From ee33b6de909df12cdd757abcb5db04fc9d2b5a56 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 13 Apr 2021 15:46:41 +0200
Subject: kgV

---
 buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex | 236 ++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 236 insertions(+)

(limited to 'buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex')

diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
index db326f8..9bc36a6 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
@@ -431,6 +431,7 @@ zur Bestimmung des grössten gemeinsamen Teilers von $76415$ und $23205$
 zur Berechnung der Koeffizienten $c_k$ und $d_k$
 Wir schreiben die gefundenen Zahlen in eine Tabelle:
 \begin{center}
+\label{buch:endlichekoerper:beispiel1erweitert}
 \renewcommand{\arraystretch}{1.1}
 \begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
 \hline
@@ -614,4 +615,239 @@ Aus den letzten zwei Zeilen folgt
 $ua-vb = ab/g - ab/g = 0$, wie erwartet.
 \end{beispiel}
 
+%
+% Das kleinste gemeinsame Vielfache
+%
+\subsection{Das kleinste gemeinsame Vielfache
+\label{buch:subsection:daskgv}}
+Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen $a$ und $b$ ist
+\[
+\operatorname{kgV}(a,b)
+=
+\frac{ab}{\operatorname{ggT}(a,b)}.
+\]
+Wir suchen nach einen Algorithmus, mit dem man das kleinste gemeinsame
+Vielfache effizient berechnen kann.
+
+Die Zahlen $a$ und $b$ sind beide Vielfache des grössten gemeinsamen
+Teilers $g=\operatorname{ggT}(a,b)$, es gibt also Zahlen $u$ und $v$ derart,
+dass $a=ug$ und $b=vg$.
+Wenn $t$ ein gemeinsamer Teiler von $u$ und $v$ ist, dann ist $tg$ ein
+grösserer gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$.
+Dies kann nicht sein, also müssen $u$ und $v$ teilerfremd sein.
+Das kleinste gemeinsame Vielfache von $a$ und $b$ ist dann $ugv=av=ub$.
+Die Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ist also gleichbedeutend
+mit der Bestimmung der Zahle $u$ und $v$.
+
+Die definierende Eigenschaften von $u$ und $v$ kann man in Matrixform als
+\begin{equation}
+\begin{pmatrix}
+a\\b
+\end{pmatrix}
+=
+\underbrace{
+\begin{pmatrix}
+u&?\\
+v&?
+\end{pmatrix}}_{\displaystyle =K}
+\begin{pmatrix}
+\operatorname{ggT}(a,b)\\ 0
+\end{pmatrix}
+\label{buch:eindlichekoerper:eqn:uvmatrix}
+\end{equation}
+geschrieben werden, wobei wir die Matrixelemente $?$ nicht kennen.
+Diese Elemente müssen wir auch nicht kennen, um $u$ und $v$ zu bestimmen.
+
+Bei der Bestimmung des grössten gemeinsamen Teilers wurde der Vektor auf
+der rechten Seite von~\eqref{buch:eindlichekoerper:eqn:uvmatrix} bereits
+gefunden.
+Die Matrizen $Q(q_i)$, die die einzelne Schritte des euklidischen
+Algorithmus beschreiben, ergeben ihn als
+\[
+\begin{pmatrix}
+\operatorname{ggT}(a,b)\\0
+\end{pmatrix}
+=
+Q(q_n)Q(q_{n-1}) \dots Q(q_1)Q(q_0)
+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}.
+\]
+Indem wir die Matrizen $Q(q_n)$ bis $Q(q_0)$ auf die linke Seite der
+Gleichung schaffen, erhalten wir
+\[
+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}
+=
+Q(q_0)^{-1}
+Q(q_1)^{-1}
+\dots
+Q(q_{n-1})^{-1}
+Q(q_n)
+\begin{pmatrix}\operatorname{ggT}(a,b)\\0\end{pmatrix}.
+\]
+Eine mögliche Lösung für die Matrix $K$ in
+\eqref{buch:eindlichekoerper:eqn:uvmatrix}
+ist der die Matrix
+\[
+K
+=
+Q(q_0)^{-1}
+Q(q_1)^{-1}
+\dots
+Q(q_{n-1})^{-1}
+Q(q_n).
+\]
+Insbesondere ist die Matrix $K$ die Inverse der früher gefundenen
+Matrix $Q$.
+
+Die Berechnung der Matrix $K$ als Inverse von $Q$ ist nicht sehr
+effizient.
+Genauso wie es möglich war, das Produkt $Q$ der Matrizen
+$Q(q_k)$ iterativ zu bestimmen, muss es auch eine Rekursionsformel
+für das Produkt der inversen Matrizen $Q(q_k)^{-1}$ geben.
+
+Schreiben wir die die gesuchte Matrix 
+\[
+K_k
+=
+Q(q_0)^{-1}\dots Q(q_{k-1})^{-1}
+=
+\begin{pmatrix}
+e_k & e_{k-1}\\
+f_k & f_{k-1}
+\end{pmatrix},
+\]
+dann kann, kann $K_k$ durch die Rekursion
+\[
+K_{k+1}
+=
+K_{k} Q(q_k)^{-1} 
+=
+K_k K(q_k)
+\qquad\text{mit}\qquad
+K_0 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = I
+\]
+berechnen.
+Die Inverse von $Q(q)$ ist
+\[
+K(q)
+=
+Q(q)^{-1}
+=
+\frac{1}{\det Q(q)}
+\begin{pmatrix}
+q&1\\
+1&0
+\end{pmatrix}
+\quad\text{denn}\quad
+K(q)Q(q)
+=
+\begin{pmatrix}
+q&1\\
+1&0
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+0&1\\
+1&-q
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+1&0\\
+0&1
+\end{pmatrix}.
+\]
+Da die zweite Spalte von $K(q)$ die erste Spalte einer Einheitsmatrix
+ist, wird die zweite Spalte des Produktes $AK(q)$ immer die erste Spalte
+von $A$ sein.
+In $K_{k+1}$ ist daher nur die erste Spalte neu, die zweite Spalte ist
+die erste Spalte von $K_k$.
+
+Wenn $K_k$ die Matrixelemente
+\[
+K_k
+=
+\begin{pmatrix}
+e_k & e_{k-1} \\
+f_k & f_{k-1}
+\end{pmatrix}
+\qquad\text{und}\qquad
+K_0 =
+\begin{pmatrix}
+1&0\\
+0&1
+\end{pmatrix}
+\Rightarrow
+\left\{
+\begin{aligned}
+e_0 &= 1 & e_{-1} &= 0\\
+f_0 &= 0 & f_{-1} &= 1
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+Daraus kann man  Rekursionsformeln für die Folgen $e_k$ und $f_k$ 
+ablesen, es gilt
+\begin{align*}
+e_{k+1} &= q_ke_k + e_{k-1} \\
+f_{k+1} &= q_kf_k + f_{k-1}
+\end{align*}
+für $k=0,1,\dots ,n$.
+Damit können $e_k$ und $f_k$ gleichzeitig mit den Zahlen $c_k$ und $d_k$
+in einer Tabelle berechnen.
+
+\begin{beispiel}
+Wir erweitern das Beispiel von
+Seite~\pageref{buch:endlichekoerper:beispiel1erweitert}
+um die beiden Spalten zur Berechnung von $e_k$ und $f_k$:
+\begin{center}
+\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
+\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
+\hline
+k&   a_k&   b_k&    q_k&  r_k&     c_k&     d_k&   e_k&   f_k\\
+\hline
+ &      &      &       &     &       1&       0&     0&     1\\
+0& 76415& 23205&      3& 6800&       0&       1&     1&     0\\
+1& 23205&  6800&      3& 2805&       1&      -3&     3&     1\\
+2&  6800&  2805&      2& 1190&      -3&      10&    10&     3\\
+3&  2805&  1190&      2&  425&       7&     -23&    23&     7\\
+4&  1190&   425&      2&  340&     -17&      56&    56&    17\\
+5&   425&   340&      1&   85&      41&    -135&   135&    41\\
+6&   340&    85&      4&    0&     -58&     191&   191&    58\\
+7&    85&     0&       &     &     273&    -899&   899&   273\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+Der grösste gemeinsame Teiler ist $\operatorname{ggT}(a,b)=85$.
+Aus der letzten Zeile der Tabelle kann man jetzt die Zahlen $u=e_7=899$
+und $v=f_7=273$ ablesen, und tatsächlich ist
+\[
+a=76415 = 899\cdot 85
+\qquad\text{und}\qquad
+b=23205 = 273 \cdot 85.
+\]
+Daraus kann man dann auch das kleinste gemeinsame Vielfache ablesen, es ist
+\[
+\operatorname{kgV}(a,b)
+=
+\operatorname{kgV}(76415,23205)
+=
+\left\{
+\begin{aligned}
+ub
+&=
+899\cdot 23205\\
+va
+&=
+273\cdot 76415
+\end{aligned}
+\right\}
+=
+20861295.
+\qedhere
+\]
+\end{beispiel}
+
+Der erweiterte Algorithmus kann auch dazu verwendet werden,
+das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Polynome zu berechnen.
+Dies wird zum Beispiel bei der Decodierung des Reed-Solomon-Codes in
+Kapitel~\ref{chapter:reedsolomon} verwendet.
+
+
 
-- 
cgit v1.2.1


From b94b4240a20b40871b914ddd7ae5df14f020e112 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Tue, 13 Apr 2021 15:58:59 +0200
Subject: typos

---
 buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex | 38 +++++++----------------------
 1 file changed, 9 insertions(+), 29 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex')

diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
index 9bc36a6..8aa2f71 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
@@ -637,7 +637,7 @@ grösserer gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$.
 Dies kann nicht sein, also müssen $u$ und $v$ teilerfremd sein.
 Das kleinste gemeinsame Vielfache von $a$ und $b$ ist dann $ugv=av=ub$.
 Die Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ist also gleichbedeutend
-mit der Bestimmung der Zahle $u$ und $v$.
+mit der Bestimmung der Zahlen $u$ und $v$.
 
 Die definierende Eigenschaften von $u$ und $v$ kann man in Matrixform als
 \begin{equation}
@@ -704,7 +704,7 @@ Genauso wie es möglich war, das Produkt $Q$ der Matrizen
 $Q(q_k)$ iterativ zu bestimmen, muss es auch eine Rekursionsformel
 für das Produkt der inversen Matrizen $Q(q_k)^{-1}$ geben.
 
-Schreiben wir die die gesuchte Matrix 
+Schreiben wir die gesuchte Matrix 
 \[
 K_k
 =
@@ -715,8 +715,8 @@ e_k & e_{k-1}\\
 f_k & f_{k-1}
 \end{pmatrix},
 \]
-dann kann, kann $K_k$ durch die Rekursion
-\[
+dann kann man $K_k$ durch die Rekursion
+\begin{equation}
 K_{k+1}
 =
 K_{k} Q(q_k)^{-1} 
@@ -724,7 +724,8 @@ K_{k} Q(q_k)^{-1}
 K_k K(q_k)
 \qquad\text{mit}\qquad
 K_0 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = I
-\]
+\label{buch:endlichekoerper:eqn:kgvrekursion}
+\end{equation}
 berechnen.
 Die Inverse von $Q(q)$ ist
 \[
@@ -760,30 +761,9 @@ von $A$ sein.
 In $K_{k+1}$ ist daher nur die erste Spalte neu, die zweite Spalte ist
 die erste Spalte von $K_k$.
 
-Wenn $K_k$ die Matrixelemente
-\[
-K_k
-=
-\begin{pmatrix}
-e_k & e_{k-1} \\
-f_k & f_{k-1}
-\end{pmatrix}
-\qquad\text{und}\qquad
-K_0 =
-\begin{pmatrix}
-1&0\\
-0&1
-\end{pmatrix}
-\Rightarrow
-\left\{
-\begin{aligned}
-e_0 &= 1 & e_{-1} &= 0\\
-f_0 &= 0 & f_{-1} &= 1
-\end{aligned}
-\right.
-\]
-Daraus kann man  Rekursionsformeln für die Folgen $e_k$ und $f_k$ 
-ablesen, es gilt
+Aus der Rekursionsformel \eqref{buch:endlichekoerper:eqn:kgvrekursion}
+für die Matrizen $K_k$ kann man jetzt eine Rekursionsbeziehung
+für die Folgen $e_k$ und $f_k$ ablesen, es gilt
 \begin{align*}
 e_{k+1} &= q_ke_k + e_{k-1} \\
 f_{k+1} &= q_kf_k + f_{k-1}
-- 
cgit v1.2.1

