From 0a3486fa2ae398bb113053ad0823cf59c4a3b1eb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 27 Mar 2021 20:33:43 +0100 Subject: new images --- buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex | 255 ++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 255 insertions(+) (limited to 'buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex') diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex index 69d4b1d..6c6b74b 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex @@ -6,3 +6,258 @@ \section{Lie-Algebren \label{buch:section:lie-algebren}} \rhead{Lie-Algebren} +Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen +Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen +Vektorraum $M_n(\mathbb{R}9$ betrachtet werden können. +Die Gruppen haben damit nicht nur die algebraische Struktur einer +Matrixgruppe, sie haben auch die geometrische Struktur einer +Mannigfaltigkeit. +Insbesondere ist es sinnvoll, von Ableitungen zu sprechen. + +Eindimensionale Untergruppen einer Gruppe können auch als Kurven +innerhalb der Gruppe angesehen werden. +In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man zu jeder eindimensionalen +Untergruppe einen Vektor in $M_n(\mathbb{R})$ finden kann derart, dass +der Vektor als Tangentialvektor an diese Kurve gelten kann. +Aus einer Abbildung zwischen der Gruppe und diesen Tagentialvektoren +erhält man dann auch eine algebraische Struktur auf diesen Tangentialvektoren, +die sogenannte Lie-Algebra. +Sie ist charakteristisch für die Gruppe. +Insbesondere werden wir sehen, wie die Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ +und $\operatorname{SU}(2)$ die gleich Lie-Algebra haben und dass die +Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$ +übereinstimmt. + +% +% Tangentialvektoren und SO(2) +% +\subsection{Tangentialvektoren und $\operatorname{SO}(2)$} +Die Drehungen in der Ebene können reell als Matrizen der Form +\[ +D_{\alpha} += +\begin{pmatrix} +\cos\alpha&-\sin\alpha\\ +\sin\alpha& \cos\alpha +\end{pmatrix} +\] +als eidimensionale Kurve innerhalb von $M_2(\mathbb{R})$ beschrieben +werden. +Alternativ können Drehungen um den Winkel $\alpha$ als mit Hilfe von +der Abbildung +$ +\alpha\mapsto e^{i\alpha} +$ +als komplexe Zahlen vom Betrag $1$ beschrieben werden. +Dies sind zwei verschiedene Parametrisierungen der gleichen +geometrischen Transformation. + +Die Ableitung nach $\alpha$ ist $ie^{i\alpha}$, der Tangentialvektor +im Punkt $e^{i\alpha}$ ist also $ie^{i\alpha}$. +Die Multiplikation mit $i$ ist die Drehung um $90^\circ$, der Tangentialvektor +ist also der um $90^\circ$ gedrehte Ortsvektor zum Punkt auf der Kurve. + +In der Darstelllung als $2\times 2$-Matrix ist die Ableitung +\[ +\frac{d}{d\alpha}D_\alpha += +\frac{d}{d\alpha} +\begin{pmatrix} +\cos\alpha& -\sin\alpha\\ +\sin\alpha& \cos\alpha +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +-\sin\alpha & -\cos\alpha \\ + \cos\alpha & -\sin\alpha +\end{pmatrix}. +\] +Die rechte Seite kann wieder mit der Drehmatrix $D_\alpha$ geschrieben +werden, es ist nämlich +\[ +\frac{d}{d\alpha}D_\alpha += +\begin{pmatrix} +-\sin\alpha & -\cos\alpha \\ + \cos\alpha & -\sin\alpha +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +\cos\alpha & -\sin\alpha\\ +\sin\alpha & \cos\alpha +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +0&-1\\ +1& 0 +\end{pmatrix} += +D_\alpha J. +\] +Der Tangentialvektor an die Kurve $\alpha\mapsto D_\alpha$ innerhalb +$M_2(\mathbb{R})$ im Punkt $D_\alpha$ ist also die Matrix +$JD_\alpha$. +Die Matrix $J$ ist die Drehung um $90^\circ$, denn $J=D_{\frac{\pi}2}$. +Der Zusammenhang zwischen dem Punkt $D_\alpha$ und dem Tangentialvektor +ist also analog zur Beschreibug mit komplexen Zahlen. + +Im Komplexen vermittelt die Exponentialfunktion den Zusammenhang zwischen +dem Winkel $\alpha$ und dre Drehung $e^{i\alpha}$. +Der Grund dafür ist natürlich die Differentialgleichung +\[ +\frac{d}{d\alpha} z(\alpha) = iz(\alpha). +\] +Die analoge Differentialgleichung +\[ +\frac{d}{d\alpha} D_\alpha = J D_\alpha +\] +führt auf die Matrix-Exponentialreihe +\begin{align*} +D_\alpha += +\exp (J\alpha) +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(J\alpha)^k}{k!} += +\biggl( +1-\frac{\alpha^2}{2!} + \frac{\alpha^4}{4!} -\frac{\alpha^6}{6!}+\dots +\biggr) ++ +J\biggl( +\alpha - \frac{\alpha^3}{3!} ++ \frac{\alpha^5}{5!} +- \frac{\alpha^7}{7!}+\dots +\biggr) +\\ +&= +I\cos\alpha ++ +J\sin\alpha, +\end{align*} +welche der Eulerschen Formel $e^{i\alpha} = \cos\alpha + i \sin\alpha$ +analog ist. + +In diesem Beispiel gibt es nur eine Tangentialrichtung und alle in Frage +kommenden Matrizen vertauschen miteinander. +Es ist daher nicht damit zu rechnen, dass sich eine interessante +Algebrastruktur für die Ableitungen konstruieren lässt. + +% +% Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe +% +\subsection{Lie-Algebra einer Matrizengruppe} +Das eindimensionale Beispiel $\operatorname{SO}(2)$ hat gezeigt, dass +die Tangentialvektoren in einem beliebigen Punkt $D_\alpha$ aus dem +Tangentialvektor im Punkt $I$ durch Anwendung der Drehung hervorgehen, +die $I$ in $D_\alpha$ abbildet. +Die Drehungen einer eindimensionalen Untergruppe transportieren daher +den Tangentialvektor in $I$ entlang der Kurve auf jeden beliebigen +anderen Punkt. +Zu jedem Tangentialvektor im Punkt $I$ dürfte es daher genau eine +eindimensionale Untergruppe geben. + +Sei die Abbildung $\varrho\colon\mathbb{R}\to G$ eine Einparameter-Untergruppe +von $G\subset M_n(\mathbb{R})$. +Durch Ableitung der Gleichung $\varrho(t+x) = \varrho(t)\varrho(x)$ nach +$x$ folgt die Differentialgleichung +\[ +\varrho'(t) += +\frac{d}{dx}\varrho(t+x)\bigg|_{x=0} += +\varrho(t) \frac{d}{dx}\varrho(0)\bigg|_{x=0} += +\varrho(t) \varrho'(0). +\] +Der Tangentialvektor in $\varrho'(t)$ in $\varrho(t)$ ist daher +der Tangentialvektor $\varrho'(0)$ in $I$ transportiert in den Punkt +$\varrho(t)$ mit Hilfe der Matrix $\varrho(t)$. + +Aus der Differentialgleichung folgt auch, dass +\[ +\varrho(t) = \exp (t\varrho'(0)). +\] +Zu einem Tangentialvektor in $I$ kann man also immer die +Einparameter-Untergruppe mit Hilfe der Differentialgleichung +oder der expliziten Exponentialreihe rekonstruieren. + +Die eindimensionale Gruppe $\operatorname{SO}(2)$ ist abelsch und +hat einen eindimensionalen Tangentialraum, man kann also nicht mit +einer interessanten Algebrastruktur rechnen. +Für eine höherdimensionale, nichtabelsche Gruppe sollte sich aus +der Tatsache, dass es verschiedene eindimensionale Untergruppen gibt, +deren Elemente nicht mit den Elemente einer anderen solchen Gruppe +vertauschen, eine interessante Algebra konstruieren lassen, deren +Struktur die Nichtvertauschbarkeit wiederspiegelt. + +Seien also $A$ und $B$ Tangentialvektoren einer Matrizengruppe $G$, +die zu den Einparameter-Untergruppen $\varphi(t)=\exp At$ und +$\varrho(t)=\exp Bt$ gehören. +Insbesondere gilt $\varphi'(0)=A$ und $\varrho'(0)=B$. +Das Produkt $\pi(t)=\varphi(t)\varrho(t)$ ist allerdings nicht notwendigerweise +eine Einparametergruppe, denn dazu müsste gelten +\begin{align*} +\pi(t+s) +&= +\varphi(t+s)\varrho(t+s) += +\varphi(t)\varphi(s)\varrho(t)\varrho(s) +\\ += +\pi(t)\pi(s) +&= +\varphi(t)\varrho(t)\varphi(s)\varrho(s) +\end{align*} +Durch Multiplikation von links mit $\varphi(t)^{-1}$ und +mit $\varrho(s)^{-1}$ von rechts folgt, dass dies genau dann gilt, +wenn +\[ +\varphi(s)\varrho(t)=\varrho(t)\varphi(s). +\] +Die beiden Seiten dieser Gleichung sind erneut verschiedene Punkte +in $G$. +Durch Multiplikation mit $\varrho(t)^{-1}$ von links und mit +$\varphi(s)^{-1}$ von rechts erhält man die äquivaliente +Bedingung +\begin{equation} +\varrho(-t)\varphi(s)\varrho(t)\varphi(-s)=I. +\label{buch:lie:konjugation} +\end{equation} +Ist die Gruppe $G$ nicht kommutativ, kann man nicht +annehmen, dass diese Bedingung erfüllt ist. + +Aus \eqref{buch:lie:konjugation} erhält man jetzt eine Kurve +\[ +t \mapsto \gamma(t,s) = \varrho(-t)\varphi(s)\varrho(t)\varphi(-s) \in G +\] +in der Gruppe, die für $t=0$ durch $I$ geht. +Ihren Tangentialvektor kann man durch Ableitung bekommen: +\begin{align*} +\frac{d}{dt}\gamma(t,s) +&= +-\varrho'(-t)\varphi(s)\varrho(t)\varphi(-s) ++\varrho(-t)\varphi(s)\varrho'(t)\varphi(-t) +\\ +\frac{d}{dt}\gamma(t)\bigg|_{t=0} +&= +-B\varphi(s) + \varphi(-s)B +\end{align*} +Durch erneute Ableitung nach $s$ erhält man dann +\begin{align*} +\frac{d}{ds} \frac{d}{dt}\gamma(t,s)\bigg|_{t=0} +&= +-B\varphi'(s) - \varphi(-s)B +\end{align*} + +% +% Die Lie-Algebra von SO(3) +% +\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$} + +% +% Die Lie-Algebra von SU(2) +% +\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$} + + + + -- cgit v1.2.1