From 7ba2b33ce9ed11753a1bb80d833354393f7e7603 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Wed, 22 Sep 2021 21:06:58 +0200
Subject: zweite Leseung Kapitel 3 und 4

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+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
@@ -15,12 +15,13 @@ erweitert haben.
 Es ist aber auch möglich, nur die Zahl $\sqrt{2}$ hinzuzufügen,
 so entsteht der Körper $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$.
 Das Problem dabei ist, was denn eigentlich $\sqrt{2}$ überhaupt ist.
-Solange man die reellen Zahlen nicht hat, hat man auch $\sqrt{2}$ nicht.
+Solange man die reellen Zahlen nicht hat, hat man auch die
+gewohnte Realisation von $\sqrt{2}$ nicht.
 Das Problem wird akut bei den endlichen Körpern wie zum Beispiel
 $\mathbb{F}_3$,
 da man diese nicht in $\mathbb{R}$ einbetten kann, also keine
 bekannte Menge von Zahlen existiert, in der wir die Wurzel $\sqrt{2}$
-finden könnte.
+finden könnten.
 
 Im Altertum fiel dieses Problem zunächst den Pythagoreern auf.
 Wenn $\sqrt{2}$ kein Bruch ist, was ist es dann?
@@ -46,7 +47,7 @@ Zunächst wird in Abschnitt~\ref{buch:subsection:koerpererweiterungen}
 gezeigt, dass man immer eine Matrix $M_\alpha$ finden kann, welche
 genau die algebraischen Eigenschaften einer Nullstelle $\alpha$ eines
 Polynoms hat.
-Die Frage ``Was ist $\alpha$?'' erhält also die Antwort ``Eine Matrix''.
+Die Frage ``Was ist $\alpha$?'' erhält also die Antwort ``eine Matrix''.
 Mit diesem Bild lassen sich alle Körperoperationen realisieren, die
 Inverse kann zum Beispiel als die inverse Matrix mit dem
 Gauss-Algorithmus berechnet werden.
@@ -62,7 +63,7 @@ genauer zu charakterisieren.
 
 \subsection{Irreduzible Polynome
 \label{buch:subsection:irreduziblepolynome}}
-Die Zahlen, die man dem Körper hinzufügen möchte, müssen Nullstellen
+Die Zahlen, die man dem Körper $\Bbbk$ hinzufügen möchte, müssen Nullstellen
 eines Polynoms sein.
 Wir gehen daher davon aus, dass $f\in \Bbbk[X]$ ein Polynom mit
 Koeffizienten in $\Bbbk$ ist, dessen Nullstelle $\alpha$ hinzugefügt
@@ -89,7 +90,8 @@ Zusätzlich kann verlangt werden, dass das Polynom normiert ist.
 
 \begin{definition}
 Ein Polynom $f\in \Bbbk[X]$ heisst {\em irreduzibel}, wenn es sich nicht
-in zwei Faktoren $g,h\in \Bbbk[X]$ mit $f=gh$ zerlegen lässt.
+in zwei Faktoren $g,h\in \Bbbk[X]$ geringeren Grades mit $f=gh$ zerlegen
+lässt.
 \index{irreduzibles Polynom}%
 \end{definition}
 
@@ -101,10 +103,10 @@ Das Polynom $f(X)=X^2-2$ ist in $\mathbb{Q}[X]$, es hat die beiden
 Nullstellen $\sqrt{2}$ und $-\sqrt{2}$.
 Beide Nullstellen haben die exakt gleichen algebraischen Eigenschaften,
 sie sind mit algebraischen Mitteln nicht zu unterscheiden.
-Nur die Vergleichsrelation ermöglicht, die negative Wurzel von der
+Nur die Ordnungsrelation ermöglicht, die negative Wurzel von der
 positiven zu unterscheiden.
 Das Polynom kann in $\mathbb{Q}$ nicht faktorisiert werden, denn die
-einzig denkbare Faktorisierung ist $(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})$, die
+einzige denkbare Faktorisierung ist $(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})$, die
 Faktoren sind aber keine Polynome in $\mathbb{Q}[X]$.
 Also ist $f(X) = X^2 - 2$ ein irreduzibles Polynom über $\mathbb Q$.
 
@@ -130,9 +132,11 @@ X^2 -2 \mod 23,
 \begin{beispiel}
 Die Zahl 
 \[
-\alpha = \frac{1+i\sqrt{3}}2
+\alpha = \frac{-1+i\sqrt{3}}2\in\mathbb{C}
 \]
+\label{buch:endliche-koerper:eqn:1iwurzel3}
 ist eine Nullstelle des Polynoms $f(X)=X^3-1\in\mathbb{Z}[X]$.
+Der Ausdruck für
 $\alpha$ enthält aber nur Quadratwurzeln, man würde also eigentlich
 erwarten, dass $\alpha$ Nullstelle eines quadratischen Polynoms ist.
 Tatsächlich ist $f(X)$ nicht irreduzibel,  es ist nämlich
@@ -178,7 +182,7 @@ konstruiert werden soll.
 
 \subsubsection{Erweiterung mit einem irreduziblen Polynom}
 Sei $m\in\Bbbk[X]$ ein irreduzibles Polynome über $\Bbbk$ mit dem Grad
-$\deg m=n$,
+$\deg m=n>1$,
 wir dürfen es als normiert annehmen und schreiben es in der Form
 \[
 m(X)
@@ -238,7 +242,7 @@ Basisvektoren von $\Bbbk(\alpha)$ wirkt:
 \alpha^2&\mapsto \alpha^3 \\
         &\phantom{m}\vdots\\
 \alpha^{n-2}&\mapsto \alpha^{n-1}\\
-\alpha^{n-1}&\mapsto \alpha^n = -m_0-m_1\alpha-m_2\alpha^2-\dots-m_{n-1}\alpha^{n-1}
+\alpha^{n-1}&\mapsto \alpha^n = -m_0-m_1\alpha-m_2\alpha^2-\dots-m_{n-1}\alpha^{n-1}.
 \end{aligned}
 \right.
 \]
@@ -255,8 +259,7 @@ M_{\alpha}
     &    &    &      & 1 &-m_{n-1}
 \end{pmatrix}.
 \]
-%TODO: Was ist hier die Aussage?
-Aufgrund der Konstruktion die Lineare Abbildung $m(M_\alpha)$,
+Aufgrund der Konstruktion wird die lineare Abbildung $m(M_\alpha)$,
 die man erhält, wenn
 man die Matrix $M_\alpha$ in das Polynom $m$ einsetzt, jeden Vektor
 in $\Bbbk(\alpha)$ zu Null machen.
@@ -264,7 +267,9 @@ Als Matrix muss daher $m(M_\alpha)=0$ sein.
 Dies kann man auch mit einem Computeralgebra-System nachprüfen.
 
 \begin{beispiel}
-In einem früheren Beispiel haben wir gesehen, dass
+In dem früheren Beispiel auf
+Seite~\pageref{buch:endliche-koerper:eqn:1iwurzel3}
+haben wir gesehen, dass
 $\alpha=\frac12(-1+\sqrt{3})$ 
 eine Nullstelle des irreduziblen Polynomes $m(X)=X^2+X+1$ ist.
 Die zugehörige Matrix $M_\alpha$ ist
@@ -317,7 +322,7 @@ M_\alpha^2+M_\alpha+I
 \]
 Die Matrix ist also eine mögliche Realisierung für das ``mysteriöse''
 Element $\alpha$.
-Es hat alle algebraischen Eigenschaften von $\alpha$.
+Sie hat alle algebraischen Eigenschaften von $\alpha$.
 \end{beispiel}
 
 Die Menge $\Bbbk(\alpha)$ kann durch die Abbildung $\alpha\mapsto M_\alpha$
@@ -335,12 +340,14 @@ Diese Abbildung ist ein Algebrahomomorphismus.
 Die Menge $\Bbbk(M_\alpha)$ ist also das Bild des
 Körpers $\Bbbk(\alpha)$ in der Matrizenalgebra $M_n(\Bbbk)$.
 
-\subsubsection{Inverse}
-Im Moment wissen wir noch nicht, wie wir $\alpha^{-1}$ berechnen sollten.
-Wir können aber auch die Matrizendarstellung verwenden.
-Für Matrizen wissen wir selbstverständlich, wie Matrizen invertiert
+\subsubsection{Inverse mit der inversen Matrix}
+Im Moment wissen wir noch nicht, wie wir Elemente in $\Bbbk(\alpha)$ 
+invertieren sollen.
+%$\alpha^{-1}$ berechnen sollten.
+Wir können dafür aber die Matrizendarstellung verwenden.
+Für Matrizen wissen wir selbstverständlich, wie sie invertiert
 werden können.
-Tatsächlich kann man die Matrix $M_\alpha$ direkt invertieren:
+Tatsächlich kann man die Matrix $M_\alpha$ z.~B.~direkt invertieren:
 \[
 M_\alpha^{-1}
 =
@@ -527,8 +534,8 @@ werden:
 \hline
 \end{tabular}
 \end{align*}
-Für die Durchführung braucht man die Inversen in $\mathbb{F}_7$
-der Pivot-Elemente, sie sind $2^{-1}=4$ und $3^{-1}=5$.
+Für die Durchführung braucht man die Inversen
+der Pivot-Elemente in $\mathbb{F}_7$, sie sind $2^{-1}=4$ und $3^{-1}=5$.
 Im rechten Teil des Tableau steht jetzt die inverse Matrix
 \[
 A^{-1}
@@ -544,28 +551,29 @@ Daraus können wir jetzt das inverse Element
 b(\alpha) = 6\alpha+5\alpha^2
 \]
 ablesen.
-Das Produkt $b(X)\cdot a(X)$ ist
+Zur Kontrolle berechnen wir das Produkt $b(X)\cdot a(X)$, es ist
 \begin{align*}
 (1+2X+2X^2)(6X+5X^2)
 &=
 10X^4 + 22X^3 + 17X^2 + 6X
 \\
 &=
-3X^4+X^3+3X^2+6X
+3X^4+X^3+3X^2+6X.
 \intertext{
-Diese Polynom muss jetzt mit dem Minimalpolynom $m(X)$ reduziert
+Dieses Polynom muss jetzt mit dem Minimalpolynom $m(X)$ reduziert
 werden, wir subtrahieren dazu $3Xm(X)$ und erhalten}
 &=
 -5X^3-3X^2-3X
 \\
 &=
-2X^3+4X^2+4X
+2X^3+4X^2+4X.
 \intertext{Die vollständige Reduktion wird erreicht, indem wir nochmals
 $2m(X)$ subtrahieren:}
 &=
 -6 \equiv 1\mod 7,
 \end{align*}
-das Element $b(\alpha)=6\alpha+5\alpha^2$ ist also das Inverse Element von
+das Element $b(\alpha)=6\alpha+5\alpha^2$ ist also tatsächlich
+das inverse Element von
 $a(\alpha)=1+2\alpha+2\alpha^2$ in $\mathbb{F}_7(\alpha)$.
 \label{buch:endlichekoerper:beispiel:inversemitmatrix}
 \end{beispiel}
@@ -588,9 +596,9 @@ Beispiel auf $\varphi(m) = m(M_\alpha) = 0$ abgebildet.
 
 Der Kern von $\varphi$ besteht aus allen Polynomen $p\in\Bbbk[X]$,
 für die $p(M_\alpha)=0$ gilt.
-Da aber alle Matrizen $E,M_\alpha,\dots,M_\alpha^{n-1}$ linear
+Da aber alle Matrizen $I,M_\alpha,\dots,M_\alpha^{n-1}$ linear
 unabhängig sind, muss ein solches Polynom den gleichen Grad haben
-we $m$, und damit ein Vielfaches von $m$ sein.
+wie $m$, und damit ein Vielfaches von $m$ sein.
 Der Kern besteht daher genau aus den Vielfachen von $m(X)$,
 $\ker\varphi = m(X)\Bbbk[X]$.
 
@@ -641,7 +649,7 @@ welches $I$ echt enhält.
 Sei $a\in J\setminus I$.
 Da $R/I$ ein Körper ist, ist $a+I$ invertierbar, es gibt also ein
 $b\in R$ mit $ab+I=1+I$.
-Da $a\in J$ folgt $Ra\subset J$.
+Da $a\in J$ ist, folgt $Ra\subset J$.
 Andererseits ist $1\in Ra$, also ist $J=R$ und das Ideal $J$ ist maximal.
 \end{proof}
 
@@ -652,10 +660,10 @@ somit ist $\Bbbk[X]/m\Bbbk[X]\cong \Bbbk(M_\alpha) \cong \Bbbk(\alpha)$.
 Die algebraische Konstruktion hat gezeigt, dass die arithmetischen
 Operationen im Körper $\Bbbk(\alpha)$ genau die Operationen 
 in $\Bbbk[X]/m\Bbbk[X]$ sind.
-Eine Zahl in $\Bbbk(\alpha)$ wird also durch ein Polynom vom 
+Eine ``Zahl'' in $\Bbbk(\alpha)$ wird also durch ein Polynom vom 
 $n-1$ dargestellt.
-Addieren und Subtrahieren erfolgen Koeffizientenweise in $\Bbbk$.
-Bei der Multiplikation entsteht möglicherwise ein Polynom grösseren
+Addieren und Subtrahieren erfolgen koeffizientenweise in $\Bbbk$.
+Bei der Multiplikation entsteht möglicherweise ein Polynom grösseren
 Grades, mit dem Polynomdivisionsalgorithmus kann der Rest bei Division
 durch $m$ ermittelt werden.
 
@@ -739,8 +747,8 @@ Dies ist derselbe Rest wie wir mit dem Divisionsalgorithmus
 gefunden haben.
 \end{beispiel}
 
-Diese Form des Reduktionsalgorithmus ist besonders leicht durchzuführen
-in einem Körper $\mathbb{F}_2$, da dort die Addition und die Subtraktion
+Diese Form des Reduktionsalgorithmus ist in einem Körper $\mathbb{F}_2$
+besonders leicht durchzuführen, da dort die Addition und die Subtraktion
 der Koeffizienten übereinstimmen.
 Die Multiplikation mit $X$ ist nichts anders als ein Shift der
 Koeffizienten.
@@ -919,5 +927,5 @@ Seite~\pageref{buch:endlichekoerper:beispiel:inversemitmatrix}
 Besonders einfach ist die Rechung für $\Bbbk=\mathbb{F}_2$.
 Dieser Spezialfall ist für die praktische Anwendung in der Kryptographie
 von besonderer Bedeutung, daher wird er im 
-In Kapitel~\ref{buch:chapter:kryptographie} genauer untersucht.
+Kapitel~\ref{buch:chapter:kryptographie} genauer untersucht.
 
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cgit v1.2.1

