From dfcaa8ec3257a82bb77920524c929419ed2edb56 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 30 Mar 2021 07:55:07 +0200
Subject: =?UTF-8?q?Tippfehler=20korrigiert=20(mit=20Dank=20f=C3=BCr=20den?=
 =?UTF-8?q?=20Hinweis=20an=20L.=20Zogg)?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 .../30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex    |  2 +-
 .../30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex    | 30 +++++++++++-----------
 2 files changed, 16 insertions(+), 16 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/30-endlichekoerper')

diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex
index 8a83256..5dea881 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3003.tex
@@ -46,7 +46,7 @@ Q(2)Q(1)Q(3)Q(4)
 \begin{pmatrix} 4&-17\\ -11&47 \end{pmatrix}.
 \end{align*}
 Daraus kann man ablesen, dass $s=4$ und $t=-17$, tatsächlich ist
-$4\cdot 47-47\cdot 11=188-187=1$.
+$4\cdot 47-17\cdot 11=188-187=1$.
 Wir schliessen daraus, dass $-17=30\in\mathbb{F}_{47}$ die multiplikative
 Inverse von $b=11$ ist.
 Die Rechnung $11\cdot 30 = 330 = 7\cdot 47 + 1$ zeigt, dass dies
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex
index 046ac94..deb15dc 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3004.tex
@@ -65,19 +65,19 @@ Die Gauss-Tableaux sind
 \begin{align*}
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
 \hline
-   1 & 1 & 0 & 0 &  1\\
-   0 & 1 & 1 & 1 &  0\\
-   1 & 1 & 1 & 1 &  0\\
-   0 & 1 & 1 & 0 &  1\\
+   1 & 1 & 0 & 0 &  0\\
+   0 & 1 & 1 & 1 &  1\\
+   1 & 1 & 1 & 1 &  1\\
+   0 & 1 & 1 & 0 &  0\\
 \hline
 \end{tabular}
 &\to
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
 \hline
-   1 & 1 & 0 & 0 &  1\\
-   0 & 1 & 1 & 1 &  0\\
+   1 & 1 & 0 & 0 &  0\\
+   0 & 1 & 1 & 1 &  1\\
    0 & 0 & 1 & 1 &  1\\
-   0 & 1 & 1 & 0 &  1\\
+   0 & 1 & 1 & 0 &  0\\
 \hline
 \end{tabular}
 %\\
@@ -85,8 +85,8 @@ Die Gauss-Tableaux sind
 \to
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
 \hline
-   1 & 1 & 0 & 0 &  1\\
-   0 & 1 & 1 & 1 &  0\\
+   1 & 1 & 0 & 0 &  0\\
+   0 & 1 & 1 & 1 &  1\\
    0 & 0 & 1 & 1 &  1\\
    0 & 0 & 0 & 1 &  1\\
 \hline
@@ -95,8 +95,8 @@ Die Gauss-Tableaux sind
 \to
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
 \hline
-   1 & 1 & 0 & 0 &  1\\
-   0 & 1 & 1 & 0 &  1\\
+   1 & 1 & 0 & 0 &  0\\
+   0 & 1 & 1 & 0 &  0\\
    0 & 0 & 1 & 0 &  0\\
    0 & 0 & 0 & 1 &  1\\
 \hline
@@ -106,8 +106,8 @@ Die Gauss-Tableaux sind
 \to
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
 \hline
-   1 & 1 & 0 & 0 &  1\\
-   0 & 1 & 0 & 0 &  1\\
+   1 & 1 & 0 & 0 &  0\\
+   0 & 1 & 0 & 0 &  0\\
    0 & 0 & 1 & 0 &  0\\
    0 & 0 & 0 & 1 &  1\\
 \hline
@@ -118,7 +118,7 @@ Die Gauss-Tableaux sind
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
 \hline
    1 & 0 & 0 & 0 &  0\\
-   0 & 1 & 0 & 0 &  1\\
+   0 & 1 & 0 & 0 &  0\\
    0 & 0 & 1 & 0 &  0\\
    0 & 0 & 0 & 1 &  1\\
 \hline
@@ -128,7 +128,7 @@ In der ersten Zeile stehen die Schritt der Vorwärtsreduktion, in der
 zweiten die Schritte des Rückwärtseinsetzens.
 Als Lösung liest man ab
 \[
-x=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1 \end{pmatrix},
+x=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1 \end{pmatrix},
 \]
 die Korrektheit kann man leicht durch Einsetzen überprüfen.
 \item
-- 
cgit v1.2.1


From d6cada0da41ae105c293804d5b314d88c72bbcee Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Roy Seitz <roy.seitz@ost.ch>
Date: Thu, 1 Apr 2021 13:39:23 +0200
Subject: Typo.

---
 buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/chapters/30-endlichekoerper')

diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex
index 28f4d2c..8435bf3 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex
@@ -1,4 +1,4 @@
-Das Polynom $m(X)=X^2+X+1$ ist als Polynom in $\mathbb{F}_3[X]$ irreduzibel.
+Das Polynom $m(X)=X^2+2X+2$ ist als Polynom in $\mathbb{F}_3[X]$ irreduzibel.
 Dies bedeutet, dass der Ring der Polynome $\mathbb{F}_3[X] / (m(X))$ 
 ein Körper ist, man bezeichnet ihn auch mit $\mathbb{F}_3(\alpha)$,
 wobei man sich $\alpha$ als eine Nullstelle von $m(X)$
-- 
cgit v1.2.1


From e3672b14f72766592748d50c0162f7544c5df907 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Roy Seitz <roy.seitz@ost.ch>
Date: Thu, 1 Apr 2021 15:20:39 +0200
Subject: =?UTF-8?q?Musterl=C3=B6sung=20korrigiert.?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 .../30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex    | 121 ++++++++++++++-------
 1 file changed, 81 insertions(+), 40 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/30-endlichekoerper')

diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex
index 8435bf3..65c18a2 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex
@@ -1,10 +1,12 @@
+% !TeX spellcheck = de_CH
 Das Polynom $m(X)=X^2+2X+2$ ist als Polynom in $\mathbb{F}_3[X]$ irreduzibel.
 Dies bedeutet, dass der Ring der Polynome $\mathbb{F}_3[X] / (m(X))$ 
-ein Körper ist, man bezeichnet ihn auch mit $\mathbb{F}_3(\alpha)$,
-wobei man sich $\alpha$ als eine Nullstelle von $m(X)$
+ein Körper ist.
+Man bezeichnet ihn auch mit $\mathbb{F}_3(\alpha)$,
+wobei man sich $\alpha$ als Nullstelle von $m(X)$
 oder als die Matrix
 \[
-\alpha = \begin{pmatrix} 0&2\\1&2\end{pmatrix}
+\alpha = \begin{pmatrix} 0&1\\1&1\end{pmatrix}
 \]
 vorstellen kann.
 \begin{teilaufgaben}
@@ -70,17 +72,30 @@ Die Additions- und Multiplikationstabelle von $\mathbb{F}_3$ ist
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 \item
-Wegen $m(\alpha)=\alpha^2+\alpha+1=0$ folgt $\alpha+1+\alpha^{-1}=0$
-oder $\alpha^{-1} = -\alpha - 1 = 2+2\alpha$.
+Aus $m(\alpha)=\alpha^2+2\alpha+2=0$ folgt
+\begin{align*}
+  \alpha + 2 + 2\alpha^{-1} 
+  &=
+  0
+  \\
+  2\alpha^{-1} 
+  &=
+  2\alpha + 1
+  \\
+  \alpha^{-1}
+  &=
+  \alpha + 2
+  .
+\end{align*}
 Als Matrix kann man
 \[
 \alpha^{-1}
 =
-2\alpha + 2
+\alpha + 2
 =
 \begin{pmatrix}
-0&4\\
-2&4
+0&1\\
+1&1
 \end{pmatrix}
 +
 \begin{pmatrix}
@@ -88,10 +103,10 @@ Als Matrix kann man
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
-2&4\\2&2
+2&1\\1&3
 \end{pmatrix}
 \equiv
-\begin{pmatrix}2&1\\2&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}
 \mod 3
 \]
 schreiben und durch Nachrechnen verifizieren dass, tatsächlich gilt
@@ -99,17 +114,17 @@ schreiben und durch Nachrechnen verifizieren dass, tatsächlich gilt
 \alpha\alpha^{-1}
 =
 \begin{pmatrix}
-0&2\\
-1&2
+0&1\\
+1&1
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 2&1\\
-2&0
+1&0
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
-4&0\\
-6&1
+1&0\\
+3&1
 \end{pmatrix}
 \equiv
 \begin{pmatrix}
@@ -125,9 +140,11 @@ Im ersten Schritt ist es
 \[
 \arraycolsep=1.4pt
 \begin{array}{rcrcrcrcrcr}
- \llap{$($}X^2&+&X&+&1\rlap{$)$}&\;:&(X&+&1)&=&X = q_1\\
-\llap{$-($}X^2&+&X\rlap{$)$}& &  & &  & &  & & \\ \cline{1-3}
-     & &0&+&1 &\rlap{$\mathstrut = r_1$}\phantom{)}& &  & &  & \\
+  \llap{$($}X^2&+&2X&+&2\rlap{$)$}&\;:&(X&+&1)&=&X + 1 = q_1\\
+ \llap{$-($}X^2&+&X\rlap{$)$}& &  & &  & &  & & \\ \cline{1-3}
+     & &X&+&2 & & &  & &  & \\
+ & & \llap{$-($}X&+&1\rlap{$)$} & &  & &  & & \\ \cline{3-5}
+ & & & &1 &\rlap{$\mathstrut = r_1$}\phantom{)}& &  & & &\\
 \end{array}
 \]
 Die nächste Division ist $(X+1) : 1$, die als Quotient $q_2=X+1$ und den
@@ -152,53 +169,77 @@ Q(q_1)
 0&1\\1&2X+2
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
-0&1\\{\color{red}1}&{\color{red}2X}
+0&1\\1&2X+2
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
-{\color{red}1}&{\color{red}2X}\\
-2X&X^2+X+1
+1&2X+2\\
+2X+2&X^2+X+2
 \end{pmatrix}.
 \end{align*}
-Die gesuchten Polynome sind $s=1$ und $t=2X$ und man kann nachrechnen,
+Die gesuchten Polynome sind $s=1$ und $t=2X+2$ und man kann nachrechnen,
 dass
 \begin{align*}
 s\cdot m(X) + t\cdot (X+1)
 &=
-X^2+X+1 + 2X\cdot (X+1)
-=
-X^2+X+1 + 2X^2 + 2X
+X^2+2X+2 + (2X+2)\cdot (X+1)
 \\
-&= 3X^2+3X+1\equiv 1 \mod 3.
+&=
+X^2+2X+2 + 2X^2 + 4X + 2
+\\
+&= 3X^2+6X+1\\
+&\equiv 1 \mod 3.
 \end{align*}
 Natürlich kann man $s$ und $t$ auch mit der erweiterten Tabelle
 finden:
 \begin{center}
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
 \hline
-k&    a_k&b_k& q_k&r_k& c_k&     d_k\\
+k&    a_k&b_k & q_k&r_k& c_k&     d_k\\
 \hline
- &       &   &    &   &   1&       0\\
-0&X^2+X+1&X+1& X  &  1&   0&       1\\
-1&    X+1&  1& X+1&  0&{\color{red}   1}&{\color{red}      2X}\\
-2&      1&  0&    &  0&2X+2& 2X^2+2X\\
+ &        &   &    &   &   1&       0\\
+0&X^2+2X+2&X+1& X+1&  1&   0&       1\\
+1&     X+1&  1& X+1&  0&   1&    2X+2\\
+2&       1&  0&    &  0&2X+2&X^2+2X+2\\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
-In allen Fällen ist also $(1+X)^{-1} = 2X$.
+In allen Fällen ist also $(X+1)^{-1} = 2X+2$.
 \item
-Wegen $m(\alpha)=0$ ist $\alpha^2=-\alpha-1=2\alpha+2$ und damit
+Wegen $m(\alpha)=\alpha^2 + 2\alpha + 2 = 0$ ist
+$\alpha^2=-2\alpha-2=\alpha+1$ und damit
 \begin{align*}
 \alpha^3
 &=
-\alpha\cdot \alpha^2 = \alpha (2\alpha +2) = 
-2\alpha^2 + 2\alpha
-=
-2(\underbrace{\alpha^2 + \alpha + 1}_{\displaystyle=0} + 2)
-=
-2\cdot 2
+\alpha\cdot \alpha^2 = \alpha (\alpha +1) = 
+\alpha^2 + \alpha
 =
-1.
+2\alpha+1
+.
+\end{align*}
+Die restlichen Potenzen von $\alpha$ sind
+\begin{align*}
+  \alpha^4
+  &=
+  \alpha (2\alpha+1)
+  = 2\alpha^2 + \alpha
+  = 2\alpha + 2 + \alpha = 2
+  \\
+  \alpha^5
+  &=
+  2\alpha
+  \\
+  \alpha^6
+  &=
+  2\alpha^2
+  =
+  2\alpha + 2
+  \\
+  \alpha^7
+  &=
+  2\alpha^2 + 2\alpha
+  =
+  \alpha + 2
 \qedhere
 \end{align*}
 \end{teilaufgaben}
-- 
cgit v1.2.1


From 47354a0dd46c84826157a474ba2560156de509ac Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 8 Apr 2021 08:52:45 +0200
Subject: binomial images improved

---
 .../30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf        | Bin 19246 -> 19417 bytes
 .../30-endlichekoerper/images/binomial2.tex        |  19 +++++++
 .../30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf        | Bin 26050 -> 27894 bytes
 .../30-endlichekoerper/images/binomial5.tex        |  58 +++++++++++++++++++++
 4 files changed, 77 insertions(+)

(limited to 'buch/chapters/30-endlichekoerper')

diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf
index 92be742..0a07c92 100644
Binary files a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf and b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf differ
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.tex
index 77ccb57..1856844 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.tex
@@ -279,6 +279,25 @@
 \dreieck{32}{0}
 \dreieck{32}{32}
 
+\dreieck{33}{0}
+\dreieck{33}{1}
+\dreieck{33}{32}
+\dreieck{33}{33}
+
+\dreieck{34}{0}
+\dreieck{34}{2}
+\dreieck{34}{32}
+\dreieck{34}{34}
+
+\dreieck{35}{0}
+\dreieck{35}{1}
+\dreieck{35}{2}
+\dreieck{35}{3}
+\dreieck{35}{32}
+\dreieck{35}{33}
+\dreieck{35}{34}
+\dreieck{35}{35}
+
 \def\etikett#1#2#3{
 	\node at ({\xs*(-#1+2*#2)},{-\ys*(#1+0.5)}) {$#3$};
 }
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf
index 1b2a813..a4bdf51 100644
Binary files a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf and b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf differ
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.tex
index 750b7e0..815e611 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.tex
@@ -358,6 +358,64 @@
 \dreieck{32}{31}{2}
 \dreieck{32}{32}{1}
 
+\dreieck{33}{0}{1}
+\dreieck{33}{1}{3}
+\dreieck{33}{2}{3}
+\dreieck{33}{3}{1}
+\dreieck{33}{5}{1}
+\dreieck{33}{6}{3}
+\dreieck{33}{7}{3}
+\dreieck{33}{8}{1}
+\dreieck{33}{25}{1}
+\dreieck{33}{26}{3}
+\dreieck{33}{27}{3}
+\dreieck{33}{28}{1}
+\dreieck{33}{30}{1}
+\dreieck{33}{31}{3}
+\dreieck{33}{32}{3}
+\dreieck{33}{33}{1}
+
+\dreieck{34}{0}{1}
+\dreieck{34}{1}{4}
+\dreieck{34}{2}{1}
+\dreieck{34}{3}{4}
+\dreieck{34}{4}{1}
+\dreieck{34}{5}{1}
+\dreieck{34}{6}{4}
+\dreieck{34}{7}{1}
+\dreieck{34}{8}{4}
+\dreieck{34}{9}{1}
+\dreieck{34}{25}{1}
+\dreieck{34}{26}{4}
+\dreieck{34}{27}{1}
+\dreieck{34}{28}{4}
+\dreieck{34}{29}{1}
+\dreieck{34}{30}{1}
+\dreieck{34}{31}{4}
+\dreieck{34}{32}{1}
+\dreieck{34}{33}{4}
+\dreieck{34}{34}{1}
+
+\dreieck{35}{0}{1}
+\dreieck{35}{5}{2}
+\dreieck{35}{10}{1}
+\dreieck{35}{25}{1}
+\dreieck{35}{30}{2}
+\dreieck{35}{35}{1}
+
+\dreieck{36}{0}{1}
+\dreieck{36}{1}{1}
+\dreieck{36}{5}{2}
+\dreieck{36}{6}{2}
+\dreieck{36}{10}{1}
+\dreieck{36}{11}{1}
+\dreieck{36}{25}{1}
+\dreieck{36}{26}{1}
+\dreieck{36}{30}{2}
+\dreieck{36}{31}{2}
+\dreieck{36}{35}{1}
+\dreieck{36}{36}{1}
+
 \def\etikett#1#2#3{
 	\node at ({\xs*(-#1+2*#2)},{-\ys*(#1+0.5)}) {$#3$};
 }
-- 
cgit v1.2.1


From ee33b6de909df12cdd757abcb5db04fc9d2b5a56 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 13 Apr 2021 15:46:41 +0200
Subject: kgV

---
 buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex | 236 ++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 236 insertions(+)

(limited to 'buch/chapters/30-endlichekoerper')

diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
index db326f8..9bc36a6 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
@@ -431,6 +431,7 @@ zur Bestimmung des grössten gemeinsamen Teilers von $76415$ und $23205$
 zur Berechnung der Koeffizienten $c_k$ und $d_k$
 Wir schreiben die gefundenen Zahlen in eine Tabelle:
 \begin{center}
+\label{buch:endlichekoerper:beispiel1erweitert}
 \renewcommand{\arraystretch}{1.1}
 \begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
 \hline
@@ -614,4 +615,239 @@ Aus den letzten zwei Zeilen folgt
 $ua-vb = ab/g - ab/g = 0$, wie erwartet.
 \end{beispiel}
 
+%
+% Das kleinste gemeinsame Vielfache
+%
+\subsection{Das kleinste gemeinsame Vielfache
+\label{buch:subsection:daskgv}}
+Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen $a$ und $b$ ist
+\[
+\operatorname{kgV}(a,b)
+=
+\frac{ab}{\operatorname{ggT}(a,b)}.
+\]
+Wir suchen nach einen Algorithmus, mit dem man das kleinste gemeinsame
+Vielfache effizient berechnen kann.
+
+Die Zahlen $a$ und $b$ sind beide Vielfache des grössten gemeinsamen
+Teilers $g=\operatorname{ggT}(a,b)$, es gibt also Zahlen $u$ und $v$ derart,
+dass $a=ug$ und $b=vg$.
+Wenn $t$ ein gemeinsamer Teiler von $u$ und $v$ ist, dann ist $tg$ ein
+grösserer gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$.
+Dies kann nicht sein, also müssen $u$ und $v$ teilerfremd sein.
+Das kleinste gemeinsame Vielfache von $a$ und $b$ ist dann $ugv=av=ub$.
+Die Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ist also gleichbedeutend
+mit der Bestimmung der Zahle $u$ und $v$.
+
+Die definierende Eigenschaften von $u$ und $v$ kann man in Matrixform als
+\begin{equation}
+\begin{pmatrix}
+a\\b
+\end{pmatrix}
+=
+\underbrace{
+\begin{pmatrix}
+u&?\\
+v&?
+\end{pmatrix}}_{\displaystyle =K}
+\begin{pmatrix}
+\operatorname{ggT}(a,b)\\ 0
+\end{pmatrix}
+\label{buch:eindlichekoerper:eqn:uvmatrix}
+\end{equation}
+geschrieben werden, wobei wir die Matrixelemente $?$ nicht kennen.
+Diese Elemente müssen wir auch nicht kennen, um $u$ und $v$ zu bestimmen.
+
+Bei der Bestimmung des grössten gemeinsamen Teilers wurde der Vektor auf
+der rechten Seite von~\eqref{buch:eindlichekoerper:eqn:uvmatrix} bereits
+gefunden.
+Die Matrizen $Q(q_i)$, die die einzelne Schritte des euklidischen
+Algorithmus beschreiben, ergeben ihn als
+\[
+\begin{pmatrix}
+\operatorname{ggT}(a,b)\\0
+\end{pmatrix}
+=
+Q(q_n)Q(q_{n-1}) \dots Q(q_1)Q(q_0)
+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}.
+\]
+Indem wir die Matrizen $Q(q_n)$ bis $Q(q_0)$ auf die linke Seite der
+Gleichung schaffen, erhalten wir
+\[
+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}
+=
+Q(q_0)^{-1}
+Q(q_1)^{-1}
+\dots
+Q(q_{n-1})^{-1}
+Q(q_n)
+\begin{pmatrix}\operatorname{ggT}(a,b)\\0\end{pmatrix}.
+\]
+Eine mögliche Lösung für die Matrix $K$ in
+\eqref{buch:eindlichekoerper:eqn:uvmatrix}
+ist der die Matrix
+\[
+K
+=
+Q(q_0)^{-1}
+Q(q_1)^{-1}
+\dots
+Q(q_{n-1})^{-1}
+Q(q_n).
+\]
+Insbesondere ist die Matrix $K$ die Inverse der früher gefundenen
+Matrix $Q$.
+
+Die Berechnung der Matrix $K$ als Inverse von $Q$ ist nicht sehr
+effizient.
+Genauso wie es möglich war, das Produkt $Q$ der Matrizen
+$Q(q_k)$ iterativ zu bestimmen, muss es auch eine Rekursionsformel
+für das Produkt der inversen Matrizen $Q(q_k)^{-1}$ geben.
+
+Schreiben wir die die gesuchte Matrix 
+\[
+K_k
+=
+Q(q_0)^{-1}\dots Q(q_{k-1})^{-1}
+=
+\begin{pmatrix}
+e_k & e_{k-1}\\
+f_k & f_{k-1}
+\end{pmatrix},
+\]
+dann kann, kann $K_k$ durch die Rekursion
+\[
+K_{k+1}
+=
+K_{k} Q(q_k)^{-1} 
+=
+K_k K(q_k)
+\qquad\text{mit}\qquad
+K_0 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = I
+\]
+berechnen.
+Die Inverse von $Q(q)$ ist
+\[
+K(q)
+=
+Q(q)^{-1}
+=
+\frac{1}{\det Q(q)}
+\begin{pmatrix}
+q&1\\
+1&0
+\end{pmatrix}
+\quad\text{denn}\quad
+K(q)Q(q)
+=
+\begin{pmatrix}
+q&1\\
+1&0
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+0&1\\
+1&-q
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+1&0\\
+0&1
+\end{pmatrix}.
+\]
+Da die zweite Spalte von $K(q)$ die erste Spalte einer Einheitsmatrix
+ist, wird die zweite Spalte des Produktes $AK(q)$ immer die erste Spalte
+von $A$ sein.
+In $K_{k+1}$ ist daher nur die erste Spalte neu, die zweite Spalte ist
+die erste Spalte von $K_k$.
+
+Wenn $K_k$ die Matrixelemente
+\[
+K_k
+=
+\begin{pmatrix}
+e_k & e_{k-1} \\
+f_k & f_{k-1}
+\end{pmatrix}
+\qquad\text{und}\qquad
+K_0 =
+\begin{pmatrix}
+1&0\\
+0&1
+\end{pmatrix}
+\Rightarrow
+\left\{
+\begin{aligned}
+e_0 &= 1 & e_{-1} &= 0\\
+f_0 &= 0 & f_{-1} &= 1
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+Daraus kann man  Rekursionsformeln für die Folgen $e_k$ und $f_k$ 
+ablesen, es gilt
+\begin{align*}
+e_{k+1} &= q_ke_k + e_{k-1} \\
+f_{k+1} &= q_kf_k + f_{k-1}
+\end{align*}
+für $k=0,1,\dots ,n$.
+Damit können $e_k$ und $f_k$ gleichzeitig mit den Zahlen $c_k$ und $d_k$
+in einer Tabelle berechnen.
+
+\begin{beispiel}
+Wir erweitern das Beispiel von
+Seite~\pageref{buch:endlichekoerper:beispiel1erweitert}
+um die beiden Spalten zur Berechnung von $e_k$ und $f_k$:
+\begin{center}
+\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
+\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
+\hline
+k&   a_k&   b_k&    q_k&  r_k&     c_k&     d_k&   e_k&   f_k\\
+\hline
+ &      &      &       &     &       1&       0&     0&     1\\
+0& 76415& 23205&      3& 6800&       0&       1&     1&     0\\
+1& 23205&  6800&      3& 2805&       1&      -3&     3&     1\\
+2&  6800&  2805&      2& 1190&      -3&      10&    10&     3\\
+3&  2805&  1190&      2&  425&       7&     -23&    23&     7\\
+4&  1190&   425&      2&  340&     -17&      56&    56&    17\\
+5&   425&   340&      1&   85&      41&    -135&   135&    41\\
+6&   340&    85&      4&    0&     -58&     191&   191&    58\\
+7&    85&     0&       &     &     273&    -899&   899&   273\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+Der grösste gemeinsame Teiler ist $\operatorname{ggT}(a,b)=85$.
+Aus der letzten Zeile der Tabelle kann man jetzt die Zahlen $u=e_7=899$
+und $v=f_7=273$ ablesen, und tatsächlich ist
+\[
+a=76415 = 899\cdot 85
+\qquad\text{und}\qquad
+b=23205 = 273 \cdot 85.
+\]
+Daraus kann man dann auch das kleinste gemeinsame Vielfache ablesen, es ist
+\[
+\operatorname{kgV}(a,b)
+=
+\operatorname{kgV}(76415,23205)
+=
+\left\{
+\begin{aligned}
+ub
+&=
+899\cdot 23205\\
+va
+&=
+273\cdot 76415
+\end{aligned}
+\right\}
+=
+20861295.
+\qedhere
+\]
+\end{beispiel}
+
+Der erweiterte Algorithmus kann auch dazu verwendet werden,
+das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Polynome zu berechnen.
+Dies wird zum Beispiel bei der Decodierung des Reed-Solomon-Codes in
+Kapitel~\ref{chapter:reedsolomon} verwendet.
+
+
 
-- 
cgit v1.2.1


From b94b4240a20b40871b914ddd7ae5df14f020e112 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 13 Apr 2021 15:58:59 +0200
Subject: typos

---
 buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex | 38 +++++++----------------------
 1 file changed, 9 insertions(+), 29 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/30-endlichekoerper')

diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
index 9bc36a6..8aa2f71 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
@@ -637,7 +637,7 @@ grösserer gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$.
 Dies kann nicht sein, also müssen $u$ und $v$ teilerfremd sein.
 Das kleinste gemeinsame Vielfache von $a$ und $b$ ist dann $ugv=av=ub$.
 Die Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ist also gleichbedeutend
-mit der Bestimmung der Zahle $u$ und $v$.
+mit der Bestimmung der Zahlen $u$ und $v$.
 
 Die definierende Eigenschaften von $u$ und $v$ kann man in Matrixform als
 \begin{equation}
@@ -704,7 +704,7 @@ Genauso wie es möglich war, das Produkt $Q$ der Matrizen
 $Q(q_k)$ iterativ zu bestimmen, muss es auch eine Rekursionsformel
 für das Produkt der inversen Matrizen $Q(q_k)^{-1}$ geben.
 
-Schreiben wir die die gesuchte Matrix 
+Schreiben wir die gesuchte Matrix 
 \[
 K_k
 =
@@ -715,8 +715,8 @@ e_k & e_{k-1}\\
 f_k & f_{k-1}
 \end{pmatrix},
 \]
-dann kann, kann $K_k$ durch die Rekursion
-\[
+dann kann man $K_k$ durch die Rekursion
+\begin{equation}
 K_{k+1}
 =
 K_{k} Q(q_k)^{-1} 
@@ -724,7 +724,8 @@ K_{k} Q(q_k)^{-1}
 K_k K(q_k)
 \qquad\text{mit}\qquad
 K_0 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = I
-\]
+\label{buch:endlichekoerper:eqn:kgvrekursion}
+\end{equation}
 berechnen.
 Die Inverse von $Q(q)$ ist
 \[
@@ -760,30 +761,9 @@ von $A$ sein.
 In $K_{k+1}$ ist daher nur die erste Spalte neu, die zweite Spalte ist
 die erste Spalte von $K_k$.
 
-Wenn $K_k$ die Matrixelemente
-\[
-K_k
-=
-\begin{pmatrix}
-e_k & e_{k-1} \\
-f_k & f_{k-1}
-\end{pmatrix}
-\qquad\text{und}\qquad
-K_0 =
-\begin{pmatrix}
-1&0\\
-0&1
-\end{pmatrix}
-\Rightarrow
-\left\{
-\begin{aligned}
-e_0 &= 1 & e_{-1} &= 0\\
-f_0 &= 0 & f_{-1} &= 1
-\end{aligned}
-\right.
-\]
-Daraus kann man  Rekursionsformeln für die Folgen $e_k$ und $f_k$ 
-ablesen, es gilt
+Aus der Rekursionsformel \eqref{buch:endlichekoerper:eqn:kgvrekursion}
+für die Matrizen $K_k$ kann man jetzt eine Rekursionsbeziehung
+für die Folgen $e_k$ und $f_k$ ablesen, es gilt
 \begin{align*}
 e_{k+1} &= q_ke_k + e_{k-1} \\
 f_{k+1} &= q_kf_k + f_{k-1}
-- 
cgit v1.2.1


From 2e2b334e97f9054732a99db70b9f279c56eaa1c7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 13 Apr 2021 21:16:46 +0200
Subject: add example from Weitz

---
 buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex | 150 ++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 150 insertions(+)

(limited to 'buch/chapters/30-endlichekoerper')

diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
index 8aa2f71..15fd88c 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
@@ -519,6 +519,7 @@ Insbesondere ist der euklidische Algorithmus genauso wie die
 Matrixschreibweise auch für Polynome durchführbar.
 
 \begin{beispiel}
+\label{buch:endlichekoerper:eqn:polynomggt}
 Wir berechnen als Beispiel den grössten gemeinsamen Teiler 
 der Polynome
 \[
@@ -829,5 +830,154 @@ das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Polynome zu berechnen.
 Dies wird zum Beispiel bei der Decodierung des Reed-Solomon-Codes in
 Kapitel~\ref{chapter:reedsolomon} verwendet.
 
+\subsubsection{Polynome
+\label{buch:endlichekoerper:eqn:polynomkgv}}
+Im Beispiel auf Seite~\pageref{buch:endlichekoerper:eqn:polynomggt}
+wird der grösste gemeinsame Teiler der Polynome
+\[
+a
+=
+X^4 - 2X^3 -7 X^2 + 8X + 12,
+\qquad
+b = X^4 + X^3 -7X^2 -X + 6
+\]
+berechnet.
+Dies kann jetzt erweitert werden für die Berechnung des kleinsten
+gemeinsamen Vielfachen.
+
+\begin{beispiel}
+Die Berechnungstabelle nur für die Spalten $e_k$ und $f_k$ ergibt
+\begin{center}
+\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
+\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
+\hline
+k&   q_k&  e_k&  f_k\\
+\hline
+ &                 &                           0&                           1\\
+0&                1&                           1&                           0\\
+1&-\frac13X-\frac13&                           1&                           1\\
+2& \frac34X+\frac34&           -\frac13X+\frac23&           -\frac13X-\frac13\\
+ &                 &-\frac14X^2+\frac14X+\frac32&-\frac14X^2-\frac12X+\frac34\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+Daraus kann man ablesen, dass
+\[
+u
+=
+-\frac14X^2+\frac14X+\frac32
+\qquad\text{und}\qquad
+v
+=
+-\frac14X^2-\frac12X+\frac34.
+\]
+Daraus ergibt sich das kleinste gemeinsame Vielfache auf zwei verschiedene Weisen:
+\[
+\operatorname{ggT}(a,b)
+=
+\left\{
+\begin{aligned}
+\textstyle
+(-\frac14X^2+\frac14X+\frac32)&\cdot(X^4 - 2X^3 -7 X^2 + 8X + 12)
+\\
+\textstyle
+(-\frac14X^2-\frac12X+\frac34)&\cdot(X^4 + X^3 -7X^2 -X + 6)
+\end{aligned}
+\right\}
+=
+-\frac14X^6+\frac72X^4-\frac{49}4X^2+9.
+\]
+Die beiden Berechnungsmöglichkeiten stimmen wie erwartet überein.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Anwendung: Decodierung des Reed-Solomon-Codes}
+Der Reed-Solomon-Code verwendet Polynome zur Codierung der Daten,
+dies wird in Kapitel~\ref{chapter:reedsolomon} im Detail beschrieben.
+Bei der Decodierung muss der Faktor $u$ für zwei gegebene Polynome
+$n(X)$ und $r(X)$ bestimmt werden.
+Allerdings ist das Polynom $r(X)$ nicht vollständig bekannt, nur die 
+ersten paar Koeffizienten sind gegeben.
+Dafür weiss man zusätzlich, wieviele Schritte genau der Euklidische
+Algorithmus braucht.
+Daraus lässt sich genügend Information gewinnen, um die Faktoren $u$
+und $v$ zu bestimmen.
+Das Video \url{https://youtu.be/uOLW43OIZJ0} von Edmund Weitz
+erklärt die Theorie hinter dieser Teilaufgabe anhand von Beispielen.
+
+\begin{beispiel}
+Wir berechnen also die Faktoren $u$ und $v$ für die beiden Polynome
+\begin{align*}
+n(X)
+&=
+X^12+12
+\\
+r(X)
+&=
+7 X^{11} + 4 X^{10} + X^9 + 12 X^8 + 2 X^7 + 12 X^6 + w(X)
+\end{align*}
+in $\mathbb{F}_13[X]$, wobei $w(X)$ ein unbekanntes Polynom vom Grad $5$ ist. 
+Man weiss zusätzlich noch, dass der euklidische Algorithmus genau drei
+Schritte braucht, es gibt also genau drei Quotienten, die in die
+Berechnung der Zahlen $e_k$ und $f_k$ einfliessen.
 
+Im ersten Schritt des euklidischen Algorithmus ist der Quotient
+$n(X) / r(X)$ zu bestimmen, der Grad $1$ haben muss.
+\begin{align*}
+a_0=n(X)           &= X^12+12
+\\
+b_0=r(X)           &= 7 X^{11} + 4 X^{10} + X^9 + 12 X^8 + 2 X^7 + 12 X^6 + \dots
+\\
+q_0                &= 2X+10
+\\
+r_0 = a_0-b_0\cdot q_0 &= 10X^{10} + 5X^9 + 6X^8 + 8X^7 + \dots
+\\
+a_1 &= 7 X^{11} + 4 X^{10} + X^9 + 12 X^8 + 2 X^7 + 12 X^6 + \dots
+\\
+b_1 &= 10X^{10} + 5X^9 + 6X^8 + 8X^7 + \dots
+\\
+q_1 &= 2X+2
+\\
+r_1 = a_1 - b_1q_1 &= 5X^9 + 10 X^8 + \dots
+\\
+a_2 &= 10X^{10} + 5X^9 + 6X^8 + 8X^7 + \dots
+\\
+b_2 &= 5X^9 + 10 X^8 + \dots
+\\
+q_2 &= 2X+10
+\end{align*}
+Aus den Polynomen $q_k$ können jetzt die Faktoren $u$ und $v$
+bestimmt werden:
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|}
+\hline
+k&   q_k&               e_k&        f_k\\
+\hline
+ &      &                 0&          1\\
+0& 2X+10&                 1&          0\\
+1& 2X+2 &             2X+10&          1\\
+2& 2X+10&        4X^2+11X+8&       2X+2\\
+ &      & 8X^3+10X^2+11X+12& 4X^2+11X+8\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+Die Faktorisierung des Polynoms
+\[
+u
+=
+8X^3+10X^2+11X+12
+\]
+kann bestimmt werden, indem man alle Zahlen $1,2,\dots,12\in\mathbb{F}_{13}$
+einsetzt.
+Man findet so die Nullstellen $3$, $4$ und $8$, also muss das Polynom
+$u$ faktorisiert werden können als
+\[
+u=
+8(X-3)(X-4)(X-8)
+=
+8X^3 - 120X^2+544X-768
+=
+8X^3 +10X^2+11X+12.
+\qedhere
+\]
+\end{beispiel}
 
-- 
cgit v1.2.1


From 1fda316d0aacd6d068b3af4281871bee5b8e72cd Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 13 Apr 2021 21:21:25 +0200
Subject: add rs example

---
 .../30-endlichekoerper/rechnungen/rs.maxima        | 29 ++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 29 insertions(+)
 create mode 100644 buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/rs.maxima

(limited to 'buch/chapters/30-endlichekoerper')

diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/rs.maxima b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/rs.maxima
new file mode 100644
index 0000000..9116023
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/rs.maxima
@@ -0,0 +1,29 @@
+n: X^12 + 12;
+r: 7*X^11 + 4*X^10 + X^9 + 12*X^8 + 2*X^7 + 12*X^6;
+
+q0: 2*X+10;
+q1: 2*X+2;
+q2: 2*X+10;
+
+a0: n;
+b0: r;
+r0: expand(a0 - q0 * b0);
+
+a1: b0;
+b1: r0;
+r1: expand(a1 - q1 * b1);
+
+a2: b1;
+b2: r1;
+r2: expand(a2 - q2 * b2);
+
+K: matrix([1,0],[0,1]);
+
+K: expand(K . matrix([q0,1],[1,0]));
+K: expand(K . matrix([q1,1],[1,0]));
+K: expand(K . matrix([q2,1],[1,0]));
+
+u: 8*X^3+10*X^2+11*X+12;
+v: 4*X^2+11*X+8;
+
+factor(u), modulus:13;
-- 
cgit v1.2.1


From b41e50e636a895ad3c425896ef4b3fb7c89dbb3c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Wed, 14 Apr 2021 10:16:15 +0200
Subject: typo

---
 buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex  | 6 +++---
 buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex  | 6 +++---
 buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex | 2 +-
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index 15fd88c..094a07a 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
@@ -909,13 +909,13 @@ Wir berechnen also die Faktoren $u$ und $v$ für die beiden Polynome
 \begin{align*}
 n(X)
 &=
-X^12+12
+X^{12}+12
 \\
 r(X)
 &=
 7 X^{11} + 4 X^{10} + X^9 + 12 X^8 + 2 X^7 + 12 X^6 + w(X)
 \end{align*}
-in $\mathbb{F}_13[X]$, wobei $w(X)$ ein unbekanntes Polynom vom Grad $5$ ist. 
+in $\mathbb{F}_{13}[X]$, wobei $w(X)$ ein unbekanntes Polynom vom Grad $5$ ist. 
 Man weiss zusätzlich noch, dass der euklidische Algorithmus genau drei
 Schritte braucht, es gibt also genau drei Quotienten, die in die
 Berechnung der Zahlen $e_k$ und $f_k$ einfliessen.
@@ -923,7 +923,7 @@ Berechnung der Zahlen $e_k$ und $f_k$ einfliessen.
 Im ersten Schritt des euklidischen Algorithmus ist der Quotient
 $n(X) / r(X)$ zu bestimmen, der Grad $1$ haben muss.
 \begin{align*}
-a_0=n(X)           &= X^12+12
+a_0=n(X)           &= X^{12}+12
 \\
 b_0=r(X)           &= 7 X^{11} + 4 X^{10} + X^9 + 12 X^8 + 2 X^7 + 12 X^6 + \dots
 \\
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index fbacba6..2f8117e 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex
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@@ -27,7 +27,7 @@ Primzahlpotenz $p^n$ von Elementen haben und die die Basis wichtiger
 kryptographischer Algorithmen sind.
 
 %
-% Arithmetik module $o$
+% Arithmetik modulo $o$
 %
 \subsection{Arithmetik modulo $p$
 \label{buch:subsection:arithmetik-modulo-p}}
@@ -413,7 +413,7 @@ Elemente.
 \begin{figure}
 \centering
 \includegraphics{chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf}
-\caption{Binomialkoeffizienten module $2$ im Pascal-Dreieck.
+\caption{Binomialkoeffizienten modulo $2$ im Pascal-Dreieck.
 Auf den rot hinterlegten Zeilen, die zu Exponenten der Form $2^k$ gehören,
 sind alle Koeffizienten ausser dem ersten und letzten durch $2$ teilbar.
 \label{buch:endliche-koerper:fig:binomial2}}
@@ -423,7 +423,7 @@ sind alle Koeffizienten ausser dem ersten und letzten durch $2$ teilbar.
 \begin{figure}
 \centering
 \includegraphics{chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf}
-\caption{Binomialkoeffizienten module $5$ im Pascal-Dreieck.
+\caption{Binomialkoeffizienten modulo $5$ im Pascal-Dreieck.
 Die von $0$ verschiedenen Reste werden durch Farben dargestellt:
 $1=\text{schwarz}$,
 $2=\text{\color{farbe2}rot}$,
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index 02429dc..600336c 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
@@ -731,7 +731,7 @@ dass
 sf+tm=1.
 \]
 Reduzieren wir modulo $m$, wird daraus $af=1$ in $\Bbbk[X]/m\Bbbk[X]$.
-Das Polynom $a$, reduziert module $m$, ist also die multiplikative
+Das Polynom $a$, reduziert modulo $m$, ist also die multiplikative
 Inverse von $f$.
 
 Bei der praktischen Durchführung des euklidischen Algorithmus ist der 
-- 
cgit v1.2.1


From 432c3bebedb451bae53eb37e2078eb7de28ece79 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 20 Apr 2021 12:42:49 +0200
Subject: typos

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diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
index 094a07a..0bf3016 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex
@@ -681,7 +681,7 @@ Q(q_0)^{-1}
 Q(q_1)^{-1}
 \dots
 Q(q_{n-1})^{-1}
-Q(q_n)
+Q(q_n)^{-1}
 \begin{pmatrix}\operatorname{ggT}(a,b)\\0\end{pmatrix}.
 \]
 Eine mögliche Lösung für die Matrix $K$ in
-- 
cgit v1.2.1