From e95824395ac596ef6f6741df7bb7f439af1e0eb8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 3 May 2021 15:33:20 +0200
Subject: =?UTF-8?q?F=C3=BCge=20erdbeben/teil1.tex=20wieder=20zum=20Makefil?=
 =?UTF-8?q?e=20hinzu?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 .../40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex         | 33 ++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 33 insertions(+)
 create mode 100644 buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex

(limited to 'buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex')

diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
new file mode 100644
index 0000000..63858b7
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
@@ -0,0 +1,33 @@
+Man findet eine Basis, in der die Matrix
+\[
+A=\begin{pmatrix}
+ -5&  2&  6&   0\\
+-11& 12& -3& -15\\
+ -7&  0&  9&   4\\
+  0&  5& -7&  -8
+\end{pmatrix}
+\]
+die relle Normalform bekommt.
+
+\begin{loesung}
+Das charakteristische Polynom der Matrix ist 
+\[
+\chi_{A}(\lambda)
+=
+\lambda^4-8\lambda^3+42\lambda^2-104\lambda+169
+=
+(\lambda^2-4\lambda+13)^2.
+\]
+Es hat die doppelten Nullstellen
+\[
+\lambda
+=
+2\pm \sqrt{4-13}
+=
+2\pm \sqrt{-9}
+=
+2\pm 3i.
+\]
+Zur Bestimmung
+\end{loesung}
+
-- 
cgit v1.2.1


From 23181dd294a16f4b30ce0531b23a4d0fc1abeca0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 3 May 2021 20:53:09 +0200
Subject: new problem

---
 .../40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex         | 68 +++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 66 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex')

diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
index 63858b7..9152ede 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
@@ -20,7 +20,7 @@ Das charakteristische Polynom der Matrix ist
 \]
 Es hat die doppelten Nullstellen
 \[
-\lambda
+\lambda_\pm
 =
 2\pm \sqrt{4-13}
 =
@@ -28,6 +28,70 @@ Es hat die doppelten Nullstellen
 =
 2\pm 3i.
 \]
-Zur Bestimmung
+Zur Bestimmung der Basis muss man jetzt zunächst den Kern von 
+$A_+=A-\lambda_+I$ bestimmen, zum Beispiel mit Hilfe des Gauss-Algorithmus,
+man findet
+\[
+b_1
+=
+\begin{pmatrix}
+1+i\\
+2+2i\\
+i\\
+1
+\end{pmatrix}
+\]
+Als nächstes braucht man einen Vektor $b_1\in \ker A_+^2$, der 
+$b_1$ auf $b_1+\lambda_+b_2$ abbildet.
+Durch Lösen des Gleichungssystems $Ab_2-\lambda b_2=b_1$ findet man
+\[
+b_2
+=
+\begin{pmatrix}
+2-i\\3\\2\\0
+\end{pmatrix}
+\qquad\text{und damit weiter}\qquad
+\overline{b}_1
+=
+\begin{pmatrix}
+1-i\\
+2-2i\\
+-i\\
+1
+\end{pmatrix},\quad
+\overline{b}_2
+=
+\begin{pmatrix}
+2+i\\3\\2\\0
+\end{pmatrix}.
+\]
+Als Basis für die reelle Normalform von $A$ kann man jetzt die Vektoren
+\begin{align*}
+c_1
+&=
+b_1+\overline{b}_1 = \begin{pmatrix}2\\4\\0\\2\end{pmatrix},&
+d_1
+&=
+\frac{1}{i}(b_1-\overline{b}_1) = \begin{pmatrix}2\\4\\2\\0\end{pmatrix},&
+c_2
+&=
+b_2+\overline{b}_2 = \begin{pmatrix}4\\6\\4\\0\end{pmatrix},&
+d_2
+&=
+\frac{1}{i}(b_2-\overline{b}_2) = \begin{pmatrix}-2\\0\\0\\0\end{pmatrix}.
+\end{align*}
+verwenden.
+In dieser Basis hat $A$ die Matrix
+\[
+A'
+=
+\begin{pmatrix}
+ 2& 3& 1& 0\\
+-3& 2& 0& 1\\
+ 0& 0& 2& 3\\
+ 0& 0&-3& 2
+\end{pmatrix},
+\]
+wie man einfach nachrechnen kann.
 \end{loesung}
 
-- 
cgit v1.2.1


From 07c9ffa51ec328b1a344970bb8b875b5bbe58be2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 3 May 2021 20:56:49 +0200
Subject: typo

---
 buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex')

diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
index 9152ede..b162f0f 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
@@ -78,7 +78,7 @@ c_2
 b_2+\overline{b}_2 = \begin{pmatrix}4\\6\\4\\0\end{pmatrix},&
 d_2
 &=
-\frac{1}{i}(b_2-\overline{b}_2) = \begin{pmatrix}-2\\0\\0\\0\end{pmatrix}.
+\frac{1}{i}(b_2-\overline{b}_2) = \begin{pmatrix}-2\\0\\0\\0\end{pmatrix}
 \end{align*}
 verwenden.
 In dieser Basis hat $A$ die Matrix
-- 
cgit v1.2.1


From 2140a3c82f6c531a6b2a2f837a03788f519eb0f3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 3 May 2021 20:58:07 +0200
Subject: typo

---
 buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex')

diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
index b162f0f..a2fcca1 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
@@ -39,7 +39,7 @@ b_1
 2+2i\\
 i\\
 1
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}.
 \]
 Als nächstes braucht man einen Vektor $b_1\in \ker A_+^2$, der 
 $b_1$ auf $b_1+\lambda_+b_2$ abbildet.
-- 
cgit v1.2.1


From 1209527c93f5696af0c5192c89e1736c84a3f54a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 3 May 2021 20:59:24 +0200
Subject: typo

---
 buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex')

diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
index a2fcca1..d3dd0f6 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
@@ -43,7 +43,7 @@ i\\
 \]
 Als nächstes braucht man einen Vektor $b_1\in \ker A_+^2$, der 
 $b_1$ auf $b_1+\lambda_+b_2$ abbildet.
-Durch Lösen des Gleichungssystems $Ab_2-\lambda b_2=b_1$ findet man
+Durch Lösen des Gleichungssystems $Ab_2-\lambda_+ b_2=b_1$ findet man
 \[
 b_2
 =
-- 
cgit v1.2.1


From fa40b4ee94125720a16f24f291de941a3f6ca4d1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 3 May 2021 21:02:02 +0200
Subject: typos

---
 buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex | 8 ++++----
 1 file changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex')

diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
index d3dd0f6..7ccc065 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
@@ -1,11 +1,11 @@
 Man findet eine Basis, in der die Matrix
 \[
-A=\begin{pmatrix}
+A=\begin{pmatrix*}[r]
  -5&  2&  6&   0\\
 -11& 12& -3& -15\\
  -7&  0&  9&   4\\
   0&  5& -7&  -8
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix*}
 \]
 die relle Normalform bekommt.
 
@@ -85,12 +85,12 @@ In dieser Basis hat $A$ die Matrix
 \[
 A'
 =
-\begin{pmatrix}
+\begin{pmatrix*}[r]
  2& 3& 1& 0\\
 -3& 2& 0& 1\\
  0& 0& 2& 3\\
  0& 0&-3& 2
-\end{pmatrix},
+\end{pmatrix*},
 \]
 wie man einfach nachrechnen kann.
 \end{loesung}
-- 
cgit v1.2.1

