From f88b8071a623096f9004007ced8ec97195aaa218 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 25 Sep 2021 16:43:39 +0200 Subject: zweite Lesung --- buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex | 34 +++++++++++++++++------------- 1 file changed, 19 insertions(+), 15 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex') diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex index f0d7b16..745dd5f 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex @@ -5,6 +5,7 @@ % \section{Eigenwerte und Eigenvektoren \label{buch:section:eigenwerte-und-eigenvektoren}} +\rhead{Eigenwerte und Eigenvektoren} In diesem Abschnitt betrachten wir Vektorräume $V=\Bbbk^n$ über einem beliebigen Körper $\Bbbk$ und quadratische Matrizen $A\in M_n(\Bbbk)$. @@ -32,7 +33,7 @@ heisst das {\em Spektrum} von $A$. \end{definition} Die Bedingung $v\ne 0$ dient dazu, pathologische Situationen auszuschliessen. -Für den Nullvektor gilt $A0=\lambda 0$ für jeden beliebigen Wert von +Für den Nullvektor $0\in V$ gilt $A0=\lambda 0$ für jeden beliebigen Wert von $\lambda\in\Bbbk$. Würde man $v=0$ zulassen, wäre jede Zahl in $\Bbbk$ ein Eigenwert, ein Eigenwert von $A$ wäre nichts besonderes. @@ -43,7 +44,7 @@ Vielfache von $v$ ist ebenfalls ein Eigenvektor. Zu einem Eigenwert kann man also einen Eigenvektor mit geeigneten Eigenschaften finden, zum Beispiel kann man für $\Bbbk = \mathbb{R}$ Eigenvektoren auf Länge $1$ normieren. -Im Folgenden werden wir oft die abkürzend linear unabhängige Eigenvektoren +Im Folgenden werden wir oft abkürzend linear unabhängige Eigenvektoren einfach als ``verschiedene'' Eigenvektoren bezeichnen. Wenn $v$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ ist, dann kann @@ -77,7 +78,7 @@ Für $\lambda\in\Bbbk$ heisst \[ E_\lambda = -\{ v\;|\; Av=\lambda v\} +\{ v\in V \mid Av=\lambda v\} \] der {\em Eigenraum} zum Eigenwert $\lambda$. \index{Elambda(A)@$E_\lambda(A)$}% @@ -110,7 +111,7 @@ oder $A=\lambda I$. \end{proof} Wenn man die Eigenräume von $A$ kennt, dann kann man auch die Eigenräume -von $A+\mu E$ berechnen. +von $A+\mu I$ berechnen. Ein Vektor $v\in E_\lambda$ erfüllt \[ Av=\lambda v @@ -162,7 +163,7 @@ B \] und wir berechnen davon die vierte Potenz \[ -D=B^4=(A-E)^4 +D=B^4=(A-I)^4 = \begin{pmatrix} 0&0& 0&0\\ @@ -207,19 +208,21 @@ Als erstes überprüfen wir, ob diese Basisvektoren tatsächlich invariante Unterräume sind. Für $\mathcal{J}(A-I) = \langle b_1,b_2\rangle$ berechnen wir -\begin{align*} +\[ +\begin{aligned} (A-I)b_1 &= \begin{pmatrix} 0\\4\\4\\1 \end{pmatrix} = -4b_2+b_1, +4b_2+b_1&&\in\langle b_1,b_2\rangle, \\ (A-I)b_2 &= \begin{pmatrix} 0\\1\\1\\0 \end{pmatrix} = -b_2. -\end{align*} +b_2&&\in\langle b_1,b_2\rangle. +\end{aligned} +\] Dies beweist, dass $\mathcal{J}(A-I)$ invariant ist. In dieser Basis hat die von $A-I$ beschriebene lineare Abbildung auf $\mathcal{J}(A-I)$ die Matrix @@ -268,7 +271,7 @@ A' \] die Blöcke gehören zu den invarianten Unterräumen $\mathcal{K}(A-I)$ und $\mathcal{K}(A-I)$. -Die aus $A-E$ gewonnen invarianten Unterräume sind offenbar auch invariante +Die aus $A-I$ gewonnenen invarianten Unterräume sind offenbar auch invariante Unterräume für $A$. \end{beispiel} @@ -280,7 +283,7 @@ Unterraum = \mathcal{K}(A-\lambda I) \] -der {\em verallgemeinerte Eigenraum} von $A$. +der {\em verallgemeinerte Eigenraum} von $A$ zum Eigenwert $\lambda$. \index{verallgemeinerter Eigenraum}% \index{Eigenraum, verallgemeinerter}% \end{definition} @@ -305,10 +308,11 @@ V \oplus \underbrace{\mathcal{J}(A-\lambda_1 I)}_{\displaystyle =V_2}, \] +in invariante Unterräume, wobei $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)\ne 0$ ist. Die Matrix $A-\lambda_1 I$ eingeschränkt auf $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)$ ist nilpotent. -Man kann sagen, auf dem Unterraum $\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ hat +Man kann daher sagen, auf dem Unterraum $\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ hat $A$ die Form $\lambda_1 I + N$, wobei $N$ nilpotent ist. Die Zerlegung in invariante Unterräume ist zwar mit Hilfe von $A-\lambda_1I$ @@ -414,7 +418,7 @@ hat als charakteristisches Polynom, welches $\lambda$ als einzige Nullstelle hat. Wenn die Einträge oberhalb der Diagonalen nicht alle 0 sind, -dann hat der Eigenraum der Matrix Dimension, die keiner ist als +dann hat der Eigenraum der Matrix eine Dimension, die kleiner ist als $n$. Man kann also im Allgemeinen für jede Nullstelle des charakteristischen Polynoms nicht mehr als einen Eigenvektor (d.~h.~einen eindimensionalen @@ -424,7 +428,7 @@ Wenn das charakteristische Polynom von $A$ keine Nullstellen in $\Bbbk$ hat, dann kann es auch keine Eigenvektoren in $\Bbbk^n$ geben. Gäbe es nämlich einen solchen Vektor, dann müsste eine der Komponenten des Vektors von $0$ verschieden sein. -Wir nehmen an, dass es die Komponente in Zeile $k$ ist. +Nehmen wir an, dass es die Komponente in Zeile $k$ ist. Die Komponente $v_k$ kann man auf zwei Arten berechnen, einmal als die $k$-Komponenten von $Av$ und einmal als $k$-Komponente von $\lambda v$: \[ @@ -494,7 +498,7 @@ diagonalisieren, nicht aber über dem Körper $\mathbb{Q}$. Da $A'$ Diagonalform hat mit $\pm\sqrt{2}$ auf der Diagonalen, folgt $A^{\prime 2} = 2I$, die Matrix $A'$ erfüllt also die Gleichung \begin{equation} -A^{\prime 2}-I= \chi_{A}(A) = 0. +A^{\prime 2}-2I= \chi_{A}(A) = 0. \label{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel} \end{equation} Die Gleichung~\ref{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel} -- cgit v1.2.1