From f88b8071a623096f9004007ced8ec97195aaa218 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 25 Sep 2021 16:43:39 +0200 Subject: zweite Lesung --- buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex | 15 ++++++++------- 1 file changed, 8 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex') diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex index 2577b48..3fa6aa7 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex @@ -44,7 +44,7 @@ aus zwei identischen Zeilen. Die Verknüpfung zweier solcher Permutationen kann leicht graphisch dargestellt werden: dazu werden die beiden Permutationen untereinander geschrieben und Spalten der zweiten Permutation -in der Reihen folge der Zahlen in der zweiten Zeile der ersten +in der Reihenfolge der Zahlen in der zweiten Zeile der ersten Permutation angeordnet. Die zusammengesetzte Permutation kann dann in der zweiten Zeile der zweiten Permutation abgelesen werden: @@ -75,7 +75,7 @@ dass die Zahlen in der ersten Zeile ansteigend sind: \subsection{Zyklenzerlegung \label{buch:subsection:zyklenzerlegung}} -Eine Permutation $\sigma\in S_n$ kann auch mit sogenanten Zyklenzerlegung +Eine Permutation $\sigma\in S_n$ kann auch mit der sogenanten Zyklenzerlegung \index{Zyklenzerlegung}% analysiert werden. @@ -98,7 +98,8 @@ Zum Beispiel: \begin{center} \includegraphics{chapters/50-permutationen/images/zyklenzerlegung.pdf} \end{center} -Der folgende Algorithmus findet die Zyklenzerlegung einer Permutation. +Der folgende Satz stellt einen Algorithmus bereit, mit dem die +Zyklenzerlegung einer Permutation gefunden werden kann. \begin{satz} Sei $\sigma\in S_n$ eine Permutation. Der folgende Algorithmus findet @@ -143,7 +144,7 @@ m = \operatorname{kgV} (|Z_1|,|Z_2|,\dots,|Z_k|). Zwei Elemente $g_1,g_2\in G$ einer Gruppe heissen {\em konjugiert}, wenn \index{konjugiert} es ein Element $c\in G$ gibt derart, dass $cg_1c^{-1}=g_2$. -Bei Matrizen bedeutet dies bedeutet, dass die beiden Matrizen durch +Bei Matrizen bedeutet dies, dass die beiden Matrizen durch Basiswechsel auseinander hervorgehen. Dasselbe lässt sich auch im Kontext der symmetrischen Gruppe sagen. @@ -175,16 +176,16 @@ $\sigma_1^k\gamma = \gamma\sigma_2^k$, also \[ \gamma(Z_i) = -\{\gamma(x),\sigma_1(\gamma(x)),\sigma_1^2(\gamma(x)),\dots\}, +\{\gamma(x),\sigma_1(\gamma(x)),\sigma_1^2(\gamma(x)),\dots\}. \] -Also ist $\gamma(Z_i)$ ein Zyklus von $\sigma_1$. +Somit ist $\gamma(Z_i)$ ein Zyklus von $\sigma_1$. Die Permutation $\gamma$ bildet also Zyklen von $\sigma_2$ auf Zyklen von $\sigma_1$ ab. Es folgt daher der folgende Satz: \begin{satz} Seien $\sigma_1,\sigma_2\in S_n$ konjugiert $\sigma_1=\gamma\sigma_2\gamma^{-1}$ -mit dem $\gamma\in S_n$. +mit $\gamma\in S_n$. Wenn $Z_1,\dots,Z_k$ die Zyklen von $\sigma_2$ sind, dann sind $\gamma(Z_1),\dots,\gamma(Z_k)$ die Zyklen von $\sigma_1$. \end{satz} -- cgit v1.2.1