From e89e7949b93d684c387db5062b2743c0207205ca Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Sun, 7 Mar 2021 18:40:42 +0100
Subject: two new problems

---
 .../30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex    | 231 +++++++++++++++++++++
 1 file changed, 231 insertions(+)
 create mode 100644 buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex

(limited to 'buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex')

diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex
new file mode 100644
index 0000000..66ac560
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex
@@ -0,0 +1,231 @@
+Der Körper $\mathbb{F}_2$ ist besonders einfach, da er nur zwei Elemente
+$0$ und $1$ enthält.
+Die Additions- und Multiplikationstabellen sind
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\def\ds{0.5}
+\def\punkt#1#2{({(#1)*\ds},{(-#2)*\ds})}
+\def\tabelle{
+	\foreach \x in {-0.5,0.5,2.5}{
+		\draw \punkt{\x}{-0.5} -- \punkt{\x}{2.5};
+	}
+	\foreach \y in {-0.5,0.5,2.5}{
+		\draw \punkt{-0.5}{\y} -- \punkt{2.5}{\y};
+	}
+	\node at \punkt{1}{0} {$0$};
+	\node at \punkt{2}{0} {$1$};
+	\node at \punkt{0}{1} {$0$};
+	\node at \punkt{0}{2} {$0$};
+}
+\begin{scope}[xshift=-3cm]
+	\tabelle
+	\node at (0,0) {$+$};
+	\node at \punkt{1}{1} {$0$};
+	\node at \punkt{2}{1} {$1$};
+	\node at \punkt{1}{2} {$1$};
+	\node at \punkt{2}{2} {$0$};
+\end{scope}
+\begin{scope}[xshift=3cm]
+	\tabelle
+	\node at (0,0) {$\cdot$};
+	\node at \punkt{1}{1} {$0$};
+	\node at \punkt{2}{1} {$0$};
+	\node at \punkt{1}{2} {$0$};
+	\node at \punkt{2}{2} {$1$};
+\end{scope}
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+Betrachtet als Bitoperationen entspricht die Addition dem XOR, die
+Multiplikation dem UND.
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Lösen Sie das lineare Gleichungssystem
+\[
+\begin{linsys}{4}
+x_1&+& x_2& &   & &   &=& 0\\
+   & & x_2&+&x_3&+&x_4&=& 1\\
+x_1&+& x_2&+&x_3&+&x_4&=& 1\\
+   & & x_2&+&x_3& &   &=& 0\\
+\end{linsys}
+\]
+über dem Körper $\mathcal{F}_2$ mit dem Gauss-Algorithmus.
+\item Bestimmen Sie die Inverse $A^{-1}\in \operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_2)$
+der Koeffizientenmatrix $A$ des Gleichungssystems.
+\item Kontrollieren Sie das Resultat durch Ausmultiplizieren des Produktes
+$AA^{-1}$.
+\end{teilaufgaben}
+
+\begin{loesung}
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Die Gauss-Tableaux sind
+\begin{align*}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+   1 & 1 & 0 & 0 &  1\\
+   0 & 1 & 1 & 1 &  0\\
+   1 & 1 & 1 & 1 &  0\\
+   0 & 1 & 1 & 0 &  1\\
+\hline
+\end{tabular}
+&\to
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+   1 & 1 & 0 & 0 &  1\\
+   0 & 1 & 1 & 1 &  0\\
+   0 & 0 & 1 & 1 &  1\\
+   0 & 1 & 1 & 0 &  1\\
+\hline
+\end{tabular}
+%\\
+%&
+\to
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+   1 & 1 & 0 & 0 &  1\\
+   0 & 1 & 1 & 1 &  0\\
+   0 & 0 & 1 & 1 &  1\\
+   0 & 0 & 0 & 1 &  1\\
+\hline
+\end{tabular}
+\\
+\to
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+   1 & 1 & 0 & 0 &  1\\
+   0 & 1 & 1 & 0 &  1\\
+   0 & 0 & 1 & 0 &  0\\
+   0 & 0 & 0 & 1 &  1\\
+\hline
+\end{tabular}
+%\\
+&
+\to
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+   1 & 1 & 0 & 0 &  1\\
+   0 & 1 & 0 & 0 &  1\\
+   0 & 0 & 1 & 0 &  0\\
+   0 & 0 & 0 & 1 &  1\\
+\hline
+\end{tabular}
+%\\
+%&
+\to
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+   1 & 0 & 0 & 0 &  0\\
+   0 & 1 & 0 & 0 &  1\\
+   0 & 0 & 1 & 0 &  0\\
+   0 & 0 & 0 & 1 &  1\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{align*}
+In der ersten Zeile stehen die Schritt der Vorwärtsreduktion, in der
+zweiten die Schritte des Rückwärtseinsetzens.
+Als Lösung liest man ab
+\[
+x=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1 \end{pmatrix},
+\]
+die Korrektheit kann man leicht durch Einsetzen überprüfen.
+\item
+Wir wenden erneut den Gauss-Algorithmus an:
+\begin{align*}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+   1 & 1 & 0 & 0 &  1 & 0 & 0 & 0 \\
+   0 & 1 & 1 & 1 &  0 & 1 & 0 & 0 \\
+   1 & 1 & 1 & 1 &  0 & 0 & 1 & 0 \\
+   0 & 1 & 1 & 0 &  0 & 0 & 0 & 1 \\
+\hline
+\end{tabular}
+&\to
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+   1 & 1 & 0 & 0 &  1 & 0 & 0 & 0 \\
+   0 & 1 & 1 & 1 &  0 & 1 & 0 & 0 \\
+   0 & 0 & 1 & 1 &  1 & 0 & 1 & 0 \\
+   0 & 1 & 1 & 0 &  0 & 0 & 0 & 1 \\
+\hline
+\end{tabular}
+\\
+&\to
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+   1 & 1 & 0 & 0 &  1 & 0 & 0 & 0 \\
+   0 & 1 & 1 & 1 &  0 & 1 & 0 & 0 \\
+   0 & 0 & 1 & 1 &  1 & 0 & 1 & 0 \\
+   0 & 0 & 0 & 1 &  0 & 1 & 0 & 1 \\
+\hline
+\end{tabular}
+\\
+&\to
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+   1 & 1 & 0 & 0 &  1 & 0 & 0 & 0 \\
+   0 & 1 & 1 & 0 &  0 & 0 & 0 & 1 \\
+   0 & 0 & 1 & 0 &  1 & 1 & 1 & 1 \\
+   0 & 0 & 0 & 1 &  0 & 1 & 0 & 1 \\
+\hline
+\end{tabular}
+\\
+&\to
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+   1 & 1 & 0 & 0 &  1 & 0 & 0 & 0 \\
+   0 & 1 & 0 & 0 &  1 & 1 & 1 & 0 \\
+   0 & 0 & 1 & 0 &  1 & 1 & 1 & 1 \\
+   0 & 0 & 0 & 1 &  0 & 1 & 0 & 1 \\
+\hline
+\end{tabular}
+\\
+&\to
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+   1 & 0 & 0 & 0 &  0 & 1 & 1 & 0 \\
+   0 & 1 & 0 & 0 &  1 & 1 & 1 & 0 \\
+   0 & 0 & 1 & 0 &  1 & 1 & 1 & 1 \\
+   0 & 0 & 0 & 1 &  0 & 1 & 0 & 1 \\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{align*}
+Daraus liest man die Inverse $A^{-1}$ der Koeffizientenmatrix $A$ ab als
+\[
+A^{-1}
+=
+\begin{pmatrix}
+   0 & 1 & 1 & 0 \\
+   1 & 1 & 1 & 0 \\
+   1 & 1 & 1 & 1 \\
+   0 & 1 & 0 & 1 
+\end{pmatrix}
+\]
+\item Wir prüfen das Resultat durch Ausmultiplizieren:
+\[
+AA^{-1}
+=
+\begin{pmatrix}
+   1 & 1 & 0 & 0 \\
+   0 & 1 & 1 & 1 \\
+   1 & 1 & 1 & 1 \\
+   0 & 1 & 1 & 0 
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+   0 & 1 & 1 & 0 \\
+   1 & 1 & 1 & 0 \\
+   1 & 1 & 1 & 1 \\
+   0 & 1 & 0 & 1 
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+   1 & 0 & 0 & 0 \\
+   0 & 1 & 0 & 0 \\
+   0 & 0 & 1 & 0 \\
+   0 & 0 & 0 & 1 
+\end{pmatrix}
+\]
+Dabei kann man verwenden, dass der Eintrag in Zeile $i$ und Spalte $k$ des
+Produktes die Anzahl der Positionen ist, wo in der Zeile $i$ von $A$
+und in der Spalte $j$ von $A^{-1}$ eine $1$ steht.
+\end{teilaufgaben}
+\end{loesung}
-- 
cgit v1.2.1

