From d732a94f72bcb414ada8f8f638fc2a034426686f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 18 Oct 2021 19:52:32 +0200 Subject: typos chapters 1-5 --- buch/chapters/20-polynome/chapter.tex | 2 +- buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex | 18 +++++++++--------- buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex | 13 +++++++------ 3 files changed, 17 insertions(+), 16 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/20-polynome') diff --git a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex index 5920991..ae3903b 100644 --- a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex +++ b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex @@ -109,11 +109,11 @@ a_{n}b_{m}X^{n+m} (a_1b_0+a_0b_1)X + a_0b_0 +\label{buch:eqn:polynome:faltung} \\ &= \sum_{i + j = k}a_ib_j X^k. \notag -\label{buch:eqn:polynome:faltung} \end{align} Dies ist aber nur möglich, wenn die Koeffizienten selbst miteinander multipliziert werden können, wenn also die Koeffizienten mindestens diff --git a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex index b58c0dd..152589a 100644 --- a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex +++ b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex @@ -23,8 +23,8 @@ Zahl zu multiplizieren. Die Struktur, die wir hier beschrieben haben, hängt davon ab, was wir uns unter einer ``Zahl'' vorstellen. -Wir bezeichnen die Menge, aus der die ``Zahlen'' kommen können mit $R$ und -nennen sie die Menge der Skalare. +Wir bezeichnen die Menge, aus der die ``Zahlen'' kommen können, mit $R$ und +nennen sie die Menge der {\em Skalare}. \index{Skalar}% Wenn wir uns vorstellen, dass man die Elemente von $R$ an Stelle von $X$ in das Polynom einsetzen kann, dann muss es möglich sein, in $R$ zu @@ -73,7 +73,7 @@ Ein Polynom heisst {\em normiert} oder auch {\em monisch}, wenn der \index{Polynom!normiert}% \index{normiertes Polynom}% \index{Polynom!monisch}% -\index{normiertes Polynom} +\index{normiertes Polynom}% höchste Koeffizient oder auch {\em Leitkoeffizient} des Polynoms $1$ ist, also $a_n=1$. \index{Leitkoeffizient}% @@ -201,8 +201,8 @@ sein als die grössere von den beiden Zahlen $n$ und $m$ angibt, dies beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradsumme}. Ebenso kann der höchste Koeffizient im Produkt nach der Formel~\eqref{buch:eqn:polynome:faltung} nicht ``weiter oben'' als bei -$n+m$ liegen, dies beweist -beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradprodukt}. +$n+m$ liegen, dies +beweist~\eqref{buch:eqn:polynome:gradprodukt}. In einem Ring mit Nullteilern (Siehe Definition~\ref{buch:grundlagen:def:nullteiler}) könnte es passieren, dass $a_nb_m=0$ ist, d.~h.~es ist durchaus möglich, @@ -245,9 +245,9 @@ Betrachten wir $\lambda$ wieder als ein Polynom, dann folgt aus \eqref{buch:eqn:polynome:gradsummeexakt}, dass \[ \begin{aligned} -\lambda&\ne 0 &&\Rightarrow& \deg (\lambda p) &= \deg\lambda + \deg p = 0+\deg p +\lambda&\ne 0 &&\Rightarrow& \deg (\lambda p) &= \deg\lambda + \deg p = 0+\deg p, \\ -\lambda&=0 &&\Rightarrow& \deg (0 p) &= \deg 0 + \deg p = \deg 0 +\lambda&=0 &&\Rightarrow& \deg (0 p) &= \deg 0 + \deg p = \deg 0. \end{aligned} \] Diese Gleichung kann also nur aufrechterhalten werden, wenn die ``Zahl'' $\deg 0$ die Eigenschaft besitzt, dass man immer noch $\deg 0$ bekommt, @@ -405,7 +405,7 @@ In $\mathbb{Q}[X]$ ist die Division $a:b$ für die Polynome \begin{equation} \begin{aligned} a(X) &= X^4 - X^3 -7X^2 + X + 6\\ -b(X) &= 2X^2+X+1, +b(X) &= 2X^2+X+1 \end{aligned} \label{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe2} \end{equation} @@ -500,7 +500,7 @@ Wir erwarten daher die entsprechenden Eigenschaften auch in einem Polynomring. Allerdings ist eine Faktorzerlegung nicht ganz eindeutig. Wenn das Polynom $f\in\mathbb{Z}[X]$ die Faktorisierung -$f=g\cdot h$ mit $g,h\mathbb{Z}[X]$ hat, dann +$f=g\cdot h$ mit $g,h\in\mathbb{Z}[X]$ hat, dann ist $rg\cdot r^{-1}h$ ebenfalls eine Faktorisierung für jedes $r =\pm1$. Dasselbe gilt in $\mathbb{Q}$ für jedes $r\in \mathbb{Q}^*$. Faktorisierung ist also nur eindeutig bis auf Elemente der diff --git a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex index 535b896..9f0dee2 100644 --- a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex +++ b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex @@ -29,7 +29,7 @@ R^{n+1}. \] Diese Darstellung eines Polynoms gibt auch die Addition von Polynomen und die Multiplikation von Polynomen mit Skalaren aus $R$ korrekt wieder. -Die Abbildung von Vektoren auf Polynome +Die Abbildung \[ \varphi \colon R^{n+1} \to R[X] @@ -38,6 +38,7 @@ Die Abbildung von Vektoren auf Polynome \mapsto a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0 \] +von Vektoren auf Polynome erfüllt also \[ \varphi( \lambda a) = \lambda \varphi(a) @@ -62,7 +63,7 @@ um Multiplikation mit Skalaren geht, ist also diese vektorielle Darstellung mit Hilfe von $\varphi$ eine zweckmässige Darstellung. In zwei Bereichen ist die Beschreibung von Polynomen mit Vektoren allerdings -ungenügend: einerseits können Polynome können beliebig hohen Grad haben, +ungenügend: einerseits können Polynome beliebig hohen Grad haben, während Vektoren in $R^{n+1}$ höchstens $n+1$ Komponenten haben können. Andererseits geht bei der vektoriellen Beschreibung die multiplikative Struktur vollständig verloren. @@ -159,12 +160,12 @@ Multiplikationsoperator betrachten. Diese Operatoren setzen sich zusammen zu einem Operator \[ -{X\cdot} \colon R^\infty \to \infty, +{X\cdot} : R^\infty \to \infty, \] der die Multiplikation mit $X$ beschreibt. Ist $p(X)$ ein Polynom, dann lässt sich die Multiplikation -in von Polynome mit $R[X]$ ebenfalls als Operator schreiben. +von $p(X)$ mit Polynomen in $R[X]$ ebenfalls als Operator schreiben. Die Potenz $X^k$ wirkt durch $k$-fache Iteration des Operators $X\cdot$. Das Polynom $p(X)$ wirkt als Linearkombination der Operatoren $(X\cdot)^k$, @@ -174,7 +175,7 @@ in das Polynom erhalten kann: p(X\cdot) = a_n(X\cdot)^n + a_{n-1}(X\cdot)^{n+1} + \dots + a_1(X\cdot) + a_0 -\colon +: R^\infty \to R^\infty : q(X) @@ -235,7 +236,7 @@ die Beobachtung, dass sich eine ganz allgemeine Algebra wie die der Polynome auf sehr direkte Art und Weise abbilden lässt in eine Algebra von Matrizen auf einem geeigneten Vektorraum. -Im vorliegenden Fall sind das zwar ``undendliche'' +Im vorliegenden Fall sind das zwar ``unendliche'' Matrizen, in zukünftigen Beispielen werden wir das selbe Prinzip jedoch in Aktion sehen in Situationen, wo eine Operation auf einem endlichen Vektorraum -- cgit v1.2.1