From 8dd4a3d16d7386e03adf91177734e813963b0f3b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 17 Jan 2021 21:02:58 +0100 Subject: neue Sachen zur linearen Algebra --- buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex | 28 ++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 26 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex') diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex index 2913ca5..5f237a4 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex @@ -1,5 +1,5 @@ % -% chapter.tex -- Kapitel über eigenwerte und eigenvektoren +% chapter.tex -- Kapitel über Eigenwerte und Eigenvektoren % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % @@ -7,10 +7,34 @@ \label{buch:chapter:eigenwerte-und-eigenvektoren}} \lhead{Eigenwerte und Eigenvektoren} \rhead{} +Die algebraischen Eigenschaften einer Matrix $A$ sind eng mit der +Frage nach linearen Beziehungen unter den Potenzen von $A^k$ verbunden. +Im Allgemeinen ist die Berechnung dieser Potenzen eher unübersichtlich, +es sei denn, die Matrix hat eine spezielle Form. +Die Potenzen einer Diagonalmatrix erhält man, indem man die Diagonalelemente +potenziert. +Auch für Dreiecksmatrizen ist mindestens die Berechnung der Diagonalelemente +von $A^k$ einfach. +Die Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren ermöglicht, Matrizen in +eine solche besonders einfache Form zu bringen. +In Abschnitt~\ref{buch:section:grundlagen} werden die grundlegenden +Definitionen der Eigenwerttheorie in Erinnerung gerufen. +Damit kann dann in Abschnitt~\ref{buch:section:normalformen} +gezeigt werden, wie Matrizen in besonders einfache Form gebracht +werden können. +Die Eigenwerte bestimmen auch die Eigenschaften von numerischen +Algorithmen, wie in den Abschnitten~\ref{buch:section:spektralradius} +und \ref{buch:section:numerisch} dargestellt wird. +Für viele Funktionen kann man auch den Wert $f(A)$ berechnen, unter +geeigneten Voraussetzungen an den Spektralradius. +Dies wird in Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} beschrieben. -\input{chapters/40-eigenwerte/numerisch.tex} + +\input{chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex} +\input{chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex} \input{chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex} +\input{chapters/40-eigenwerte/numerisch.tex} \input{chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex} \section*{Übungsaufgaben} -- cgit v1.2.1