From 812a80acf52275699afb285db46aa76be03006c2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 18 Jan 2021 21:01:26 +0100 Subject: add more stuff about spectral radius --- buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex | 263 ++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 260 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex') diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex index f695435..536fa7d 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex @@ -74,8 +74,265 @@ folgt wieder $\chi_A(A)=0$. Ausserdem ist über dem Körper $\Bbbk'$ das Polynom $m(x)$ ein Teiler des charakteristischen Polynoms $\chi_A(x)$. -\subsection{Jordan-Normalform} +\subsection{Jordan-Normalform +\label{buch:subsection:jordan-normalform}} +Die Eigenwerte einer Matrix $A$ können als Nullstellen des +charakteristischen Polynoms gefunden werden. +Da der Körper $\Bbbk$ nicht unbedingt algebraische abgeschlossen ist, +zerfällt das charakteristische Polynom nicht unbedingt in Linearfaktoren, +die Nullstellen sind nicht unbedingt in $\Bbbk$. +Wir können aber immer zu einem grösseren Körper $\Bbbk'$ übergehen, +in dem das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. +Wir nehmen im Folgenden an, dass +\[ +\chi_A(x) += +(x-\lambda_1)^{k_1} +\cdot +(x-\lambda_2)^{k_2} +\cdot +\dots +\cdot +(x-\lambda_l)^{k_l} +\] +ist mit $\lambda_i\in\Bbbk'$. + +Nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:zerlegung-in-eigenraeume} liefern +die verallgemeinerten Eigenräume $V_i=\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ eine +Zerlegung von $V$ in invariante Eigenräume +\[ +V=V_1\oplus V_2\oplus \oplus \dots\oplus V_l, +\] +derart, dass $A-\lambda_iE$ auf $V_i$ nilpotent ist. +Wählt man in jedem der Unterräume $V_i$ eine Basis, dann zerfällt die +Matrix $A$ in Blockmatrizen +\begin{equation} +\def\temp#1{\multicolumn{1}{|c}{\raisebox{0pt}[17pt][12pt]{\phantom{x}$#1\mathstrut$}\phantom{x}}} +A' +=\left( +\begin{array}{cccc} +\cline{1-1} +\temp{A_{1}} &\multicolumn{1}{|c}{}& & \\ +\cline{1-2} + &\temp{A_{2}}&\multicolumn{1}{|c}{}& \\ +\cline{2-3} + & &\temp{\ddots}&\multicolumn{1}{|c}{}\\ +\cline{3-4} + & & &\multicolumn{1}{|c|}{\raisebox{0pt}[17pt][12pt]{\phantom{x}$A_{l}$}\phantom{x}}\\ +\cline{4-4} +\end{array} +\right) +\label{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent} +\end{equation} +wobei, $A_i$ Matrizen mit dem einzigen Eigenwert $\lambda_i$ sind. + +Nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:allgnilpotent} +kann man in den Unterräume die Basis zusätzlich so wählen, dass +die entstehenden Blöcke $A_i-\lambda_i E$ spezielle nilpotente Matrizen +aus lauter Null sind, die höchstens unmittelbar über der Diagonalen +Einträge $1$ haben kann. +Dies bedeutet, dass sich immer eine Basis so wählen lässt, dass die +Matrix $A_i$ zerfällt in sogenannte Jordan-Blöcke. + +\begin{definition} +Ein $m$-dimensionaler {\em Jordan-Block} ist eine $m\times m$-Matrix +\index{Jordan-Block}% +der Form +\[ +J_m(\lambda) += +\begin{pmatrix} +\lambda & 1 & & & & \\ + & \lambda & 1 & & & \\ + & & \lambda & & & \\ + & & & \ddots & & \\ + & & & & \lambda & 1 \\ + & & & & & \lambda +\end{pmatrix}. +\] +Eine {\em Jordan-Matrix} ist eine Blockmatrix Matrix +\[ +J += +\def\temp#1{\multicolumn{1}{|c}{\raisebox{0pt}[17pt][12pt]{\phantom{x}$#1\mathstrut$}\phantom{x}}} +\left( +\begin{array}{cccc} +\cline{1-1} +\temp{J_{m_1}(\lambda)} &\multicolumn{1}{|c}{}& & \\ +\cline{1-2} + &\temp{J_{m_2}(\lambda)}&\multicolumn{1}{|c}{}& \\ +\cline{2-3} + & &\temp{\ddots}&\multicolumn{1}{|c}{}\\ +\cline{3-4} + & & &\multicolumn{1}{|c|}{\raisebox{0pt}[17pt][12pt]{\phantom{x}$J_{m_p}(\lambda)$}\phantom{x}}\\ +\cline{4-4} +\end{array} +\right) +\] +mit $m_1+m_2+\dots+m_p=m$. +\index{Jordan-Matrix}% +\end{definition} + +Da Jordan-Blöcke obere Dreiecksmatrizen sind, ist +das charakteristische Polynom eines Jordan-Blocks oder einer Jordan-Matrix +besonders einfach zu berechnen. +Es gilt +\[ +\chi_{J_m(\lambda)}(x) += +\det (J_m(\lambda) - xE) += +(\lambda-x)^m +\] +für einen Jordan-Block $J_m(\lambda)$. +Für eine $m\times m$-Jordan-Matrix $J$ mit Blöcken $J_{m_1}(\lambda)$ +bis $J_{m_p}(\lambda)$ ist +\[ +\chi_{J(\lambda)}(x) += +\chi_{J_{m_1}(\lambda)}(x) +\chi_{J_{m_2}(\lambda)}(x) +\cdot +\dots +\cdot +\chi_{J_{m_p}(\lambda)}(x) += +(\lambda-x)^{m_1} +(\lambda-x)^{m_2} +\cdot\dots\cdot +(\lambda-x)^{m_p} += +(\lambda-x)^m. +\] + +\begin{satz} +\label{buch:eigenwerte:satz:jordannormalform} +Über einem Körper $\Bbbk'\supset\Bbbk$, über dem das charakteristische +Polynom $\chi_A(x)$ in Linearfaktoren zerfällt, lässt sich immer +eine Basis finden derart, dass die Matrix $A$ zu einer Blockmatrix wird, +die aus lauter Jordan-Matrizen besteht. +Die Dimension der Jordan-Matrix zum Eigenwert $\lambda_i$ ist die +Vielfachheit des Eigenwerts im charakteristischen Polynom. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Es ist nur noch die Aussage über die Dimension der Jordan-Blöcke zu +beweisen. +Die Jordan-Matrizen zum Eigenwert $\lambda_i$ werden mit $J_i$ +bezeichnet und sollen $m_i\times m_i$-Matrizen sein. +Das charakteristische Polynom jedes Jordan-Blocks ist dann +$\chi_{J_i}(x)=(\lambda_i-x)^{m_i}$. +Das charakteristische Polynom der Blockmatrix mit diesen Jordan-Matrizen +als Blöcken ist das Produkt +\[ +\chi_A(x) += +(\lambda_1-x)^{m_1} +(\lambda_2-x)^{m_2} +\cdots +(\lambda_p-x)^{m_p} +\] +mit $m_1+m_2+\dots+m_p$. +Die Blockgrösse $m_i$ ist also auch die Vielfachheit von $\lambda_i$ im +charakteristischen Polynom $\chi_A(x)$. +\end{proof} + + + +\begin{satz}[Cayley-Hamilton]] +Ist $A$ eine $n\times n$-Matrix über dem Körper $\Bbbk$, dann gilt +$\chi_A(A)=0$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Zunächst gehen wir über zu einem Körper $\Bbbk'\supset\Bbbk$, indem +das charakteristische Polynom $\chi_A(x)$ in Linearfaktoren +$\chi_A(x) += +(\lambda_1-x)^{m_1} +(\lambda_2-x)^{m_2} +\dots +(\lambda_p-x)^{m_p}$ +zerfällt. +Im Vektorraum $\Bbbk''$ kann man eine Basis finden, in der die Matrix +$A$ in Jordan-Matrizen $J_1,\dots,J_p$ zerfällt, wobei $J_i$ eine +$m_i\times m_i$-Matrix ist. +Für den Block mit der Nummer $i$ erhalten wir +$(J_i - \lambda_i E)^{m_i} = 0$. +Setzt man also den Block $J_i$ in das charakteristische Polynom +$\chi_A(x)$ ein, erhält man +\[ +\chi_A(J_i) += +(\lambda_1E - J_1)^{m_1} +\cdot +\ldots +\cdot +\underbrace{ +(\lambda_iE - J_i)^{m_i} +}_{\displaystyle=0} +\cdot +\ldots +\cdot +(\lambda_iE - J_p)^{m_p} += +0. +\] +Jeder einzelne Block $J_i$ wird also zu $0$, wenn man ihn in das +charakteristische Polynome $\chi_A(x)$ einsetzt. +Folglich gilt auch $\chi_A(A)=0$. + +Die Rechnung hat zwar im Körper $\Bbbk'$ stattgefunden, aber die Berechnung +$\chi_A(A)$ kann in $\Bbbk$ ausgeführt werden, also ist $\chi_A(A)=0$. +\end{proof} + +Aus dem Beweis kann man auch noch eine strengere Bedingung ableiten. +Auf jedem verallgemeinerten Eigenraum $\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ +ist $A_i-\lambda_i$ nilpotent, es gibt also einen minimalen Exponenten +$q_i$ derart, dass $(A_i-\lambda_iE)^{q_i}=0$ ist. +Wählt man eine Basis in jedem verallgemeinerten Eigenraum derart, +dass $A_i$ eine Jordan-Matrix ist, kann man wieder zeigen, dass +für das Polynom +\[ +m_A(x) += +(x-\lambda_1x)^{q_1} +(x-\lambda_2x)^{q_2} +\cdot +\ldots +\cdot +(x-\lambda_px)^{q_p} +\] +gilt $m_A(A)=0$. +$m_A(x)$ ist das {\em Minimalpolynom} der Matrix $A$. +\index{Minimalpolynom einer Matrix}% + +\begin{satz}[Minimalpolynom] +Über dem Körper $\Bbbk'\subset\Bbbk$, über dem das charakteristische +Polynom $\chi_A(x)$ in Linearfaktoren zerfällt, ist das Minimalpolynom +von $A$ das Polynom +\[ +m(x) += +(x-\lambda_1)^{q_1} +(x-\lambda_2)^{q_2} +\cdots +\ldots +\cdots +(x-\lambda_p)^{q_p} +\] +wobei $q_i$ der kleinste Index ist, für den die $q_i$-te Potenz +derEinschränkung von $A-\lambda_i E$ auf den verallgemeinerten Eigenraum +$\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ verschwindet. +Es ist das Polynom geringsten Grades über $\Bbbk'$, welches $m(A)=0$ erfüllt. +\end{satz} + + +\subsection{Reelle Normalform +\label{buch:subsection:reelle-normalform}} + +\subsection{Obere Hessenberg-Form +\label{buch:subsection:obere-hessenberg-form}} + -\subsection{Reelle Normalform} -\subsection{Obere Hessenberg-Form} -- cgit v1.2.1