From 2806f2fc717dd4e56ae9f7e3770e4756a25aa32a Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Thu, 4 Feb 2021 22:56:05 +0100
Subject: add Gauss inversion

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 .../rechnungen/invbeispiel.maxima                  |  5 +-
 buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex       | 60 +++++++++++++++++++++-
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diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/invbeispiel.maxima b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/invbeispiel.maxima
index bc8e967..f227f3a 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/invbeispiel.maxima
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/invbeispiel.maxima
@@ -39,19 +39,22 @@ t: inv_mod(T[1,1], 7);
 T[1]: mod(t * T[1], 7);
 T[2]: mod(T[2] - T[2,1]*T[1], 7);
 T[3]: mod(T[3] - T[3,1]*T[1], 7);
+T;
 
 t: inv_mod(T[2,2], 7);
 T[2]: mod(t * T[2], 7);
 T[3]: mod(T[3] - T[3,2] * T[2], 7);
+T;
 
 t: inv_mod(T[3,3], 7);
 T[3]: mod(t * T[3], 7);
+T;
 
 T[2]: mod(T[2] - T[2,3] * T[3], 7);
 T[1]: mod(T[1] - T[1,3] * T[3], 7);
+T;
 
 T[1]: mod(T[1] - T[1,2] * T[2], 7);
-
 T;
 
 C: matrix(
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
index c9fb6d1..2ea43e2 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex
@@ -388,8 +388,63 @@ A=\begin{pmatrix}
 \]
 Die Inverse kann man bestimmen, indem man den
 Gauss-Algorithmus in $\mathbb{F}_{17}$ durchführt.
-Man bekommt
+\begin{align*}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+ 1& 1& 6& 1& 0& 0\\
+ 2& 4& 5& 0& 1& 0\\
+ 2& 5& 1& 0& 0& 1\\
+\hline
+\end{tabular}
+&\rightarrow
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+ 1& 1& 6& 1& 0& 0\\
+ 0& 2& 0& 5& 1& 0\\
+ 0& 3& 3& 5& 0& 1\\
+\hline
+\end{tabular}
+\rightarrow
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+ 1& 1& 6& 1& 0& 0\\
+ 0& 1& 0& 6& 4& 0\\
+ 0& 0& 3& 1& 2& 1\\
+\hline
+\end{tabular}
+\\
+&\rightarrow
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+ 1& 1& 6& 1& 0& 0\\
+ 0& 1& 0& 6& 4& 0\\
+ 0& 0& 1& 5& 3& 5\\
+\hline
+\end{tabular}
+\\
+&\rightarrow
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+ 1& 1& 0& 6& 3& 5\\
+ 0& 1& 0& 6& 4& 0\\
+ 0& 0& 1& 5& 3& 5\\
+\hline
+\end{tabular}
+\rightarrow
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+ 1& 0& 0& 0& 6& 5\\
+ 0& 1& 0& 6& 4& 0\\
+ 0& 0& 1& 5& 3& 5\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{align*}
+Für die Durchführung braucht man die Inversen in $\mathbb{F}_7$
+der Pivot-Elemente, sie sind $2^{-1}=4$ und $3^{-1}=5$.
+Im rechten Teil des Tableau steht jetzt die inverse Matrix
 \[
+A^{-1}
+=
 B=\begin{pmatrix}
  0& 6& 5\\
  6& 4& 0\\
@@ -426,6 +481,9 @@ das Element $b(\alpha)=6\alpha+5\alpha^2$ ist also das Inverse Element von
 $a(\alpha)=1+2\alpha+2\alpha^2$ in $\mathbb{F}_7(\alpha)$.
 \end{beispiel}
 
+Die Matrixrealisation von $\Bbbk(\alpha)$ führt also auf eine effiziente
+Berechnungsmöglichkeit für das Inverse eines Elements von $\Bbbk(\alpha)$.
+
 \subsubsection{Rechnen in $\Bbbk(\alpha)$}
 
 \subsubsection{Algebraische Konstruktion}
-- 
cgit v1.2.1