From f88b8071a623096f9004007ced8ec97195aaa218 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 25 Sep 2021 16:43:39 +0200 Subject: zweite Lesung --- buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex | 2 +- buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex | 4 ++-- buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex | 15 ++++++++------- .../50-permutationen/images/permutation.pdf | Bin 13814 -> 15311 bytes .../50-permutationen/images/permutation.tex | 2 +- buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex | 6 +++--- buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex | 6 +++--- 7 files changed, 18 insertions(+), 17 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/50-permutationen') diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex b/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex index e3b6742..041e3b2 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex @@ -27,9 +27,9 @@ Formel für die Determinante einer Matrix führt. \input{chapters/50-permutationen/determinante.tex} \section*{Übungsaufgaben} -\rhead{Übungsaufgaben} \aufgabetoplevel{chapters/50-permutationen/uebungsaufgaben} \begin{uebungsaufgaben} \uebungsaufgabe{5001} +\rhead{Übungsaufgaben} \end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex b/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex index b30f9a2..b8298b1 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/determinante.tex @@ -6,7 +6,6 @@ % \section{Determinante \label{buch:section:determinante}} -\rhead{Determinante} Das Signum einer Permutationsmatrizen lässt sich gemäss~\eqref{buch:permutationen:determinante} mit der Determinanten berechnen. @@ -27,7 +26,7 @@ Die Matrizen $A_{i\!j}$ sind die Minoren der Matrix $A$ (siehe auch Seite~\pageref{buch:linear:def:minor}). In den Produkten $a_{i\!j}\cdot\det(A_{i\!j})$ enthält die Untermatrix $A_{i\!j}$ weder Elemente der Zeile $i$ noch der -Zeile $j$. +Spalte $j$. Die Summanden auf der rechten Seite von \eqref{buch:permutationen:entwicklungssatz} sind daher Produkte der Form @@ -52,6 +51,7 @@ i_1&i_2&i_3&\dots&i_n \] eine Permutation ist. +\rhead{Determinante} Die Determinante muss sich daher als Summe über alle Permutationen in der Form \begin{equation} diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex index 2577b48..3fa6aa7 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex @@ -44,7 +44,7 @@ aus zwei identischen Zeilen. Die Verknüpfung zweier solcher Permutationen kann leicht graphisch dargestellt werden: dazu werden die beiden Permutationen untereinander geschrieben und Spalten der zweiten Permutation -in der Reihen folge der Zahlen in der zweiten Zeile der ersten +in der Reihenfolge der Zahlen in der zweiten Zeile der ersten Permutation angeordnet. Die zusammengesetzte Permutation kann dann in der zweiten Zeile der zweiten Permutation abgelesen werden: @@ -75,7 +75,7 @@ dass die Zahlen in der ersten Zeile ansteigend sind: \subsection{Zyklenzerlegung \label{buch:subsection:zyklenzerlegung}} -Eine Permutation $\sigma\in S_n$ kann auch mit sogenanten Zyklenzerlegung +Eine Permutation $\sigma\in S_n$ kann auch mit der sogenanten Zyklenzerlegung \index{Zyklenzerlegung}% analysiert werden. @@ -98,7 +98,8 @@ Zum Beispiel: \begin{center} \includegraphics{chapters/50-permutationen/images/zyklenzerlegung.pdf} \end{center} -Der folgende Algorithmus findet die Zyklenzerlegung einer Permutation. +Der folgende Satz stellt einen Algorithmus bereit, mit dem die +Zyklenzerlegung einer Permutation gefunden werden kann. \begin{satz} Sei $\sigma\in S_n$ eine Permutation. Der folgende Algorithmus findet @@ -143,7 +144,7 @@ m = \operatorname{kgV} (|Z_1|,|Z_2|,\dots,|Z_k|). Zwei Elemente $g_1,g_2\in G$ einer Gruppe heissen {\em konjugiert}, wenn \index{konjugiert} es ein Element $c\in G$ gibt derart, dass $cg_1c^{-1}=g_2$. -Bei Matrizen bedeutet dies bedeutet, dass die beiden Matrizen durch +Bei Matrizen bedeutet dies, dass die beiden Matrizen durch Basiswechsel auseinander hervorgehen. Dasselbe lässt sich auch im Kontext der symmetrischen Gruppe sagen. @@ -175,16 +176,16 @@ $\sigma_1^k\gamma = \gamma\sigma_2^k$, also \[ \gamma(Z_i) = -\{\gamma(x),\sigma_1(\gamma(x)),\sigma_1^2(\gamma(x)),\dots\}, +\{\gamma(x),\sigma_1(\gamma(x)),\sigma_1^2(\gamma(x)),\dots\}. \] -Also ist $\gamma(Z_i)$ ein Zyklus von $\sigma_1$. +Somit ist $\gamma(Z_i)$ ein Zyklus von $\sigma_1$. Die Permutation $\gamma$ bildet also Zyklen von $\sigma_2$ auf Zyklen von $\sigma_1$ ab. Es folgt daher der folgende Satz: \begin{satz} Seien $\sigma_1,\sigma_2\in S_n$ konjugiert $\sigma_1=\gamma\sigma_2\gamma^{-1}$ -mit dem $\gamma\in S_n$. +mit $\gamma\in S_n$. Wenn $Z_1,\dots,Z_k$ die Zyklen von $\sigma_2$ sind, dann sind $\gamma(Z_1),\dots,\gamma(Z_k)$ die Zyklen von $\sigma_1$. \end{satz} diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.pdf b/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.pdf index cdfa186..f620b81 100644 Binary files a/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.pdf and b/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.pdf differ diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.tex b/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.tex index ee58d4a..fca7aa5 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/images/permutation.tex @@ -35,7 +35,7 @@ \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6\\ 2&1&3&5&6&4 -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}. $}; \end{tikzpicture} diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex index 037c441..8977635 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex @@ -9,7 +9,7 @@ Die Eigenschaft, dass eine Vertauschung das Vorzeichen kehrt, ist eine wohlbekannte Eigenschaft der Determinanten. In diesem Abschnitt soll daher eine Darstellung von Permutationen -als Matrizen gezeigt werden und die Verbindung zwischen dem +als Matrizen vorgestellt werden und die Verbindung zwischen dem Vorzeichen einer Permutation und der Determinanten hergestellt werden. \index{Determinante}% @@ -64,8 +64,8 @@ A_\sigma \begin{definition} \label{buch:permutationen:def:permutationsmatrix} \index{Permutationsmatrix}% -Eine {\em Permutationsmatrix} ist eine Matrix $P\in M_n(\Bbbk)$ -derart, die in jeder Zeile und Spalte genau eine $1$ enthalten ist, +Eine {\em Permutationsmatrix} ist eine Matrix $P\in M_n(\Bbbk)$, +die in jeder Zeile und Spalte genau eine $1$ enthält, während alle anderen Matrixelemente $0$ sind. \end{definition} diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex index 5815c8a..dcbf2e0 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex @@ -5,7 +5,6 @@ % \section{Permutationen und Transpositionen \label{buch:section:permutationen-und-transpositionen}} -\rhead{Transpositionen} Im vorangegangenen Abschnitt haben wir Permutationen durch die Zyklenzerlegung charakterisiert. Es zeigt sich aber, dass sich eine Permutation in noch elementarere @@ -26,6 +25,7 @@ x&\qquad\text{sonst.} \end{cases} \] \end{definition} +\rhead{Transpositionen} Eine Transposition hat genau einen Zyklus der Länge $2$, alle anderen Zyklen haben die Länge $1$. @@ -91,7 +91,7 @@ d.~h. \operatorname{sgn}(\sigma_1) \operatorname{sgn}(\sigma_2). \] -Da ganz offensichtlich $\sigma_1\sigma_2$ mit $k_1+k_2$ Transpositionen +Offensichtlich kann $\sigma_1\sigma_2$ mit $k_1+k_2$ Transpositionen geschrieben werden kann, wenn $\sigma_i$ mit $k_i$ Transpositionen geschrieben werden kann. @@ -113,7 +113,7 @@ S_n. \] \index{Kern}% \index{alterniernde Gruppe}% -heisst die {\em alternierende Gruppe} der Ordnung $n$ +heisst die {\em alternierende Gruppe} der Ordnung $n$. Die Elemente von $A_n$ heissen auch die {\em geraden} Permutationen, \index{gerade Permutation}% \index{ungerade Permutation}% -- cgit v1.2.1