From d6cada0da41ae105c293804d5b314d88c72bbcee Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Roy Seitz Date: Thu, 1 Apr 2021 13:39:23 +0200 Subject: Typo. --- buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/chapters/30-endlichekoerper') diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex index 28f4d2c..8435bf3 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -Das Polynom $m(X)=X^2+X+1$ ist als Polynom in $\mathbb{F}_3[X]$ irreduzibel. +Das Polynom $m(X)=X^2+2X+2$ ist als Polynom in $\mathbb{F}_3[X]$ irreduzibel. Dies bedeutet, dass der Ring der Polynome $\mathbb{F}_3[X] / (m(X))$ ein Körper ist, man bezeichnet ihn auch mit $\mathbb{F}_3(\alpha)$, wobei man sich $\alpha$ als eine Nullstelle von $m(X)$ -- cgit v1.2.1 From e3672b14f72766592748d50c0162f7544c5df907 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Roy Seitz Date: Thu, 1 Apr 2021 15:20:39 +0200 Subject: =?UTF-8?q?Musterl=C3=B6sung=20korrigiert.?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex | 121 ++++++++++++++------- 1 file changed, 81 insertions(+), 40 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/30-endlichekoerper') diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex index 8435bf3..65c18a2 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex @@ -1,10 +1,12 @@ +% !TeX spellcheck = de_CH Das Polynom $m(X)=X^2+2X+2$ ist als Polynom in $\mathbb{F}_3[X]$ irreduzibel. Dies bedeutet, dass der Ring der Polynome $\mathbb{F}_3[X] / (m(X))$ -ein Körper ist, man bezeichnet ihn auch mit $\mathbb{F}_3(\alpha)$, -wobei man sich $\alpha$ als eine Nullstelle von $m(X)$ +ein Körper ist. +Man bezeichnet ihn auch mit $\mathbb{F}_3(\alpha)$, +wobei man sich $\alpha$ als Nullstelle von $m(X)$ oder als die Matrix \[ -\alpha = \begin{pmatrix} 0&2\\1&2\end{pmatrix} +\alpha = \begin{pmatrix} 0&1\\1&1\end{pmatrix} \] vorstellen kann. \begin{teilaufgaben} @@ -70,17 +72,30 @@ Die Additions- und Multiplikationstabelle von $\mathbb{F}_3$ ist \end{tikzpicture} \end{center} \item -Wegen $m(\alpha)=\alpha^2+\alpha+1=0$ folgt $\alpha+1+\alpha^{-1}=0$ -oder $\alpha^{-1} = -\alpha - 1 = 2+2\alpha$. +Aus $m(\alpha)=\alpha^2+2\alpha+2=0$ folgt +\begin{align*} + \alpha + 2 + 2\alpha^{-1} + &= + 0 + \\ + 2\alpha^{-1} + &= + 2\alpha + 1 + \\ + \alpha^{-1} + &= + \alpha + 2 + . +\end{align*} Als Matrix kann man \[ \alpha^{-1} = -2\alpha + 2 +\alpha + 2 = \begin{pmatrix} -0&4\\ -2&4 +0&1\\ +1&1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} @@ -88,10 +103,10 @@ Als Matrix kann man \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2&4\\2&2 +2&1\\1&3 \end{pmatrix} \equiv -\begin{pmatrix}2&1\\2&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix} \mod 3 \] schreiben und durch Nachrechnen verifizieren dass, tatsächlich gilt @@ -99,17 +114,17 @@ schreiben und durch Nachrechnen verifizieren dass, tatsächlich gilt \alpha\alpha^{-1} = \begin{pmatrix} -0&2\\ -1&2 +0&1\\ +1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&1\\ -2&0 +1&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4&0\\ -6&1 +1&0\\ +3&1 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} @@ -125,9 +140,11 @@ Im ersten Schritt ist es \[ \arraycolsep=1.4pt \begin{array}{rcrcrcrcrcr} - \llap{$($}X^2&+&X&+&1\rlap{$)$}&\;:&(X&+&1)&=&X = q_1\\ -\llap{$-($}X^2&+&X\rlap{$)$}& & & & & & & & \\ \cline{1-3} - & &0&+&1 &\rlap{$\mathstrut = r_1$}\phantom{)}& & & & & \\ + \llap{$($}X^2&+&2X&+&2\rlap{$)$}&\;:&(X&+&1)&=&X + 1 = q_1\\ + \llap{$-($}X^2&+&X\rlap{$)$}& & & & & & & & \\ \cline{1-3} + & &X&+&2 & & & & & & \\ + & & \llap{$-($}X&+&1\rlap{$)$} & & & & & & \\ \cline{3-5} + & & & &1 &\rlap{$\mathstrut = r_1$}\phantom{)}& & & & &\\ \end{array} \] Die nächste Division ist $(X+1) : 1$, die als Quotient $q_2=X+1$ und den @@ -152,53 +169,77 @@ Q(q_1) 0&1\\1&2X+2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -0&1\\{\color{red}1}&{\color{red}2X} +0&1\\1&2X+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -{\color{red}1}&{\color{red}2X}\\ -2X&X^2+X+1 +1&2X+2\\ +2X+2&X^2+X+2 \end{pmatrix}. \end{align*} -Die gesuchten Polynome sind $s=1$ und $t=2X$ und man kann nachrechnen, +Die gesuchten Polynome sind $s=1$ und $t=2X+2$ und man kann nachrechnen, dass \begin{align*} s\cdot m(X) + t\cdot (X+1) &= -X^2+X+1 + 2X\cdot (X+1) -= -X^2+X+1 + 2X^2 + 2X +X^2+2X+2 + (2X+2)\cdot (X+1) \\ -&= 3X^2+3X+1\equiv 1 \mod 3. +&= +X^2+2X+2 + 2X^2 + 4X + 2 +\\ +&= 3X^2+6X+1\\ +&\equiv 1 \mod 3. \end{align*} Natürlich kann man $s$ und $t$ auch mit der erweiterten Tabelle finden: \begin{center} \begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} \hline -k& a_k&b_k& q_k&r_k& c_k& d_k\\ +k& a_k&b_k & q_k&r_k& c_k& d_k\\ \hline - & & & & & 1& 0\\ -0&X^2+X+1&X+1& X & 1& 0& 1\\ -1& X+1& 1& X+1& 0&{\color{red} 1}&{\color{red} 2X}\\ -2& 1& 0& & 0&2X+2& 2X^2+2X\\ + & & & & & 1& 0\\ +0&X^2+2X+2&X+1& X+1& 1& 0& 1\\ +1& X+1& 1& X+1& 0& 1& 2X+2\\ +2& 1& 0& & 0&2X+2&X^2+2X+2\\ \hline \end{tabular} \end{center} -In allen Fällen ist also $(1+X)^{-1} = 2X$. +In allen Fällen ist also $(X+1)^{-1} = 2X+2$. \item -Wegen $m(\alpha)=0$ ist $\alpha^2=-\alpha-1=2\alpha+2$ und damit +Wegen $m(\alpha)=\alpha^2 + 2\alpha + 2 = 0$ ist +$\alpha^2=-2\alpha-2=\alpha+1$ und damit \begin{align*} \alpha^3 &= -\alpha\cdot \alpha^2 = \alpha (2\alpha +2) = -2\alpha^2 + 2\alpha -= -2(\underbrace{\alpha^2 + \alpha + 1}_{\displaystyle=0} + 2) -= -2\cdot 2 +\alpha\cdot \alpha^2 = \alpha (\alpha +1) = +\alpha^2 + \alpha = -1. +2\alpha+1 +. +\end{align*} +Die restlichen Potenzen von $\alpha$ sind +\begin{align*} + \alpha^4 + &= + \alpha (2\alpha+1) + = 2\alpha^2 + \alpha + = 2\alpha + 2 + \alpha = 2 + \\ + \alpha^5 + &= + 2\alpha + \\ + \alpha^6 + &= + 2\alpha^2 + = + 2\alpha + 2 + \\ + \alpha^7 + &= + 2\alpha^2 + 2\alpha + = + \alpha + 2 \qedhere \end{align*} \end{teilaufgaben} -- cgit v1.2.1 From 47354a0dd46c84826157a474ba2560156de509ac Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 8 Apr 2021 08:52:45 +0200 Subject: binomial images improved --- .../30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf | Bin 19246 -> 19417 bytes .../30-endlichekoerper/images/binomial2.tex | 19 +++++++ .../30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf | Bin 26050 -> 27894 bytes .../30-endlichekoerper/images/binomial5.tex | 58 +++++++++++++++++++++ 4 files changed, 77 insertions(+) (limited to 'buch/chapters/30-endlichekoerper') diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf index 92be742..0a07c92 100644 Binary files a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf and b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.pdf differ diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.tex index 77ccb57..1856844 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial2.tex @@ -279,6 +279,25 @@ \dreieck{32}{0} \dreieck{32}{32} +\dreieck{33}{0} +\dreieck{33}{1} +\dreieck{33}{32} +\dreieck{33}{33} + +\dreieck{34}{0} +\dreieck{34}{2} +\dreieck{34}{32} +\dreieck{34}{34} + +\dreieck{35}{0} +\dreieck{35}{1} +\dreieck{35}{2} +\dreieck{35}{3} +\dreieck{35}{32} +\dreieck{35}{33} +\dreieck{35}{34} +\dreieck{35}{35} + \def\etikett#1#2#3{ \node at ({\xs*(-#1+2*#2)},{-\ys*(#1+0.5)}) {$#3$}; } diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf index 1b2a813..a4bdf51 100644 Binary files a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf and b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.pdf differ diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.tex index 750b7e0..815e611 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/images/binomial5.tex @@ -358,6 +358,64 @@ \dreieck{32}{31}{2} \dreieck{32}{32}{1} +\dreieck{33}{0}{1} +\dreieck{33}{1}{3} +\dreieck{33}{2}{3} +\dreieck{33}{3}{1} +\dreieck{33}{5}{1} +\dreieck{33}{6}{3} +\dreieck{33}{7}{3} +\dreieck{33}{8}{1} +\dreieck{33}{25}{1} +\dreieck{33}{26}{3} +\dreieck{33}{27}{3} +\dreieck{33}{28}{1} +\dreieck{33}{30}{1} +\dreieck{33}{31}{3} +\dreieck{33}{32}{3} +\dreieck{33}{33}{1} + +\dreieck{34}{0}{1} +\dreieck{34}{1}{4} +\dreieck{34}{2}{1} +\dreieck{34}{3}{4} +\dreieck{34}{4}{1} +\dreieck{34}{5}{1} +\dreieck{34}{6}{4} +\dreieck{34}{7}{1} +\dreieck{34}{8}{4} +\dreieck{34}{9}{1} +\dreieck{34}{25}{1} +\dreieck{34}{26}{4} +\dreieck{34}{27}{1} +\dreieck{34}{28}{4} +\dreieck{34}{29}{1} +\dreieck{34}{30}{1} +\dreieck{34}{31}{4} +\dreieck{34}{32}{1} +\dreieck{34}{33}{4} +\dreieck{34}{34}{1} + +\dreieck{35}{0}{1} +\dreieck{35}{5}{2} +\dreieck{35}{10}{1} +\dreieck{35}{25}{1} +\dreieck{35}{30}{2} +\dreieck{35}{35}{1} + +\dreieck{36}{0}{1} +\dreieck{36}{1}{1} +\dreieck{36}{5}{2} +\dreieck{36}{6}{2} +\dreieck{36}{10}{1} +\dreieck{36}{11}{1} +\dreieck{36}{25}{1} +\dreieck{36}{26}{1} +\dreieck{36}{30}{2} +\dreieck{36}{31}{2} +\dreieck{36}{35}{1} +\dreieck{36}{36}{1} + \def\etikett#1#2#3{ \node at ({\xs*(-#1+2*#2)},{-\ys*(#1+0.5)}) {$#3$}; } -- cgit v1.2.1