polynomring
$R[X]$ abgebildet werden.
\begin{center}
--
cgit v1.2.1
From 761bab4352ce4bab7b30a87e05e92117ca81e7c6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@othello.ch>
Date: Mon, 15 Feb 2021 12:20:42 +0100
Subject: new stuff on divisibility
---
buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex | 89 +++++++++++++++++++++++++++++-
1 file changed, 88 insertions(+), 1 deletion(-)
(limited to 'buch/chapters/20-polynome')
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
index 4794dea..b80769f 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
@@ -378,7 +378,94 @@ R^{(k+l)}[X].
%
\subsection{Teilbarkeit
\label{buch:subsection:polynome:teilbarkeit}}
-XXX TODO
+XXX Beispiel für Polynomdivision?
+
+\subsubsection{Euklidische Ringe und Faktorzerlegung}
+Der Polynomring $R[X]$ hat noch eine weitere Eigenschaft, die ihn
+von einem gewöhnlichen Ring unterschiedet.
+Der Polynomdivisionsalgorithmus findet zu zwei Polynomen $f,g\in R[X]$
+den Quotienten $q\in R[X]$ und den Rest $r\in R[X]$ mit
+$f=qg+r$, wobei ausserdem $\deg r<\deg g$ ist.
+
+\begin{definition}
+Ein {\em euklidischer Ring} $R$ ist ein nullteilerfreier Ring mit einer
+Gradfunktion $\deg\colon R\setminus\{0\}\to\mathbb{N}$ mit folgenden
+Eigenschaften
+\begin{enumerate}
+\item Für $x,y\in R$ gilt $\deg(xy) \ge \deg(x)$.
+\item Für alle $x,y\in R$ gibt es $q,r\in R$ mit $x=qy+r$ mit
+$\deg(y)>\deg(x)$
+\label{buch:20-polynome:def:euklidischerring-2}
+\end{enumerate}
+Bedingung~\ref{buch:20-polynome:def:euklidischerring-2} ist die
+{\em Division mit Rest}.
+\index{Gradfunktion}%
+\index{Division mit Rest}%
+\index{euklidischer Ring}%
+\end{definition}
+
+Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ bilden einen euklidischen Ring mit der
+Gradfunktion $\deg(z)=|z|$ für $z\in \mathbb{Z}$.
+Aus dem Divisionsalgorithmus für ganze Zahlen leiten sich alle grundlegenden
+Eigenschaften über Teilbarkeit und Primzahlen ab.
+Eine Zahl $x$ ist teilbar durch $y$, wenn $x=qy$ mit $q\in \mathbb{Z}$,
+es gibt Zahlen $p\in\mathbb{Z}$, die keine Teiler haben und jede Zahl
+kann auf eindeutige Art und Weise in ein Produkt von Primfaktoren
+zerlegt werden.
+
+\subsubsection{Irreduzible Polynome}
+Das Konzept der Primzahl lässt sich wie folgt in den Polynomring übertragen.
+
+\begin{definition}
+Ein Polynom $f\in R[X]$ heisst irreduzibel, es keine Faktorisierung $f=gh$
+in Faktoren $g,h\in R[X]$ mit $\deg(g)>0$ und $\deg(h) >0$.
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+Polynome ersten Grades $aX+b$ sind immer irreduzibel, da sie bereits
+minimalen Grad haben.
+
+Sei jetzt $f=X^2+bX+c$ ein quadratisches Polynom in $\mathbb{Q}[X]$.
+Wenn es faktorisierbar sein soll, dann müssen die Faktoren Polynome
+ersten Grades sein, also $f=(X-x_1)(X-x_2)$ mit $x_i\in\mathbb{Q}$.
+Die Zahlen $x_i$ die einzigen möglichen Lösungen für $x_i$ können mit
+der Lösungsformel für die quadratische Gleichung
+\[
+x_i = -\frac{b}2\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}
+\]
+gefunden werden.
+Die Faktorisierung ist also genau dann möglich, wenn $b^2/4-c$ ein
+Quadrat in $\mathbb{Q}$.
+In $\mathbb{R}$ ist das Polynom faktorisierbar, wenn $b^2-4c\ge 0$ ist.
+In $\mathbb{C}$ gibt es keine Einschränkung, die Wurzel zu ziehen,
+in $\mathbb{C}$ gibt es also keine irreduziblen Polynome im Grad $2$.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Faktorisierung in einem Polynomring}
+Ein Polynomring ist ganz offensichtlich auch ein euklidischer Ring.
+Wir erwarten daher die entsprechenden Eigenschaften auch in einem
+Polynomring.
+Allerdings ist eine Faktorzerlegung nicht ganz eindeutig.
+Wenn das Polynom $f\in\mathbb{Z}[X]$ die Faktorisierung
+$f=g\cdot h$ mit $g,h\mathbb{Z}[X]$ hat, dann
+ist $rg\cdot r^{-1}h$ ebenfalls eine Faktorisierung für jedes $r =\pm1$.
+Dasselbe gilt in $\mathbb{Q}$ für jedes $r\in \mathbb{Q}^*$.
+Faktorisierung ist also nur eindeutig bis auf Elemente der
+Einheitengruppe des Koeffizientenringes.
+Diese Mehrdeutigkeit kann in den Polynomringen $\Bbbk[X]$
+überwunden werden, indem die Polynome normiert werden.
+
+\begin{satz}
+Ein normiertes Polynom $f\in \Bbbk[X]$ kann in
+normierte Faktoren $g_1,\dots,g_k\in\Bbbk[X]$ zerlegt werden, so dass
+$f=g_1\cdot\ldots\cdot g_k$, wobei die Faktoren irreduzibel sind.
+Zwei solche Faktorisierungen unterscheiden sich nur durch die Reihenfolge
+der Faktoren.
+Ein Polynom $f\in \Bbbk[X]$ kann in ein Produkt $a_n g_1\cdot\ldots\cdot g_k$
+zerlegt werden, wobei die normierten Faktoren $g_i$ bis auf die Reihenfolge
+eindeutig sind.
+\end{satz}
+
%
% Abschnitt über formale Potenzreihen
--
cgit v1.2.1
From d0a6b498dcebb27ea8647ca35f4908a7974e83ec Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 26 Feb 2021 09:36:30 +0100
Subject: Poylnomdivision
---
buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex | 113 ++++++++++++++++++++++++++++-
1 file changed, 109 insertions(+), 4 deletions(-)
(limited to 'buch/chapters/20-polynome')
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
index b80769f..135ebf6 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
@@ -378,13 +378,118 @@ R^{(k+l)}[X].
%
\subsection{Teilbarkeit
\label{buch:subsection:polynome:teilbarkeit}}
-XXX Beispiel für Polynomdivision?
+Im Ring der ganzen Zahlen sind nicht alle Divisionen ohne Rest
+ausführbar, so entsteht das Konzept der Teilbarkeit.
+Der Divisionsalgorithmus, den man in der Schule lernt, liefert
+zu beliebigen ganzen Zahlen $a,b\in\mathbb{Z}$ den Quotienten
+$q$ und den Rest $r$ derart, dass $a=qb+r$.
+Der Algorithmus basiert auf der Zehnersystemdarstellung
+\begin{align*}
+a &= a_n10^{n} + a_{n-1}10^{n-1} + \dots + a_110^{1} + a_0
+\\
+b &= b_m10^{n} + b_{m-1}10^{n-1} + \dots + b_110^{1} + b_0
+\end{align*}
+und ermittelt den Quotienten, indem er mit den einzelnen Stellen
+$a_k$ und $b_k$ arbeitet.
+Er ist also eigentlich ein Algorithmus für die Polynome
+\begin{align*}
+a &= a_nX^{n} + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X^{1} + a_0
+\\
+b &= b_mX^{n} + b_{m-1}X^{n-1} + \dots + b_1X^{1} + b_0,
+\end{align*}
+mit dem einzigen Unterschied, dass statt $X$ mit der festen Zahl $X=10$
+gearbeitet wird.
+Der Teilungsalgorithmus für Polynome lässt sich aber leicht
+rekonstruieren.
+
+\subsubsection{Polynomdivision}
+Wir zeigen den Polynomdivisionsalgorithmus an einem konkreten Beispiel.
+Gesucht sind Quotient $q\in \mathbb{Z}[X]$ und Rest $r\in\mathbb{Z}[X]$
+der beiden Polynome
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+a(X) &= X^4 - X^3 -7X^2 + X + 6\\
+b(X) &= X^2+X+1,
+\end{aligned}
+\label{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe}
+\end{equation}
+für die also gilt $a=bq+r$.
+Die Division ergibt
+\[
+\arraycolsep=1.4pt
+\begin{array}{rcrcrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+X^4&-& X^3&-&7X^2&+& X&+&6&:&X^2&+&X&+&1&=&X^2&-&2X&-&6=q\\
+\llap{$-($}X^4&+& X^3&+& X^2\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & & & & & & \\ \cline{1-5}
+ &-&2X^3&-&8X^2&+& X& & & & & & & & & & & & & & \\
+ &\llap{$-($}-&2X^3&-&2X^2&-&2X\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & & & & \\ \cline{2-7}
+ & & &-&6X^2&+&3X&+&6& & & & & & & & & & & & \\
+ & & &\llap{$-($}-&6X^2&-&6X&-&6\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & & \\ \cline{4-9}
+ & & & & & &9X&+&12\rlap{$\mathstrut=r$}& & & & & & & & & & & & \\ \cline{7-9}
+\end{array}
+\]
+Durch nachrechnen kann man überprüfen, dass tatsächlich
+\begin{align*}
+bq
+&=
+X^4-X^3-7X^2-8X-6
+\\
+bq+r&=
+X^4-X^3-7X^2+X+6 = a
+\end{align*}
+gilt.
+
+Das Beispiel~\eqref{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe} war besonders
+einfach, weil der führende Koeffizient des Divisorpolynomes $1$ war.
+Für $b=2X^2+X+1$ funktioniert der Algorithmus dagegen nicht mehr.
+Jedes für $q$ in Frage kommende Polynom vom Grad $2$ muss von der
+Form $q=q_2X^2+q_1X+q_0$ sein.
+Multipliziert man mit $b$, erhält man $bq=2q_2X^4 + (2q_1+q_2)X^3+\dots$.
+Insbesondere ist es nicht möglich mit ganzzahligen Quotienten
+$q_k\in\mathbb{Z}$ auch nur der ersten Koeffizienten von $a$ zu
+erhalten.
+Dazu müsste nämlich $a_n = 1 = 2q_2$ oder $q_2 = \frac12\not\in\mathbb{Z}$
+sein.
+Der Divisionsalgorithmus funktioniert also nur dann, wenn die
+Division durch den führenden Koeffizienten des Divisorpolynomes $b$
+immer ausführbar ist.
+Im Beispiel~\eqref{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe} war das der
+Fall, weil der führende Koeffizient $1$ war.
+Für beliebige Polynome $b\in R[X]$ ist das aber nur der Fall,
+wenn die Koeffizienten in Tat und Wahrheit einem Körper entstammen.
+
+Im Folgenden betrachten wir daher nur noch Polynomringe mit Koeffizienten
+in einem Körper $\Bbbk$.
+In $\mathbb{Q}[X]$ ist die Division $a:b$ für die Polynome
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+a(X) &= X^4 - X^3 -7X^2 + X + 6\\
+b(X) &= X^2+X+1,
+\end{aligned}
+\label{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe}
+\end{equation}
+problemlos durchführbar:
+\[
+\arraycolsep=1.4pt
+\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
+\begin{array}{rcrcrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+X^4&-& X^3&-& 7X^2&+& X&+& 6&:&2X^2&+&X&+&1&=&\frac12X^2&-&\frac34X&-\frac{27}{8} = q\\
+\llap{$-($}X^4&+&\frac12X^3&+& \frac12X^2\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & & & & & \\ \cline{1-5}
+ &-&\frac32X^3&-&\frac{15}2X^2&+& X& & & & & & & & & & & & & \\
+ &\llap{$-($}-&\frac32X^3&-&\frac{ 3}4X^2&-&\frac{ 3}4X\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & & & \\\cline{2-7}
+ & & &-&\frac{27}4X^2&+&\frac{ 7}4X&+& 6& & & & & & & & & & & \\
+ & & &\llap{$-($}-&\frac{27}4X^2&-&\frac{27}8X&-&\frac{27}{8}\rlap{$)$}& & & & & & & & & & & \\\cline{4-9}
+ & & & & & &\frac{41}8X&+&\frac{75}{8}\rlap{$\mathstrut=r$}& & & & & & & & & & & \\
+\end{array}
+\]
+Der Algorithmus funktioniert selbstverständlich genauso in $\mathbb{R}[X]$
+oder $\mathbb{C}[X]$, und ebenso in den in
+Kapitel~\ref{buch:chapter:endliche-koerper} studierten endlichen Körpern.
\subsubsection{Euklidische Ringe und Faktorzerlegung}
-Der Polynomring $R[X]$ hat noch eine weitere Eigenschaft, die ihn
+Der Polynomring $\Bbbk[X]$ hat noch eine weitere Eigenschaft, die ihn
von einem gewöhnlichen Ring unterschiedet.
-Der Polynomdivisionsalgorithmus findet zu zwei Polynomen $f,g\in R[X]$
-den Quotienten $q\in R[X]$ und den Rest $r\in R[X]$ mit
+Der Polynomdivisionsalgorithmus findet zu zwei Polynomen $f,g\in\Bbbk[X]$
+den Quotienten $q\in\Bbbk[X]$ und den Rest $r\in\Bbbk[X]$ mit
$f=qg+r$, wobei ausserdem $\deg r<\deg g$ ist.
\begin{definition}
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