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From: Joshua Baer <the.baer.joshua@gmail.ch>
Date: Mon, 12 Apr 2021 21:51:55 +0200
Subject: update to current state of book

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 buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex | 1294 ++++++++++++++---------------
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-%
-% lie-algebren.tex -- Lie-Algebren
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Lie-Algebren
-\label{buch:section:lie-algebren}}
-\rhead{Lie-Algebren}
-Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen
-Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen
-Vektorraum $M_n(\mathbb{R}9$ betrachtet werden können.
-Die Gruppen haben damit nicht nur die algebraische Struktur einer
-Matrixgruppe, sie haben auch die geometrische Struktur einer 
-Mannigfaltigkeit.
-Insbesondere ist es sinnvoll, von Ableitungen zu sprechen.
-
-Eindimensionale Untergruppen einer Gruppe können auch als Kurven
-innerhalb der Gruppe angesehen werden.
-In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man zu jeder eindimensionalen
-Untergruppe einen Vektor in $M_n(\mathbb{R})$ finden kann derart, dass
-der Vektor als Tangentialvektor an diese Kurve gelten kann.
-Aus einer Abbildung zwischen der Gruppe und diesen Tagentialvektoren
-erhält man dann auch eine algebraische Struktur auf diesen Tangentialvektoren,
-die sogenannte Lie-Algebra.
-Sie ist charakteristisch für die Gruppe.
-Insbesondere werden wir sehen, wie die Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ 
-und $\operatorname{SU}(2)$ die gleich Lie-Algebra haben und dass die
-Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$
-übereinstimmt.
-
-%
-% Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe
-%
-\subsection{Lie-Algebra einer Matrizengruppe
-\label{buch:section:lie-algebra-einer-matrizengruppe}}
-Zu jedem Tangentialvektor $A$ im Punkt $I$ einer Matrizengruppe gibt es
-eine Einparameteruntergruppe, die mit Hilfe der Exponentialfunktion
-$e^{At}$ konstruiert werden kann.
-Für die folgende Konstruktion arbeiten wir in der Gruppe
-$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, in der jede Matrix auch ein
-Tangentialvektor ist.
-Wir werden daraus die Lie-Klammer ableiten und später verifizieren,
-dass diese auch für die Tangentialvektoren der Gruppen
-$\operatorname{SO}(n)$ oder $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ funktioniert.
-
-\subsubsection{Lie-Klammer}
-Zu zwei verschiedenen Tagentialvektoren $A\in M_n(\mathbb{R})$ und
-$B\in M_n(\mathbb{R})$ gibt es zwei verschiedene Einparameteruntergruppen
-$e^{At}$ und $e^{Bt}$.
-Wenn die Matrizen $A$ und $B$ oder die Einparameteruntergruppen 
-$e^{At}$ und $e^{Bt}$ vertauschbar sind, dann stimmen 
-$e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ nicht überein.
-Die zugehörigen Potenzreihen sind:
-\begin{align*}
-e^{At}
-&=
-I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \frac{A^3t^3}{3!} + \dots
-\\
-e^{Bt}
-&=
-I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \frac{B^3t^3}{3!} + \dots
-\\
-e^{At}e^{Bt}
-&=
-\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
-\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
-\\
-&=
-I+(A+B)t + \biggl(\frac{A^2}{2!}+AB+\frac{B^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots
-\\
-e^{Bt}e^{At}
-&=
-\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
-\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
-\\
-&=
-I+(B+A)t + \biggl(\frac{B^2}{2!}+BA+\frac{A^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots
-\intertext{%
-Die beiden Kurven $e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ haben zwar den gleichen
-Tangentialvektor für $t=0$, sie unterscheiden
-sich aber untereinander, und sie unterscheiden sich von der
-Einparameteruntergruppe von $A+B$}
-e^{(A+B)t}
-&=
-I + (A+B)t + \frac{t^2}{2}(A^2 + AB + BA + B^2) + \ldots
-\intertext{Für die Unterschiede finden wir}
-e^{At}e^{Bt} - e^{(A+B)t}
-&=
-\biggl(AB-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2
-+\ldots
-=
-(AB-BA) \frac{t^2}{2} + \ldots
-=
-[A,B]\frac{t^2}{2}+\ldots
-\\
-e^{Bt}e^{At} - e^{(A+B)t}
-&=
-\biggl(BA-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2
-+\ldots
-=
-(BA-AB)
-\frac{t^2}{2}
-+\ldots
-=
--[A,B]\frac{t^2}{2}
-\\
-e^{At}e^{Bt}-e^{Bt}e^{At}
-&=
-(AB-BA)t^2+\ldots
-=
-\phantom{-}[A,B]t^2+\ldots
-\end{align*}
-wobei mit $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird.
-
-\begin{definition}
-\label{buch:gruppen:def:kommutator}
-Der Kommutator zweier Matrizen $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ ist die Matrix
-$[A,B]=AB-BA$.
-\end{definition}
-
-Der Kommutator ist bilinear und antisymmetrisch, da
-\begin{align*}
-[\lambda A+\mu B,C]
-&=
-\lambda AC+\mu BC-\lambda CA -\mu CB
-=
-\lambda[A,C]+\mu[B,C]
-\\
-[A,\lambda B+\mu C]
-&=
-\lambda AB + \mu AC - \lambda BA - \mu CA
-=
-\lambda[A,B]+\mu[A,C]
-\\
-[A,B]
-&=
-AB-BA = -(BA-AB) = -[B,A].
-\end{align*}
-Aus der letzten Bedingung folgt insbesodnere $[A,A]=0$
-
-Der Kommutator $[A,B]$ misst in niedrigster Ordnung den Unterschied
-zwischen den $e^{At}$ und $e^{Bt}$.
-Der Kommutator der Tangentialvektoren $A$ und $B$ bildet also die
-Nichtkommutativität der Matrizen $e^{At}$ und $e^{Bt}$ ab.
-
-
-\subsubsection{Die Jacobi-Identität}
-Der Kommutator hat die folgende zusätzliche algebraische Eigenschaft:
-\begin{align*}
-[A,[B,C]]
-+
-[B,[C,A]]
-+
-[C,[A,B]]
-&=
-[A,BC-CB]
-+
-[B,CA-AC]
-+
-[C,AB-BA]
-\\
-&=\phantom{+}
-ABC-ACB-BCA+CBA
-\\
-&\phantom{=}+
-BCA-BAC-CAB+ACB
-\\
-&\phantom{=}+
-CAB-CBA-ABC+BAC
-\\
-&=0.
-\end{align*}
-Diese Eigenschaft findet man auch bei anderen Strukturen, zum Beispiel
-bei Vektorfeldern, die man als Differentialoperatoren auf Funktionen 
-betrachten kann.
-Man kann dann einen Kommutator $[X,Y]$ für zwei Vektorfelder
-$X$ und $Y$ definieren.
-Dieser Kommutator von Vektorfeldern erfüllt ebenfalls die gleiche
-Identität.
-
-\begin{definition}
-\label{buch:gruppen:def:jacobi}
-Ein bilineares Produkt $[\;,\;]\colon V\times V\to V$ auf dem Vektorraum
-erfüllt die {\em Jacobi-Identität}, wenn 
-\[
-[u,[v,w]] + [v,[w,u]] + [w,[u,v]]=0
-\]
-ist für beliebige Vektoren $u,v,w\in V$.
-\end{definition}
-
-\subsubsection{Lie-Algebra}
-Die Tangentialvektoren einer Lie-Gruppe tragen also mit dem Kommutator
-eine zusätzliche Struktur, nämlich die Struktur einer Lie-Algebra.
-
-\begin{definition}
-Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt
-\[
-[\;,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v],
-\]
-welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi}
-erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}.
-\end{definition}
-
-Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe $G$ wird mit $LG$ bezeichnet.
-$LG$ besteht aus den Tangentialvektoren im Punkt $I$.
-Die Exponentialabbildung $\exp\colon LG\to G:A\mapsto e^A$
-ist eine differenzierbare Abbildung von $LG$ in die Gruppe $G$.
-Insbesondere kann die Inverse der Exponentialabbildung als eine
-Karte in einer Umgebung von $I$ verwendet werden.
-
-Für die Lie-Algebren der Matrizengruppen, die früher definiert worden
-sind, verwenden wir die als Notationskonvention, dass der Name der
-Lie-Algebra der mit kleinen Buchstaben geschrieben Name der Lie-Gruppe ist.
-Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(n)$ ist also
-$L\operatorname{SO}(n) = \operatorname{os}(n)$,
-die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ ist
-$L\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})=\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})$.
-
-
-%
-% Die Lie-Algebra von SO(3)
-%
-\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$
-\label{buch:subsection:die-lie-algebra-von-so3}}
-Zur Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehmatrizen gehört die Lie-Algebra
-$\operatorname{so}(3)$ der antisymmetrischen $3\times 3$-Matrizen.
-Solche Matrizen haben die Form
-\[
-\Omega
-=
-\begin{pmatrix}
-    0    & \omega_3&-\omega_2\\
--\omega_3&   0     & \omega_1\\
- \omega_2&-\omega_1&    0
-\end{pmatrix}
-\]
-Der Vektorraum $\operatorname{so}(3)$ ist also dreidimensional.
-
-Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $x$ ist
-\[
-(I+t\Omega)
-\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-    1     & t\omega_3&-t\omega_2\\
--t\omega_3&   1      & t\omega_1\\
- t\omega_2&-t\omega_1&    1
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-x_1-t(-\omega_3x_2+\omega_2x_3)\\
-x_2-t( \omega_3x_1-\omega_1x_3)\\
-x_3-t(-\omega_2x_1+\omega_1x_2)
-\end{pmatrix}
-=
-x- t\begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}\times x
-=
-x+ tx\times \omega.
-\]
-Die Matrix $\Omega$ ist als die infinitesimale Version einer Drehung
-um die Achse $\omega$.
-
-Wir können die Analogie zwischen Matrizen in $\operatorname{so}(3)$ und
-Vektoren in $\mathbb R^3$ noch etwas weiter treiben. Zu jedem Vektor
-in $\mathbb R^3$ konstruieren wir eine Matrix in $\operatorname{so}(3)$
-mit Hilfe der Abbildung
-\[
-\mathbb R^3\to\operatorname{so}(3)
-:
-\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}
-\mapsto
-\begin{pmatrix}
-  0 & v_3&-v_1\\
--v_3&  0 & v_2\\
- v_1&-v_2&  0
-\end{pmatrix}.
-\]
-Der Kommutator von zwei so aus Vektoren $\vec u$ und $\vec v$
-konstruierten Matrizen $U$ und $V$ ist:
-\begin{align*}
-[U,V]
-&=
-UV-VU
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-  0 & u_3&-u_1\\
--u_3&  0 & u_2\\
- u_1&-u_2&  0
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
-  0 & v_3&-v_1\\
--v_3&  0 & v_2\\
- v_1&-v_2&  0
-\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}
-  0 & v_3&-v_1\\
--v_3&  0 & v_2\\
- v_1&-v_2&  0
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
-  0 & u_3&-u_1\\
--u_3&  0 & u_2\\
- u_1&-u_2&  0
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-u_3v_3+u_1v_1 - u_3v_3 - u_1v_1
-        & u_1v_2 - u_2v_1
-                & u_3v_2 - u_2v_3
-\\
-u_2v_1 - u_1v_2
-        & -u_3v_3-u_2v_2 + u_3v_3+u_2v_2
-                & u_3v_1 - u_1v_3
-\\
-u_2v_3 - u_3v_2
-        & u_1v_3 - u_3v_1
-                &-u_1v_1-u_2v_2 u_1v_1+u_2v_2
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-0
-        & u_1v_2 - u_2v_1
-                &-(u_2v_3-u_3v_2)
-\\
--( u_1v_2 - u_2v_1)
-        & 0
-                & u_3v_1 - u_1v_3
-\\
-u_2v_3 - u_3v_2
-        &-( u_3v_1 - u_1v_3)
-                & 0
-\end{pmatrix}
-\end{align*}
-Die Matrix $[U,V]$ gehört zum Vektor $\vec u\times\vec v$.
-Damit können wir aus der Jacobi-Identität jetzt folgern, dass
-\[
-\vec u\times(\vec v\times w)
-+
-\vec v\times(\vec w\times u)
-+
-\vec w\times(\vec u\times v)
-=0
-\]
-für drei beliebige Vektoren $\vec u$, $\vec v$ und $\vec w$ ist.
-Dies bedeutet, dass der dreidimensionale Vektorraum $\mathbb R^3$
-mit dem Vektorprodukt zu einer Lie-Algebra wird.
-In der Tat verwenden einige Bücher statt der vertrauten Notation
-$\vec u\times \vec v$ für das Vektorprodukt die aus der Theorie der
-Lie-Algebren entlehnte Notation $[\vec u,\vec v]$, zum Beispiel
-das Lehrbuch der Theoretischen Physik \cite{skript:landaulifschitz1}
-von Landau und Lifschitz.
-
-Die Lie-Algebren sind vollständig klassifiziert worden, es gibt
-keine nicht trivialen zweidimensionalen Lie-Algebren.
-Unser dreidimensionaler Raum ist also auch in dieser Hinsicht speziell:
-es ist der kleinste Vektorraum, in dem eine nichttriviale Lie-Algebra-Struktur
-möglich ist.
-
-Die antisymmetrischen Matrizen
-\[
-\omega_{23}
-=
-\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
-\quad
-\omega_{31}
-=
-\begin{pmatrix} 0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}
-\quad
-\omega_{12}
-=
-\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}
-\]
-haben die Kommutatoren
-\begin{equation}
-\begin{aligned}
-[\omega_{23},\omega_{31}]
-&=
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&1\\
-0&-1&0
-\end{pmatrix}
-=
-\omega_{12}
-\\
-[\omega_{31},\omega_{12}]
-&=
-\begin{pmatrix}
-0&1&0\\
--1&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-=
-\omega_{23}
-\\
-[\omega_{12},\omega_{23}]
-&=
-\begin{pmatrix}
-0&0&-1\\
-0&0&0\\
-1&0&0
-\end{pmatrix}
-=
-\omega_{31}
-\end{aligned}
-\label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}
-\end{equation}
-
-\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$}
-Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ besteht aus den
-spurlosen Matrizen in $M_n(\mathbb{R})$.
-Der Kommutator solcher Matrizen erfüllt
-\[
-\operatorname{Spur}([A,B])
-=
-\operatorname{Spur}(AB-BA)
-=
-\operatorname{Spur}(AB)-\operatorname{Spur}(BA)
-=
-0,
-\]
-somit ist 
-\[
-\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})
-=
-\{
-A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; \operatorname{Spur}(A)=0
-\}
-\]
-mit dem Kommutator eine Lie-Algebra.
-
-%
-% Die Lie-Algebra von U(n)
-%
-\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{U}(n)$}
-Die Lie-Gruppe
-\[
-U(n)
-=
-\{
-A\in M_n(\mathbb{C}
-\;|\;
-AA^*=I
-\}
-\]
-heisst die unitäre Gruppe, sie besteht aus den Matrizen, die
-das sesquilineare Standardskalarprodukt auf dem komplexen
-Vektorraum $\mathbb{C}^n$ invariant lassen.
-Sei eine $\gamma(t)$ ein differenzierbare Kurve in $\operatorname{U}(n)$
-derart, dass $\gamma(0)=I$.
-Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf 
-\begin{align*}
-0
-=
-\frac{d}{dt}
-\gamma(t)\gamma(t)^*
-\bigg|_{t=0}
-=
-\dot{\gamma}(0)\gamma(0)^*
-+
-\gamma(0)\dot{\gamma}(0)^*
-=
-\dot{\gamma}(0)
-+
-\dot{\gamma}(0)^*
-\quad\Rightarrow\quad
-\dot{\gamma}(0)&=-\dot{\gamma}(0)^*.
-A&=-A^*
-\end{align*}
-Die Lie-Algebra $\operatorname{u}(n)$ besteht daher aus den antihermiteschen
-Matrizen.
-
-Wir sollten noch verifizieren, dass der Kommutator zweier antihermiteschen
-Matrizen wieder anithermitesch ist:
-\begin{align*}
-[A,B]^*
-&=
-(AB-BA)^*
-=
-B^*A^*-A^*B^*
-=
-BA - AB
-=
--[B,A].
-\end{align*}
-
-Eine antihermitesche Matrix erfüllt $a_{ij}=-\overline{a}_{ji}$,
-für die Diagonalelemente folgt daher $a_{ii} = -\overline{a}_{ii}$
-oder $\overline{a}_{ii}=-a_{ii}$.
-Der Realteil von $a_{ii}$ ist
-\[
-\Re a_{ii}
-=
-\frac{a_{ii}+\overline{a}_{ii}}2
-=
-0,
-\]
-die Diagonalelemente einer antihermiteschen Matrix sind daher rein
-imaginär.
-
-
-%
-% Die Lie-Algebra SU(2)
-%
-\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$}
-Die Lie-Algebra $\operatorname{su}(n)$ besteht aus den
-spurlosen antihermiteschen Matrizen.
-Sie erfüllen daher die folgenden Bedingungen:
-\[
-A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
-\qquad
-\text{mit}
-\qquad
-\left\{
-\begin{aligned}
-a+d&=0&&\Rightarrow& a=is = -d
-\\
-b^*&=-c
-\end{aligned}
-\right.
-\]
-Damit hat $A$ die Form
-\begin{align*}
-A=\begin{pmatrix}
-is&u+iv\\
--u+iv&-is
-\end{pmatrix}
-&=
-s
-\begin{pmatrix}
-i&0\\
-0&-i
-\end{pmatrix}
-+
-u
-\begin{pmatrix}
- 0&1\\
--1&0
-\end{pmatrix}
-+
-v
-\begin{pmatrix}
-0&i\\
-i&0
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-iv\underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_1}
-+
-iu\underbrace{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_2}
-+
-is\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_3}
-\end{align*}
-Diese Matrizen heissen die {\em Pauli-Matrizen}, sie haben die Kommutatoren
-\begin{align*}
-[\sigma_1,\sigma_2]
-&=
-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-=
-2\begin{pmatrix}i&0\\0&-i \end{pmatrix}
-=
-2i\sigma_3,
-\\
-[\sigma_2,\sigma_3]
-&=
-\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
-=
-2
-\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}
-=
-2i\sigma_1.
-\\
-[\sigma_1,\sigma_3]
-&=
-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-=
-2i
-\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
-=
-2i\sigma_2,
-\end{align*}
-Bis auf eine Skalierung stimmt dies überein mit den Kommutatorprodukten
-der Matrizen $\omega_{23}$, $\omega_{31}$ und $\omega_{12}$
-in \eqref{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}.
-Die Matrizen $-\frac12i\sigma_j$ haben die Kommutatorprodukte
-\begin{align*}
-\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_1,-{\textstyle\frac12}i\sigma_2\bigr]
-&=
--{\textstyle\frac14}[\sigma_1,\sigma_2]
-=
--{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_3
-=
--{\textstyle\frac12}i\sigma_3
-\\
-\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_2,-{\textstyle\frac12}i\sigma_3\bigr]
-&=
--{\textstyle\frac14}[\sigma_2,\sigma_3]
-=
--{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_1
-=
--{\textstyle\frac12}i\sigma_1
-\\
-\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_3,-{\textstyle\frac12}i\sigma_1\bigr]
-&=
--{\textstyle\frac14}[\sigma_3,\sigma_1]
-=
--{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_2
-=
--{\textstyle\frac12}i\sigma_2
-\end{align*}
-Die lineare Abbildung, die
-\begin{align*}
-\omega_{23}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_1\\
-\omega_{31}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_2\\
-\omega_{12}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_3
-\end{align*}
-abbildet ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$
-auf die Lie-Algebra $\operatorname{su}(2)$.
-Die Lie-Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ und $\operatorname{SU}(2)$
-haben also die gleiche Lie-Algebra.
-
-Tatsächlich kann man Hilfe von Quaternionen die Matrix $\operatorname{SU}(2)$
-als Einheitsquaternionen beschreiben und damit eine Darstellung der
-Drehmatrizen in $\operatorname{SO}(3)$ finden.
-Dies wird in Kapitel~\ref{chapter:clifford} dargestellt.
-
-
-
-
-
+%
+% lie-algebren.tex -- Lie-Algebren
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Lie-Algebren
+\label{buch:section:lie-algebren}}
+\rhead{Lie-Algebren}
+Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen
+Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen
+Vektorraum $M_n(\mathbb{R}9$ betrachtet werden können.
+Die Gruppen haben damit nicht nur die algebraische Struktur einer
+Matrixgruppe, sie haben auch die geometrische Struktur einer 
+Mannigfaltigkeit.
+Insbesondere ist es sinnvoll, von Ableitungen zu sprechen.
+
+Eindimensionale Untergruppen einer Gruppe können auch als Kurven
+innerhalb der Gruppe angesehen werden.
+In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man zu jeder eindimensionalen
+Untergruppe einen Vektor in $M_n(\mathbb{R})$ finden kann derart, dass
+der Vektor als Tangentialvektor an diese Kurve gelten kann.
+Aus einer Abbildung zwischen der Gruppe und diesen Tagentialvektoren
+erhält man dann auch eine algebraische Struktur auf diesen Tangentialvektoren,
+die sogenannte Lie-Algebra.
+Sie ist charakteristisch für die Gruppe.
+Insbesondere werden wir sehen, wie die Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ 
+und $\operatorname{SU}(2)$ die gleich Lie-Algebra haben und dass die
+Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$
+übereinstimmt.
+
+%
+% Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe
+%
+\subsection{Lie-Algebra einer Matrizengruppe
+\label{buch:section:lie-algebra-einer-matrizengruppe}}
+Zu jedem Tangentialvektor $A$ im Punkt $I$ einer Matrizengruppe gibt es
+eine Einparameteruntergruppe, die mit Hilfe der Exponentialfunktion
+$e^{At}$ konstruiert werden kann.
+Für die folgende Konstruktion arbeiten wir in der Gruppe
+$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, in der jede Matrix auch ein
+Tangentialvektor ist.
+Wir werden daraus die Lie-Klammer ableiten und später verifizieren,
+dass diese auch für die Tangentialvektoren der Gruppen
+$\operatorname{SO}(n)$ oder $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ funktioniert.
+
+\subsubsection{Lie-Klammer}
+Zu zwei verschiedenen Tagentialvektoren $A\in M_n(\mathbb{R})$ und
+$B\in M_n(\mathbb{R})$ gibt es zwei verschiedene Einparameteruntergruppen
+$e^{At}$ und $e^{Bt}$.
+Wenn die Matrizen $A$ und $B$ oder die Einparameteruntergruppen 
+$e^{At}$ und $e^{Bt}$ vertauschbar sind, dann stimmen 
+$e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ nicht überein.
+Die zugehörigen Potenzreihen sind:
+\begin{align*}
+e^{At}
+&=
+I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \frac{A^3t^3}{3!} + \dots
+\\
+e^{Bt}
+&=
+I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \frac{B^3t^3}{3!} + \dots
+\\
+e^{At}e^{Bt}
+&=
+\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
+\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
+\\
+&=
+I+(A+B)t + \biggl(\frac{A^2}{2!}+AB+\frac{B^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots
+\\
+e^{Bt}e^{At}
+&=
+\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
+\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
+\\
+&=
+I+(B+A)t + \biggl(\frac{B^2}{2!}+BA+\frac{A^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots
+\intertext{%
+Die beiden Kurven $e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ haben zwar den gleichen
+Tangentialvektor für $t=0$, sie unterscheiden
+sich aber untereinander, und sie unterscheiden sich von der
+Einparameteruntergruppe von $A+B$}
+e^{(A+B)t}
+&=
+I + (A+B)t + \frac{t^2}{2}(A^2 + AB + BA + B^2) + \ldots
+\intertext{Für die Unterschiede finden wir}
+e^{At}e^{Bt} - e^{(A+B)t}
+&=
+\biggl(AB-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2
++\ldots
+=
+(AB-BA) \frac{t^2}{2} + \ldots
+=
+[A,B]\frac{t^2}{2}+\ldots
+\\
+e^{Bt}e^{At} - e^{(A+B)t}
+&=
+\biggl(BA-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2
++\ldots
+=
+(BA-AB)
+\frac{t^2}{2}
++\ldots
+=
+-[A,B]\frac{t^2}{2}
+\\
+e^{At}e^{Bt}-e^{Bt}e^{At}
+&=
+(AB-BA)t^2+\ldots
+=
+\phantom{-}[A,B]t^2+\ldots
+\end{align*}
+wobei mit $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:gruppen:def:kommutator}
+Der Kommutator zweier Matrizen $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ ist die Matrix
+$[A,B]=AB-BA$.
+\end{definition}
+
+Der Kommutator ist bilinear und antisymmetrisch, da
+\begin{align*}
+[\lambda A+\mu B,C]
+&=
+\lambda AC+\mu BC-\lambda CA -\mu CB
+=
+\lambda[A,C]+\mu[B,C]
+\\
+[A,\lambda B+\mu C]
+&=
+\lambda AB + \mu AC - \lambda BA - \mu CA
+=
+\lambda[A,B]+\mu[A,C]
+\\
+[A,B]
+&=
+AB-BA = -(BA-AB) = -[B,A].
+\end{align*}
+Aus der letzten Bedingung folgt insbesodnere $[A,A]=0$
+
+Der Kommutator $[A,B]$ misst in niedrigster Ordnung den Unterschied
+zwischen den $e^{At}$ und $e^{Bt}$.
+Der Kommutator der Tangentialvektoren $A$ und $B$ bildet also die
+Nichtkommutativität der Matrizen $e^{At}$ und $e^{Bt}$ ab.
+
+
+\subsubsection{Die Jacobi-Identität}
+Der Kommutator hat die folgende zusätzliche algebraische Eigenschaft:
+\begin{align*}
+[A,[B,C]]
++
+[B,[C,A]]
++
+[C,[A,B]]
+&=
+[A,BC-CB]
++
+[B,CA-AC]
++
+[C,AB-BA]
+\\
+&=\phantom{+}
+ABC-ACB-BCA+CBA
+\\
+&\phantom{=}+
+BCA-BAC-CAB+ACB
+\\
+&\phantom{=}+
+CAB-CBA-ABC+BAC
+\\
+&=0.
+\end{align*}
+Diese Eigenschaft findet man auch bei anderen Strukturen, zum Beispiel
+bei Vektorfeldern, die man als Differentialoperatoren auf Funktionen 
+betrachten kann.
+Man kann dann einen Kommutator $[X,Y]$ für zwei Vektorfelder
+$X$ und $Y$ definieren.
+Dieser Kommutator von Vektorfeldern erfüllt ebenfalls die gleiche
+Identität.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:gruppen:def:jacobi}
+Ein bilineares Produkt $[\;,\;]\colon V\times V\to V$ auf dem Vektorraum
+erfüllt die {\em Jacobi-Identität}, wenn 
+\[
+[u,[v,w]] + [v,[w,u]] + [w,[u,v]]=0
+\]
+ist für beliebige Vektoren $u,v,w\in V$.
+\end{definition}
+
+\subsubsection{Lie-Algebra}
+Die Tangentialvektoren einer Lie-Gruppe tragen also mit dem Kommutator
+eine zusätzliche Struktur, nämlich die Struktur einer Lie-Algebra.
+
+\begin{definition}
+Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt
+\[
+[\;,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v],
+\]
+welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi}
+erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}.
+\end{definition}
+
+Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe $G$ wird mit $LG$ bezeichnet.
+$LG$ besteht aus den Tangentialvektoren im Punkt $I$.
+Die Exponentialabbildung $\exp\colon LG\to G:A\mapsto e^A$
+ist eine differenzierbare Abbildung von $LG$ in die Gruppe $G$.
+Insbesondere kann die Inverse der Exponentialabbildung als eine
+Karte in einer Umgebung von $I$ verwendet werden.
+
+Für die Lie-Algebren der Matrizengruppen, die früher definiert worden
+sind, verwenden wir die als Notationskonvention, dass der Name der
+Lie-Algebra der mit kleinen Buchstaben geschrieben Name der Lie-Gruppe ist.
+Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(n)$ ist also
+$L\operatorname{SO}(n) = \operatorname{os}(n)$,
+die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ ist
+$L\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})=\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})$.
+
+
+%
+% Die Lie-Algebra von SO(3)
+%
+\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$
+\label{buch:subsection:die-lie-algebra-von-so3}}
+Zur Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehmatrizen gehört die Lie-Algebra
+$\operatorname{so}(3)$ der antisymmetrischen $3\times 3$-Matrizen.
+Solche Matrizen haben die Form
+\[
+\Omega
+=
+\begin{pmatrix}
+    0    & \omega_3&-\omega_2\\
+-\omega_3&   0     & \omega_1\\
+ \omega_2&-\omega_1&    0
+\end{pmatrix}
+\]
+Der Vektorraum $\operatorname{so}(3)$ ist also dreidimensional.
+
+Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $x$ ist
+\[
+(I+t\Omega)
+\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+    1     & t\omega_3&-t\omega_2\\
+-t\omega_3&   1      & t\omega_1\\
+ t\omega_2&-t\omega_1&    1
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+x_1-t(-\omega_3x_2+\omega_2x_3)\\
+x_2-t( \omega_3x_1-\omega_1x_3)\\
+x_3-t(-\omega_2x_1+\omega_1x_2)
+\end{pmatrix}
+=
+x- t\begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}\times x
+=
+x+ tx\times \omega.
+\]
+Die Matrix $\Omega$ ist als die infinitesimale Version einer Drehung
+um die Achse $\omega$.
+
+Wir können die Analogie zwischen Matrizen in $\operatorname{so}(3)$ und
+Vektoren in $\mathbb R^3$ noch etwas weiter treiben. Zu jedem Vektor
+in $\mathbb R^3$ konstruieren wir eine Matrix in $\operatorname{so}(3)$
+mit Hilfe der Abbildung
+\[
+\mathbb R^3\to\operatorname{so}(3)
+:
+\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}
+\mapsto
+\begin{pmatrix}
+  0 & v_3&-v_1\\
+-v_3&  0 & v_2\\
+ v_1&-v_2&  0
+\end{pmatrix}.
+\]
+Der Kommutator von zwei so aus Vektoren $\vec u$ und $\vec v$
+konstruierten Matrizen $U$ und $V$ ist:
+\begin{align*}
+[U,V]
+&=
+UV-VU
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+  0 & u_3&-u_1\\
+-u_3&  0 & u_2\\
+ u_1&-u_2&  0
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+  0 & v_3&-v_1\\
+-v_3&  0 & v_2\\
+ v_1&-v_2&  0
+\end{pmatrix}
+-
+\begin{pmatrix}
+  0 & v_3&-v_1\\
+-v_3&  0 & v_2\\
+ v_1&-v_2&  0
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+  0 & u_3&-u_1\\
+-u_3&  0 & u_2\\
+ u_1&-u_2&  0
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+u_3v_3+u_1v_1 - u_3v_3 - u_1v_1
+        & u_1v_2 - u_2v_1
+                & u_3v_2 - u_2v_3
+\\
+u_2v_1 - u_1v_2
+        & -u_3v_3-u_2v_2 + u_3v_3+u_2v_2
+                & u_3v_1 - u_1v_3
+\\
+u_2v_3 - u_3v_2
+        & u_1v_3 - u_3v_1
+                &-u_1v_1-u_2v_2 u_1v_1+u_2v_2
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+0
+        & u_1v_2 - u_2v_1
+                &-(u_2v_3-u_3v_2)
+\\
+-( u_1v_2 - u_2v_1)
+        & 0
+                & u_3v_1 - u_1v_3
+\\
+u_2v_3 - u_3v_2
+        &-( u_3v_1 - u_1v_3)
+                & 0
+\end{pmatrix}
+\end{align*}
+Die Matrix $[U,V]$ gehört zum Vektor $\vec u\times\vec v$.
+Damit können wir aus der Jacobi-Identität jetzt folgern, dass
+\[
+\vec u\times(\vec v\times w)
++
+\vec v\times(\vec w\times u)
++
+\vec w\times(\vec u\times v)
+=0
+\]
+für drei beliebige Vektoren $\vec u$, $\vec v$ und $\vec w$ ist.
+Dies bedeutet, dass der dreidimensionale Vektorraum $\mathbb R^3$
+mit dem Vektorprodukt zu einer Lie-Algebra wird.
+In der Tat verwenden einige Bücher statt der vertrauten Notation
+$\vec u\times \vec v$ für das Vektorprodukt die aus der Theorie der
+Lie-Algebren entlehnte Notation $[\vec u,\vec v]$, zum Beispiel
+das Lehrbuch der Theoretischen Physik \cite{skript:landaulifschitz1}
+von Landau und Lifschitz.
+
+Die Lie-Algebren sind vollständig klassifiziert worden, es gibt
+keine nicht trivialen zweidimensionalen Lie-Algebren.
+Unser dreidimensionaler Raum ist also auch in dieser Hinsicht speziell:
+es ist der kleinste Vektorraum, in dem eine nichttriviale Lie-Algebra-Struktur
+möglich ist.
+
+Die antisymmetrischen Matrizen
+\[
+\omega_{23}
+=
+\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
+\quad
+\omega_{31}
+=
+\begin{pmatrix} 0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}
+\quad
+\omega_{12}
+=
+\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}
+\]
+haben die Kommutatoren
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+[\omega_{23},\omega_{31}]
+&=
+\begin{pmatrix}
+0&0&0\\
+0&0&1\\
+0&-1&0
+\end{pmatrix}
+=
+\omega_{12}
+\\
+[\omega_{31},\omega_{12}]
+&=
+\begin{pmatrix}
+0&1&0\\
+-1&0&0\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+=
+\omega_{23}
+\\
+[\omega_{12},\omega_{23}]
+&=
+\begin{pmatrix}
+0&0&-1\\
+0&0&0\\
+1&0&0
+\end{pmatrix}
+=
+\omega_{31}
+\end{aligned}
+\label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}
+\end{equation}
+
+\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$}
+Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ besteht aus den
+spurlosen Matrizen in $M_n(\mathbb{R})$.
+Der Kommutator solcher Matrizen erfüllt
+\[
+\operatorname{Spur}([A,B])
+=
+\operatorname{Spur}(AB-BA)
+=
+\operatorname{Spur}(AB)-\operatorname{Spur}(BA)
+=
+0,
+\]
+somit ist 
+\[
+\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})
+=
+\{
+A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; \operatorname{Spur}(A)=0
+\}
+\]
+mit dem Kommutator eine Lie-Algebra.
+
+%
+% Die Lie-Algebra von U(n)
+%
+\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{U}(n)$}
+Die Lie-Gruppe
+\[
+U(n)
+=
+\{
+A\in M_n(\mathbb{C}
+\;|\;
+AA^*=I
+\}
+\]
+heisst die unitäre Gruppe, sie besteht aus den Matrizen, die
+das sesquilineare Standardskalarprodukt auf dem komplexen
+Vektorraum $\mathbb{C}^n$ invariant lassen.
+Sei eine $\gamma(t)$ ein differenzierbare Kurve in $\operatorname{U}(n)$
+derart, dass $\gamma(0)=I$.
+Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf 
+\begin{align*}
+0
+=
+\frac{d}{dt}
+\gamma(t)\gamma(t)^*
+\bigg|_{t=0}
+=
+\dot{\gamma}(0)\gamma(0)^*
++
+\gamma(0)\dot{\gamma}(0)^*
+=
+\dot{\gamma}(0)
++
+\dot{\gamma}(0)^*
+\quad\Rightarrow\quad
+\dot{\gamma}(0)&=-\dot{\gamma}(0)^*.
+A&=-A^*
+\end{align*}
+Die Lie-Algebra $\operatorname{u}(n)$ besteht daher aus den antihermiteschen
+Matrizen.
+
+Wir sollten noch verifizieren, dass der Kommutator zweier antihermiteschen
+Matrizen wieder anithermitesch ist:
+\begin{align*}
+[A,B]^*
+&=
+(AB-BA)^*
+=
+B^*A^*-A^*B^*
+=
+BA - AB
+=
+-[B,A].
+\end{align*}
+
+Eine antihermitesche Matrix erfüllt $a_{ij}=-\overline{a}_{ji}$,
+für die Diagonalelemente folgt daher $a_{ii} = -\overline{a}_{ii}$
+oder $\overline{a}_{ii}=-a_{ii}$.
+Der Realteil von $a_{ii}$ ist
+\[
+\Re a_{ii}
+=
+\frac{a_{ii}+\overline{a}_{ii}}2
+=
+0,
+\]
+die Diagonalelemente einer antihermiteschen Matrix sind daher rein
+imaginär.
+
+
+%
+% Die Lie-Algebra SU(2)
+%
+\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$}
+Die Lie-Algebra $\operatorname{su}(n)$ besteht aus den
+spurlosen antihermiteschen Matrizen.
+Sie erfüllen daher die folgenden Bedingungen:
+\[
+A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
+\qquad
+\text{mit}
+\qquad
+\left\{
+\begin{aligned}
+a+d&=0&&\Rightarrow& a=is = -d
+\\
+b^*&=-c
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+Damit hat $A$ die Form
+\begin{align*}
+A=\begin{pmatrix}
+is&u+iv\\
+-u+iv&-is
+\end{pmatrix}
+&=
+s
+\begin{pmatrix}
+i&0\\
+0&-i
+\end{pmatrix}
++
+u
+\begin{pmatrix}
+ 0&1\\
+-1&0
+\end{pmatrix}
++
+v
+\begin{pmatrix}
+0&i\\
+i&0
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+iv\underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_1}
++
+iu\underbrace{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_2}
++
+is\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_3}
+\end{align*}
+Diese Matrizen heissen die {\em Pauli-Matrizen}, sie haben die Kommutatoren
+\begin{align*}
+[\sigma_1,\sigma_2]
+&=
+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
+-
+\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+=
+2\begin{pmatrix}i&0\\0&-i \end{pmatrix}
+=
+2i\sigma_3,
+\\
+[\sigma_2,\sigma_3]
+&=
+\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
+-
+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
+=
+2
+\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}
+=
+2i\sigma_1.
+\\
+[\sigma_1,\sigma_3]
+&=
+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
+-
+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+=
+2i
+\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
+=
+2i\sigma_2,
+\end{align*}
+Bis auf eine Skalierung stimmt dies überein mit den Kommutatorprodukten
+der Matrizen $\omega_{23}$, $\omega_{31}$ und $\omega_{12}$
+in \eqref{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}.
+Die Matrizen $-\frac12i\sigma_j$ haben die Kommutatorprodukte
+\begin{align*}
+\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_1,-{\textstyle\frac12}i\sigma_2\bigr]
+&=
+-{\textstyle\frac14}[\sigma_1,\sigma_2]
+=
+-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_3
+=
+-{\textstyle\frac12}i\sigma_3
+\\
+\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_2,-{\textstyle\frac12}i\sigma_3\bigr]
+&=
+-{\textstyle\frac14}[\sigma_2,\sigma_3]
+=
+-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_1
+=
+-{\textstyle\frac12}i\sigma_1
+\\
+\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_3,-{\textstyle\frac12}i\sigma_1\bigr]
+&=
+-{\textstyle\frac14}[\sigma_3,\sigma_1]
+=
+-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_2
+=
+-{\textstyle\frac12}i\sigma_2
+\end{align*}
+Die lineare Abbildung, die
+\begin{align*}
+\omega_{23}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_1\\
+\omega_{31}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_2\\
+\omega_{12}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_3
+\end{align*}
+abbildet ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$
+auf die Lie-Algebra $\operatorname{su}(2)$.
+Die Lie-Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ und $\operatorname{SU}(2)$
+haben also die gleiche Lie-Algebra.
+
+Tatsächlich kann man Hilfe von Quaternionen die Matrix $\operatorname{SU}(2)$
+als Einheitsquaternionen beschreiben und damit eine Darstellung der
+Drehmatrizen in $\operatorname{SO}(3)$ finden.
+Dies wird in Kapitel~\ref{chapter:clifford} dargestellt.
+
+
+
+
+
-- 
cgit v1.2.1

