From 2db90bfe4b174570424c408f04000902411d8755 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Joshua Baer Date: Mon, 12 Apr 2021 21:51:55 +0200 Subject: update to current state of book --- buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex | 1294 ++++++++++++++--------------- 1 file changed, 647 insertions(+), 647 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex') diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex index cee8510..482ba6f 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex @@ -1,647 +1,647 @@ -% -% lie-algebren.tex -- Lie-Algebren -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Lie-Algebren -\label{buch:section:lie-algebren}} -\rhead{Lie-Algebren} -Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen -Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen -Vektorraum $M_n(\mathbb{R}9$ betrachtet werden können. -Die Gruppen haben damit nicht nur die algebraische Struktur einer -Matrixgruppe, sie haben auch die geometrische Struktur einer -Mannigfaltigkeit. -Insbesondere ist es sinnvoll, von Ableitungen zu sprechen. - -Eindimensionale Untergruppen einer Gruppe können auch als Kurven -innerhalb der Gruppe angesehen werden. -In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man zu jeder eindimensionalen -Untergruppe einen Vektor in $M_n(\mathbb{R})$ finden kann derart, dass -der Vektor als Tangentialvektor an diese Kurve gelten kann. -Aus einer Abbildung zwischen der Gruppe und diesen Tagentialvektoren -erhält man dann auch eine algebraische Struktur auf diesen Tangentialvektoren, -die sogenannte Lie-Algebra. -Sie ist charakteristisch für die Gruppe. -Insbesondere werden wir sehen, wie die Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ -und $\operatorname{SU}(2)$ die gleich Lie-Algebra haben und dass die -Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$ -übereinstimmt. - -% -% Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe -% -\subsection{Lie-Algebra einer Matrizengruppe -\label{buch:section:lie-algebra-einer-matrizengruppe}} -Zu jedem Tangentialvektor $A$ im Punkt $I$ einer Matrizengruppe gibt es -eine Einparameteruntergruppe, die mit Hilfe der Exponentialfunktion -$e^{At}$ konstruiert werden kann. -Für die folgende Konstruktion arbeiten wir in der Gruppe -$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, in der jede Matrix auch ein -Tangentialvektor ist. -Wir werden daraus die Lie-Klammer ableiten und später verifizieren, -dass diese auch für die Tangentialvektoren der Gruppen -$\operatorname{SO}(n)$ oder $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ funktioniert. - -\subsubsection{Lie-Klammer} -Zu zwei verschiedenen Tagentialvektoren $A\in M_n(\mathbb{R})$ und -$B\in M_n(\mathbb{R})$ gibt es zwei verschiedene Einparameteruntergruppen -$e^{At}$ und $e^{Bt}$. -Wenn die Matrizen $A$ und $B$ oder die Einparameteruntergruppen -$e^{At}$ und $e^{Bt}$ vertauschbar sind, dann stimmen -$e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ nicht überein. -Die zugehörigen Potenzreihen sind: -\begin{align*} -e^{At} -&= -I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \frac{A^3t^3}{3!} + \dots -\\ -e^{Bt} -&= -I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \frac{B^3t^3}{3!} + \dots -\\ -e^{At}e^{Bt} -&= -\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr) -\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr) -\\ -&= -I+(A+B)t + \biggl(\frac{A^2}{2!}+AB+\frac{B^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots -\\ -e^{Bt}e^{At} -&= -\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr) -\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr) -\\ -&= -I+(B+A)t + \biggl(\frac{B^2}{2!}+BA+\frac{A^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots -\intertext{% -Die beiden Kurven $e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ haben zwar den gleichen -Tangentialvektor für $t=0$, sie unterscheiden -sich aber untereinander, und sie unterscheiden sich von der -Einparameteruntergruppe von $A+B$} -e^{(A+B)t} -&= -I + (A+B)t + \frac{t^2}{2}(A^2 + AB + BA + B^2) + \ldots -\intertext{Für die Unterschiede finden wir} -e^{At}e^{Bt} - e^{(A+B)t} -&= -\biggl(AB-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2 -+\ldots -= -(AB-BA) \frac{t^2}{2} + \ldots -= -[A,B]\frac{t^2}{2}+\ldots -\\ -e^{Bt}e^{At} - e^{(A+B)t} -&= -\biggl(BA-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2 -+\ldots -= -(BA-AB) -\frac{t^2}{2} -+\ldots -= --[A,B]\frac{t^2}{2} -\\ -e^{At}e^{Bt}-e^{Bt}e^{At} -&= -(AB-BA)t^2+\ldots -= -\phantom{-}[A,B]t^2+\ldots -\end{align*} -wobei mit $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird. - -\begin{definition} -\label{buch:gruppen:def:kommutator} -Der Kommutator zweier Matrizen $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ ist die Matrix -$[A,B]=AB-BA$. -\end{definition} - -Der Kommutator ist bilinear und antisymmetrisch, da -\begin{align*} -[\lambda A+\mu B,C] -&= -\lambda AC+\mu BC-\lambda CA -\mu CB -= -\lambda[A,C]+\mu[B,C] -\\ -[A,\lambda B+\mu C] -&= -\lambda AB + \mu AC - \lambda BA - \mu CA -= -\lambda[A,B]+\mu[A,C] -\\ -[A,B] -&= -AB-BA = -(BA-AB) = -[B,A]. -\end{align*} -Aus der letzten Bedingung folgt insbesodnere $[A,A]=0$ - -Der Kommutator $[A,B]$ misst in niedrigster Ordnung den Unterschied -zwischen den $e^{At}$ und $e^{Bt}$. -Der Kommutator der Tangentialvektoren $A$ und $B$ bildet also die -Nichtkommutativität der Matrizen $e^{At}$ und $e^{Bt}$ ab. - - -\subsubsection{Die Jacobi-Identität} -Der Kommutator hat die folgende zusätzliche algebraische Eigenschaft: -\begin{align*} -[A,[B,C]] -+ -[B,[C,A]] -+ -[C,[A,B]] -&= -[A,BC-CB] -+ -[B,CA-AC] -+ -[C,AB-BA] -\\ -&=\phantom{+} -ABC-ACB-BCA+CBA -\\ -&\phantom{=}+ -BCA-BAC-CAB+ACB -\\ -&\phantom{=}+ -CAB-CBA-ABC+BAC -\\ -&=0. -\end{align*} -Diese Eigenschaft findet man auch bei anderen Strukturen, zum Beispiel -bei Vektorfeldern, die man als Differentialoperatoren auf Funktionen -betrachten kann. -Man kann dann einen Kommutator $[X,Y]$ für zwei Vektorfelder -$X$ und $Y$ definieren. -Dieser Kommutator von Vektorfeldern erfüllt ebenfalls die gleiche -Identität. - -\begin{definition} -\label{buch:gruppen:def:jacobi} -Ein bilineares Produkt $[\;,\;]\colon V\times V\to V$ auf dem Vektorraum -erfüllt die {\em Jacobi-Identität}, wenn -\[ -[u,[v,w]] + [v,[w,u]] + [w,[u,v]]=0 -\] -ist für beliebige Vektoren $u,v,w\in V$. -\end{definition} - -\subsubsection{Lie-Algebra} -Die Tangentialvektoren einer Lie-Gruppe tragen also mit dem Kommutator -eine zusätzliche Struktur, nämlich die Struktur einer Lie-Algebra. - -\begin{definition} -Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt -\[ -[\;,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v], -\] -welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi} -erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}. -\end{definition} - -Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe $G$ wird mit $LG$ bezeichnet. -$LG$ besteht aus den Tangentialvektoren im Punkt $I$. -Die Exponentialabbildung $\exp\colon LG\to G:A\mapsto e^A$ -ist eine differenzierbare Abbildung von $LG$ in die Gruppe $G$. -Insbesondere kann die Inverse der Exponentialabbildung als eine -Karte in einer Umgebung von $I$ verwendet werden. - -Für die Lie-Algebren der Matrizengruppen, die früher definiert worden -sind, verwenden wir die als Notationskonvention, dass der Name der -Lie-Algebra der mit kleinen Buchstaben geschrieben Name der Lie-Gruppe ist. -Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(n)$ ist also -$L\operatorname{SO}(n) = \operatorname{os}(n)$, -die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ ist -$L\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})=\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})$. - - -% -% Die Lie-Algebra von SO(3) -% -\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ -\label{buch:subsection:die-lie-algebra-von-so3}} -Zur Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehmatrizen gehört die Lie-Algebra -$\operatorname{so}(3)$ der antisymmetrischen $3\times 3$-Matrizen. -Solche Matrizen haben die Form -\[ -\Omega -= -\begin{pmatrix} - 0 & \omega_3&-\omega_2\\ --\omega_3& 0 & \omega_1\\ - \omega_2&-\omega_1& 0 -\end{pmatrix} -\] -Der Vektorraum $\operatorname{so}(3)$ ist also dreidimensional. - -Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $x$ ist -\[ -(I+t\Omega) -\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} -= -\begin{pmatrix} - 1 & t\omega_3&-t\omega_2\\ --t\omega_3& 1 & t\omega_1\\ - t\omega_2&-t\omega_1& 1 -\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} -= -\begin{pmatrix} -x_1-t(-\omega_3x_2+\omega_2x_3)\\ -x_2-t( \omega_3x_1-\omega_1x_3)\\ -x_3-t(-\omega_2x_1+\omega_1x_2) -\end{pmatrix} -= -x- t\begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}\times x -= -x+ tx\times \omega. -\] -Die Matrix $\Omega$ ist als die infinitesimale Version einer Drehung -um die Achse $\omega$. - -Wir können die Analogie zwischen Matrizen in $\operatorname{so}(3)$ und -Vektoren in $\mathbb R^3$ noch etwas weiter treiben. Zu jedem Vektor -in $\mathbb R^3$ konstruieren wir eine Matrix in $\operatorname{so}(3)$ -mit Hilfe der Abbildung -\[ -\mathbb R^3\to\operatorname{so}(3) -: -\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} -\mapsto -\begin{pmatrix} - 0 & v_3&-v_1\\ --v_3& 0 & v_2\\ - v_1&-v_2& 0 -\end{pmatrix}. -\] -Der Kommutator von zwei so aus Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ -konstruierten Matrizen $U$ und $V$ ist: -\begin{align*} -[U,V] -&= -UV-VU -\\ -&= -\begin{pmatrix} - 0 & u_3&-u_1\\ --u_3& 0 & u_2\\ - u_1&-u_2& 0 -\end{pmatrix} -\begin{pmatrix} - 0 & v_3&-v_1\\ --v_3& 0 & v_2\\ - v_1&-v_2& 0 -\end{pmatrix} -- -\begin{pmatrix} - 0 & v_3&-v_1\\ --v_3& 0 & v_2\\ - v_1&-v_2& 0 -\end{pmatrix} -\begin{pmatrix} - 0 & u_3&-u_1\\ --u_3& 0 & u_2\\ - u_1&-u_2& 0 -\end{pmatrix} -\\ -&= -\begin{pmatrix} -u_3v_3+u_1v_1 - u_3v_3 - u_1v_1 - & u_1v_2 - u_2v_1 - & u_3v_2 - u_2v_3 -\\ -u_2v_1 - u_1v_2 - & -u_3v_3-u_2v_2 + u_3v_3+u_2v_2 - & u_3v_1 - u_1v_3 -\\ -u_2v_3 - u_3v_2 - & u_1v_3 - u_3v_1 - &-u_1v_1-u_2v_2 u_1v_1+u_2v_2 -\end{pmatrix} -\\ -&= -\begin{pmatrix} -0 - & u_1v_2 - u_2v_1 - &-(u_2v_3-u_3v_2) -\\ --( u_1v_2 - u_2v_1) - & 0 - & u_3v_1 - u_1v_3 -\\ -u_2v_3 - u_3v_2 - &-( u_3v_1 - u_1v_3) - & 0 -\end{pmatrix} -\end{align*} -Die Matrix $[U,V]$ gehört zum Vektor $\vec u\times\vec v$. -Damit können wir aus der Jacobi-Identität jetzt folgern, dass -\[ -\vec u\times(\vec v\times w) -+ -\vec v\times(\vec w\times u) -+ -\vec w\times(\vec u\times v) -=0 -\] -für drei beliebige Vektoren $\vec u$, $\vec v$ und $\vec w$ ist. -Dies bedeutet, dass der dreidimensionale Vektorraum $\mathbb R^3$ -mit dem Vektorprodukt zu einer Lie-Algebra wird. -In der Tat verwenden einige Bücher statt der vertrauten Notation -$\vec u\times \vec v$ für das Vektorprodukt die aus der Theorie der -Lie-Algebren entlehnte Notation $[\vec u,\vec v]$, zum Beispiel -das Lehrbuch der Theoretischen Physik \cite{skript:landaulifschitz1} -von Landau und Lifschitz. - -Die Lie-Algebren sind vollständig klassifiziert worden, es gibt -keine nicht trivialen zweidimensionalen Lie-Algebren. -Unser dreidimensionaler Raum ist also auch in dieser Hinsicht speziell: -es ist der kleinste Vektorraum, in dem eine nichttriviale Lie-Algebra-Struktur -möglich ist. - -Die antisymmetrischen Matrizen -\[ -\omega_{23} -= -\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} -\quad -\omega_{31} -= -\begin{pmatrix} 0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix} -\quad -\omega_{12} -= -\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix} -\] -haben die Kommutatoren -\begin{equation} -\begin{aligned} -[\omega_{23},\omega_{31}] -&= -\begin{pmatrix} -0&0&0\\ -0&0&1\\ -0&-1&0 -\end{pmatrix} -= -\omega_{12} -\\ -[\omega_{31},\omega_{12}] -&= -\begin{pmatrix} -0&1&0\\ --1&0&0\\ -0&0&0 -\end{pmatrix} -= -\omega_{23} -\\ -[\omega_{12},\omega_{23}] -&= -\begin{pmatrix} -0&0&-1\\ -0&0&0\\ -1&0&0 -\end{pmatrix} -= -\omega_{31} -\end{aligned} -\label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren} -\end{equation} - -\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$} -Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ besteht aus den -spurlosen Matrizen in $M_n(\mathbb{R})$. -Der Kommutator solcher Matrizen erfüllt -\[ -\operatorname{Spur}([A,B]) -= -\operatorname{Spur}(AB-BA) -= -\operatorname{Spur}(AB)-\operatorname{Spur}(BA) -= -0, -\] -somit ist -\[ -\operatorname{sl}_n(\mathbb{R}) -= -\{ -A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; \operatorname{Spur}(A)=0 -\} -\] -mit dem Kommutator eine Lie-Algebra. - -% -% Die Lie-Algebra von U(n) -% -\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{U}(n)$} -Die Lie-Gruppe -\[ -U(n) -= -\{ -A\in M_n(\mathbb{C} -\;|\; -AA^*=I -\} -\] -heisst die unitäre Gruppe, sie besteht aus den Matrizen, die -das sesquilineare Standardskalarprodukt auf dem komplexen -Vektorraum $\mathbb{C}^n$ invariant lassen. -Sei eine $\gamma(t)$ ein differenzierbare Kurve in $\operatorname{U}(n)$ -derart, dass $\gamma(0)=I$. -Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf -\begin{align*} -0 -= -\frac{d}{dt} -\gamma(t)\gamma(t)^* -\bigg|_{t=0} -= -\dot{\gamma}(0)\gamma(0)^* -+ -\gamma(0)\dot{\gamma}(0)^* -= -\dot{\gamma}(0) -+ -\dot{\gamma}(0)^* -\quad\Rightarrow\quad -\dot{\gamma}(0)&=-\dot{\gamma}(0)^*. -A&=-A^* -\end{align*} -Die Lie-Algebra $\operatorname{u}(n)$ besteht daher aus den antihermiteschen -Matrizen. - -Wir sollten noch verifizieren, dass der Kommutator zweier antihermiteschen -Matrizen wieder anithermitesch ist: -\begin{align*} -[A,B]^* -&= -(AB-BA)^* -= -B^*A^*-A^*B^* -= -BA - AB -= --[B,A]. -\end{align*} - -Eine antihermitesche Matrix erfüllt $a_{ij}=-\overline{a}_{ji}$, -für die Diagonalelemente folgt daher $a_{ii} = -\overline{a}_{ii}$ -oder $\overline{a}_{ii}=-a_{ii}$. -Der Realteil von $a_{ii}$ ist -\[ -\Re a_{ii} -= -\frac{a_{ii}+\overline{a}_{ii}}2 -= -0, -\] -die Diagonalelemente einer antihermiteschen Matrix sind daher rein -imaginär. - - -% -% Die Lie-Algebra SU(2) -% -\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$} -Die Lie-Algebra $\operatorname{su}(n)$ besteht aus den -spurlosen antihermiteschen Matrizen. -Sie erfüllen daher die folgenden Bedingungen: -\[ -A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} -\qquad -\text{mit} -\qquad -\left\{ -\begin{aligned} -a+d&=0&&\Rightarrow& a=is = -d -\\ -b^*&=-c -\end{aligned} -\right. -\] -Damit hat $A$ die Form -\begin{align*} -A=\begin{pmatrix} -is&u+iv\\ --u+iv&-is -\end{pmatrix} -&= -s -\begin{pmatrix} -i&0\\ -0&-i -\end{pmatrix} -+ -u -\begin{pmatrix} - 0&1\\ --1&0 -\end{pmatrix} -+ -v -\begin{pmatrix} -0&i\\ -i&0 -\end{pmatrix} -\\ -&= -iv\underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_1} -+ -iu\underbrace{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_2} -+ -is\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_3} -\end{align*} -Diese Matrizen heissen die {\em Pauli-Matrizen}, sie haben die Kommutatoren -\begin{align*} -[\sigma_1,\sigma_2] -&= -\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} -- -\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} -= -2\begin{pmatrix}i&0\\0&-i \end{pmatrix} -= -2i\sigma_3, -\\ -[\sigma_2,\sigma_3] -&= -\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} -- -\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} -= -2 -\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix} -= -2i\sigma_1. -\\ -[\sigma_1,\sigma_3] -&= -\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} -- -\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} -= -2i -\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} -= -2i\sigma_2, -\end{align*} -Bis auf eine Skalierung stimmt dies überein mit den Kommutatorprodukten -der Matrizen $\omega_{23}$, $\omega_{31}$ und $\omega_{12}$ -in \eqref{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}. -Die Matrizen $-\frac12i\sigma_j$ haben die Kommutatorprodukte -\begin{align*} -\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_1,-{\textstyle\frac12}i\sigma_2\bigr] -&= --{\textstyle\frac14}[\sigma_1,\sigma_2] -= --{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_3 -= --{\textstyle\frac12}i\sigma_3 -\\ -\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_2,-{\textstyle\frac12}i\sigma_3\bigr] -&= --{\textstyle\frac14}[\sigma_2,\sigma_3] -= --{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_1 -= --{\textstyle\frac12}i\sigma_1 -\\ -\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_3,-{\textstyle\frac12}i\sigma_1\bigr] -&= --{\textstyle\frac14}[\sigma_3,\sigma_1] -= --{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_2 -= --{\textstyle\frac12}i\sigma_2 -\end{align*} -Die lineare Abbildung, die -\begin{align*} -\omega_{23}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_1\\ -\omega_{31}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_2\\ -\omega_{12}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_3 -\end{align*} -abbildet ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$ -auf die Lie-Algebra $\operatorname{su}(2)$. -Die Lie-Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ und $\operatorname{SU}(2)$ -haben also die gleiche Lie-Algebra. - -Tatsächlich kann man Hilfe von Quaternionen die Matrix $\operatorname{SU}(2)$ -als Einheitsquaternionen beschreiben und damit eine Darstellung der -Drehmatrizen in $\operatorname{SO}(3)$ finden. -Dies wird in Kapitel~\ref{chapter:clifford} dargestellt. - - - - - +% +% lie-algebren.tex -- Lie-Algebren +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Lie-Algebren +\label{buch:section:lie-algebren}} +\rhead{Lie-Algebren} +Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen +Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen +Vektorraum $M_n(\mathbb{R}9$ betrachtet werden können. +Die Gruppen haben damit nicht nur die algebraische Struktur einer +Matrixgruppe, sie haben auch die geometrische Struktur einer +Mannigfaltigkeit. +Insbesondere ist es sinnvoll, von Ableitungen zu sprechen. + +Eindimensionale Untergruppen einer Gruppe können auch als Kurven +innerhalb der Gruppe angesehen werden. +In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man zu jeder eindimensionalen +Untergruppe einen Vektor in $M_n(\mathbb{R})$ finden kann derart, dass +der Vektor als Tangentialvektor an diese Kurve gelten kann. +Aus einer Abbildung zwischen der Gruppe und diesen Tagentialvektoren +erhält man dann auch eine algebraische Struktur auf diesen Tangentialvektoren, +die sogenannte Lie-Algebra. +Sie ist charakteristisch für die Gruppe. +Insbesondere werden wir sehen, wie die Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ +und $\operatorname{SU}(2)$ die gleich Lie-Algebra haben und dass die +Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$ +übereinstimmt. + +% +% Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe +% +\subsection{Lie-Algebra einer Matrizengruppe +\label{buch:section:lie-algebra-einer-matrizengruppe}} +Zu jedem Tangentialvektor $A$ im Punkt $I$ einer Matrizengruppe gibt es +eine Einparameteruntergruppe, die mit Hilfe der Exponentialfunktion +$e^{At}$ konstruiert werden kann. +Für die folgende Konstruktion arbeiten wir in der Gruppe +$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, in der jede Matrix auch ein +Tangentialvektor ist. +Wir werden daraus die Lie-Klammer ableiten und später verifizieren, +dass diese auch für die Tangentialvektoren der Gruppen +$\operatorname{SO}(n)$ oder $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ funktioniert. + +\subsubsection{Lie-Klammer} +Zu zwei verschiedenen Tagentialvektoren $A\in M_n(\mathbb{R})$ und +$B\in M_n(\mathbb{R})$ gibt es zwei verschiedene Einparameteruntergruppen +$e^{At}$ und $e^{Bt}$. +Wenn die Matrizen $A$ und $B$ oder die Einparameteruntergruppen +$e^{At}$ und $e^{Bt}$ vertauschbar sind, dann stimmen +$e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ nicht überein. +Die zugehörigen Potenzreihen sind: +\begin{align*} +e^{At} +&= +I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \frac{A^3t^3}{3!} + \dots +\\ +e^{Bt} +&= +I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \frac{B^3t^3}{3!} + \dots +\\ +e^{At}e^{Bt} +&= +\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr) +\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr) +\\ +&= +I+(A+B)t + \biggl(\frac{A^2}{2!}+AB+\frac{B^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots +\\ +e^{Bt}e^{At} +&= +\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr) +\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr) +\\ +&= +I+(B+A)t + \biggl(\frac{B^2}{2!}+BA+\frac{A^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots +\intertext{% +Die beiden Kurven $e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ haben zwar den gleichen +Tangentialvektor für $t=0$, sie unterscheiden +sich aber untereinander, und sie unterscheiden sich von der +Einparameteruntergruppe von $A+B$} +e^{(A+B)t} +&= +I + (A+B)t + \frac{t^2}{2}(A^2 + AB + BA + B^2) + \ldots +\intertext{Für die Unterschiede finden wir} +e^{At}e^{Bt} - e^{(A+B)t} +&= +\biggl(AB-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2 ++\ldots += +(AB-BA) \frac{t^2}{2} + \ldots += +[A,B]\frac{t^2}{2}+\ldots +\\ +e^{Bt}e^{At} - e^{(A+B)t} +&= +\biggl(BA-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2 ++\ldots += +(BA-AB) +\frac{t^2}{2} ++\ldots += +-[A,B]\frac{t^2}{2} +\\ +e^{At}e^{Bt}-e^{Bt}e^{At} +&= +(AB-BA)t^2+\ldots += +\phantom{-}[A,B]t^2+\ldots +\end{align*} +wobei mit $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird. + +\begin{definition} +\label{buch:gruppen:def:kommutator} +Der Kommutator zweier Matrizen $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ ist die Matrix +$[A,B]=AB-BA$. +\end{definition} + +Der Kommutator ist bilinear und antisymmetrisch, da +\begin{align*} +[\lambda A+\mu B,C] +&= +\lambda AC+\mu BC-\lambda CA -\mu CB += +\lambda[A,C]+\mu[B,C] +\\ +[A,\lambda B+\mu C] +&= +\lambda AB + \mu AC - \lambda BA - \mu CA += +\lambda[A,B]+\mu[A,C] +\\ +[A,B] +&= +AB-BA = -(BA-AB) = -[B,A]. +\end{align*} +Aus der letzten Bedingung folgt insbesodnere $[A,A]=0$ + +Der Kommutator $[A,B]$ misst in niedrigster Ordnung den Unterschied +zwischen den $e^{At}$ und $e^{Bt}$. +Der Kommutator der Tangentialvektoren $A$ und $B$ bildet also die +Nichtkommutativität der Matrizen $e^{At}$ und $e^{Bt}$ ab. + + +\subsubsection{Die Jacobi-Identität} +Der Kommutator hat die folgende zusätzliche algebraische Eigenschaft: +\begin{align*} +[A,[B,C]] ++ +[B,[C,A]] ++ +[C,[A,B]] +&= +[A,BC-CB] ++ +[B,CA-AC] ++ +[C,AB-BA] +\\ +&=\phantom{+} +ABC-ACB-BCA+CBA +\\ +&\phantom{=}+ +BCA-BAC-CAB+ACB +\\ +&\phantom{=}+ +CAB-CBA-ABC+BAC +\\ +&=0. +\end{align*} +Diese Eigenschaft findet man auch bei anderen Strukturen, zum Beispiel +bei Vektorfeldern, die man als Differentialoperatoren auf Funktionen +betrachten kann. +Man kann dann einen Kommutator $[X,Y]$ für zwei Vektorfelder +$X$ und $Y$ definieren. +Dieser Kommutator von Vektorfeldern erfüllt ebenfalls die gleiche +Identität. + +\begin{definition} +\label{buch:gruppen:def:jacobi} +Ein bilineares Produkt $[\;,\;]\colon V\times V\to V$ auf dem Vektorraum +erfüllt die {\em Jacobi-Identität}, wenn +\[ +[u,[v,w]] + [v,[w,u]] + [w,[u,v]]=0 +\] +ist für beliebige Vektoren $u,v,w\in V$. +\end{definition} + +\subsubsection{Lie-Algebra} +Die Tangentialvektoren einer Lie-Gruppe tragen also mit dem Kommutator +eine zusätzliche Struktur, nämlich die Struktur einer Lie-Algebra. + +\begin{definition} +Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt +\[ +[\;,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v], +\] +welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi} +erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}. +\end{definition} + +Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe $G$ wird mit $LG$ bezeichnet. +$LG$ besteht aus den Tangentialvektoren im Punkt $I$. +Die Exponentialabbildung $\exp\colon LG\to G:A\mapsto e^A$ +ist eine differenzierbare Abbildung von $LG$ in die Gruppe $G$. +Insbesondere kann die Inverse der Exponentialabbildung als eine +Karte in einer Umgebung von $I$ verwendet werden. + +Für die Lie-Algebren der Matrizengruppen, die früher definiert worden +sind, verwenden wir die als Notationskonvention, dass der Name der +Lie-Algebra der mit kleinen Buchstaben geschrieben Name der Lie-Gruppe ist. +Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(n)$ ist also +$L\operatorname{SO}(n) = \operatorname{os}(n)$, +die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ ist +$L\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})=\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})$. + + +% +% Die Lie-Algebra von SO(3) +% +\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ +\label{buch:subsection:die-lie-algebra-von-so3}} +Zur Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehmatrizen gehört die Lie-Algebra +$\operatorname{so}(3)$ der antisymmetrischen $3\times 3$-Matrizen. +Solche Matrizen haben die Form +\[ +\Omega += +\begin{pmatrix} + 0 & \omega_3&-\omega_2\\ +-\omega_3& 0 & \omega_1\\ + \omega_2&-\omega_1& 0 +\end{pmatrix} +\] +Der Vektorraum $\operatorname{so}(3)$ ist also dreidimensional. + +Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $x$ ist +\[ +(I+t\Omega) +\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} + 1 & t\omega_3&-t\omega_2\\ +-t\omega_3& 1 & t\omega_1\\ + t\omega_2&-t\omega_1& 1 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +x_1-t(-\omega_3x_2+\omega_2x_3)\\ +x_2-t( \omega_3x_1-\omega_1x_3)\\ +x_3-t(-\omega_2x_1+\omega_1x_2) +\end{pmatrix} += +x- t\begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}\times x += +x+ tx\times \omega. +\] +Die Matrix $\Omega$ ist als die infinitesimale Version einer Drehung +um die Achse $\omega$. + +Wir können die Analogie zwischen Matrizen in $\operatorname{so}(3)$ und +Vektoren in $\mathbb R^3$ noch etwas weiter treiben. Zu jedem Vektor +in $\mathbb R^3$ konstruieren wir eine Matrix in $\operatorname{so}(3)$ +mit Hilfe der Abbildung +\[ +\mathbb R^3\to\operatorname{so}(3) +: +\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix} + 0 & v_3&-v_1\\ +-v_3& 0 & v_2\\ + v_1&-v_2& 0 +\end{pmatrix}. +\] +Der Kommutator von zwei so aus Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ +konstruierten Matrizen $U$ und $V$ ist: +\begin{align*} +[U,V] +&= +UV-VU +\\ +&= +\begin{pmatrix} + 0 & u_3&-u_1\\ +-u_3& 0 & u_2\\ + u_1&-u_2& 0 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + 0 & v_3&-v_1\\ +-v_3& 0 & v_2\\ + v_1&-v_2& 0 +\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix} + 0 & v_3&-v_1\\ +-v_3& 0 & v_2\\ + v_1&-v_2& 0 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + 0 & u_3&-u_1\\ +-u_3& 0 & u_2\\ + u_1&-u_2& 0 +\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +u_3v_3+u_1v_1 - u_3v_3 - u_1v_1 + & u_1v_2 - u_2v_1 + & u_3v_2 - u_2v_3 +\\ +u_2v_1 - u_1v_2 + & -u_3v_3-u_2v_2 + u_3v_3+u_2v_2 + & u_3v_1 - u_1v_3 +\\ +u_2v_3 - u_3v_2 + & u_1v_3 - u_3v_1 + &-u_1v_1-u_2v_2 u_1v_1+u_2v_2 +\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +0 + & u_1v_2 - u_2v_1 + &-(u_2v_3-u_3v_2) +\\ +-( u_1v_2 - u_2v_1) + & 0 + & u_3v_1 - u_1v_3 +\\ +u_2v_3 - u_3v_2 + &-( u_3v_1 - u_1v_3) + & 0 +\end{pmatrix} +\end{align*} +Die Matrix $[U,V]$ gehört zum Vektor $\vec u\times\vec v$. +Damit können wir aus der Jacobi-Identität jetzt folgern, dass +\[ +\vec u\times(\vec v\times w) ++ +\vec v\times(\vec w\times u) ++ +\vec w\times(\vec u\times v) +=0 +\] +für drei beliebige Vektoren $\vec u$, $\vec v$ und $\vec w$ ist. +Dies bedeutet, dass der dreidimensionale Vektorraum $\mathbb R^3$ +mit dem Vektorprodukt zu einer Lie-Algebra wird. +In der Tat verwenden einige Bücher statt der vertrauten Notation +$\vec u\times \vec v$ für das Vektorprodukt die aus der Theorie der +Lie-Algebren entlehnte Notation $[\vec u,\vec v]$, zum Beispiel +das Lehrbuch der Theoretischen Physik \cite{skript:landaulifschitz1} +von Landau und Lifschitz. + +Die Lie-Algebren sind vollständig klassifiziert worden, es gibt +keine nicht trivialen zweidimensionalen Lie-Algebren. +Unser dreidimensionaler Raum ist also auch in dieser Hinsicht speziell: +es ist der kleinste Vektorraum, in dem eine nichttriviale Lie-Algebra-Struktur +möglich ist. + +Die antisymmetrischen Matrizen +\[ +\omega_{23} += +\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} +\quad +\omega_{31} += +\begin{pmatrix} 0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix} +\quad +\omega_{12} += +\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix} +\] +haben die Kommutatoren +\begin{equation} +\begin{aligned} +[\omega_{23},\omega_{31}] +&= +\begin{pmatrix} +0&0&0\\ +0&0&1\\ +0&-1&0 +\end{pmatrix} += +\omega_{12} +\\ +[\omega_{31},\omega_{12}] +&= +\begin{pmatrix} +0&1&0\\ +-1&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} += +\omega_{23} +\\ +[\omega_{12},\omega_{23}] +&= +\begin{pmatrix} +0&0&-1\\ +0&0&0\\ +1&0&0 +\end{pmatrix} += +\omega_{31} +\end{aligned} +\label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren} +\end{equation} + +\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$} +Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ besteht aus den +spurlosen Matrizen in $M_n(\mathbb{R})$. +Der Kommutator solcher Matrizen erfüllt +\[ +\operatorname{Spur}([A,B]) += +\operatorname{Spur}(AB-BA) += +\operatorname{Spur}(AB)-\operatorname{Spur}(BA) += +0, +\] +somit ist +\[ +\operatorname{sl}_n(\mathbb{R}) += +\{ +A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; \operatorname{Spur}(A)=0 +\} +\] +mit dem Kommutator eine Lie-Algebra. + +% +% Die Lie-Algebra von U(n) +% +\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{U}(n)$} +Die Lie-Gruppe +\[ +U(n) += +\{ +A\in M_n(\mathbb{C} +\;|\; +AA^*=I +\} +\] +heisst die unitäre Gruppe, sie besteht aus den Matrizen, die +das sesquilineare Standardskalarprodukt auf dem komplexen +Vektorraum $\mathbb{C}^n$ invariant lassen. +Sei eine $\gamma(t)$ ein differenzierbare Kurve in $\operatorname{U}(n)$ +derart, dass $\gamma(0)=I$. +Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf +\begin{align*} +0 += +\frac{d}{dt} +\gamma(t)\gamma(t)^* +\bigg|_{t=0} += +\dot{\gamma}(0)\gamma(0)^* ++ +\gamma(0)\dot{\gamma}(0)^* += +\dot{\gamma}(0) ++ +\dot{\gamma}(0)^* +\quad\Rightarrow\quad +\dot{\gamma}(0)&=-\dot{\gamma}(0)^*. +A&=-A^* +\end{align*} +Die Lie-Algebra $\operatorname{u}(n)$ besteht daher aus den antihermiteschen +Matrizen. + +Wir sollten noch verifizieren, dass der Kommutator zweier antihermiteschen +Matrizen wieder anithermitesch ist: +\begin{align*} +[A,B]^* +&= +(AB-BA)^* += +B^*A^*-A^*B^* += +BA - AB += +-[B,A]. +\end{align*} + +Eine antihermitesche Matrix erfüllt $a_{ij}=-\overline{a}_{ji}$, +für die Diagonalelemente folgt daher $a_{ii} = -\overline{a}_{ii}$ +oder $\overline{a}_{ii}=-a_{ii}$. +Der Realteil von $a_{ii}$ ist +\[ +\Re a_{ii} += +\frac{a_{ii}+\overline{a}_{ii}}2 += +0, +\] +die Diagonalelemente einer antihermiteschen Matrix sind daher rein +imaginär. + + +% +% Die Lie-Algebra SU(2) +% +\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$} +Die Lie-Algebra $\operatorname{su}(n)$ besteht aus den +spurlosen antihermiteschen Matrizen. +Sie erfüllen daher die folgenden Bedingungen: +\[ +A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} +\qquad +\text{mit} +\qquad +\left\{ +\begin{aligned} +a+d&=0&&\Rightarrow& a=is = -d +\\ +b^*&=-c +\end{aligned} +\right. +\] +Damit hat $A$ die Form +\begin{align*} +A=\begin{pmatrix} +is&u+iv\\ +-u+iv&-is +\end{pmatrix} +&= +s +\begin{pmatrix} +i&0\\ +0&-i +\end{pmatrix} ++ +u +\begin{pmatrix} + 0&1\\ +-1&0 +\end{pmatrix} ++ +v +\begin{pmatrix} +0&i\\ +i&0 +\end{pmatrix} +\\ +&= +iv\underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_1} ++ +iu\underbrace{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_2} ++ +is\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_3} +\end{align*} +Diese Matrizen heissen die {\em Pauli-Matrizen}, sie haben die Kommutatoren +\begin{align*} +[\sigma_1,\sigma_2] +&= +\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} += +2\begin{pmatrix}i&0\\0&-i \end{pmatrix} += +2i\sigma_3, +\\ +[\sigma_2,\sigma_3] +&= +\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} += +2 +\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix} += +2i\sigma_1. +\\ +[\sigma_1,\sigma_3] +&= +\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} += +2i +\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} += +2i\sigma_2, +\end{align*} +Bis auf eine Skalierung stimmt dies überein mit den Kommutatorprodukten +der Matrizen $\omega_{23}$, $\omega_{31}$ und $\omega_{12}$ +in \eqref{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}. +Die Matrizen $-\frac12i\sigma_j$ haben die Kommutatorprodukte +\begin{align*} +\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_1,-{\textstyle\frac12}i\sigma_2\bigr] +&= +-{\textstyle\frac14}[\sigma_1,\sigma_2] += +-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_3 += +-{\textstyle\frac12}i\sigma_3 +\\ +\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_2,-{\textstyle\frac12}i\sigma_3\bigr] +&= +-{\textstyle\frac14}[\sigma_2,\sigma_3] += +-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_1 += +-{\textstyle\frac12}i\sigma_1 +\\ +\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_3,-{\textstyle\frac12}i\sigma_1\bigr] +&= +-{\textstyle\frac14}[\sigma_3,\sigma_1] += +-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_2 += +-{\textstyle\frac12}i\sigma_2 +\end{align*} +Die lineare Abbildung, die +\begin{align*} +\omega_{23}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_1\\ +\omega_{31}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_2\\ +\omega_{12}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_3 +\end{align*} +abbildet ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$ +auf die Lie-Algebra $\operatorname{su}(2)$. +Die Lie-Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ und $\operatorname{SU}(2)$ +haben also die gleiche Lie-Algebra. + +Tatsächlich kann man Hilfe von Quaternionen die Matrix $\operatorname{SU}(2)$ +als Einheitsquaternionen beschreiben und damit eine Darstellung der +Drehmatrizen in $\operatorname{SO}(3)$ finden. +Dies wird in Kapitel~\ref{chapter:clifford} dargestellt. + + + + + -- cgit v1.2.1