From 15b6405261f267d24c509ed8f356d4eaffda1794 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 9 Sep 2021 16:25:47 +0200
Subject: Kapitel 7

---
 buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex | 289 ++++++++++++++++++------------
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--- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
@@ -8,7 +8,7 @@
 \rhead{Lie-Algebren}
 Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen
 Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen
-Vektorraum $M_n(\mathbb{R}9$ betrachtet werden können.
+Vektorraum $M_n(\mathbb{R})$ betrachtet werden können.
 Die Gruppen haben damit nicht nur die algebraische Struktur einer
 Matrixgruppe, sie haben auch die geometrische Struktur einer 
 Mannigfaltigkeit.
@@ -27,6 +27,7 @@ Insbesondere werden wir sehen, wie die Gruppen $\operatorname{SO}(3)$
 und $\operatorname{SU}(2)$ die gleich Lie-Algebra haben und dass die
 Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$
 übereinstimmt.
+\index{Vektorprodukt}%
 
 %
 % Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe
@@ -78,12 +79,12 @@ I+(B+A)t + \biggl(\frac{B^2}{2!}+BA+\frac{A^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots
 \intertext{%
 Die beiden Kurven $e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ haben zwar den gleichen
 Tangentialvektor für $t=0$, sie unterscheiden
-sich aber untereinander, und sie unterscheiden sich von der
-Einparameteruntergruppe von $A+B$}
+sich aber für $t>0$ und sie unterscheiden sich von der
+Einparameteruntergruppe}
 e^{(A+B)t}
 &=
 I + (A+B)t + \frac{t^2}{2}(A^2 + AB + BA + B^2) + \ldots
-\intertext{Für die Unterschiede finden wir}
+\intertext{von $A+B$. Für die Unterschiede finden wir}
 e^{At}e^{Bt} - e^{(A+B)t}
 &=
 \biggl(AB-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2
@@ -110,15 +111,19 @@ e^{At}e^{Bt}-e^{Bt}e^{At}
 =
 \phantom{-}[A,B]t^2+\ldots
 \end{align*}
-wobei mit $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird.
+wobei $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird.
 
 \begin{definition}
 \label{buch:gruppen:def:kommutator}
-Der Kommutator zweier Matrizen $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ ist die Matrix
+Der {\em Kommutator} zweier Matrizen $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ ist die Matrix
 $[A,B]=AB-BA$.
+\index{Kommutator}%
+\index{Lie-Klammer}%
 \end{definition}
 
 Der Kommutator ist bilinear und antisymmetrisch, da
+\index{bilinear}%
+\index{antisymmetrisch}%
 \begin{align*}
 [\lambda A+\mu B,C]
 &=
@@ -139,11 +144,13 @@ AB-BA = -(BA-AB) = -[B,A].
 Aus der letzten Bedingung folgt insbesodnere $[A,A]=0$
 
 Der Kommutator $[A,B]$ misst in niedrigster Ordnung den Unterschied
-zwischen den $e^{At}$ und $e^{Bt}$.
+zwischen den
+$ e^{At} e^{Bt} $
+und
+$ e^{Bt} e^{At} $.
 Der Kommutator der Tangentialvektoren $A$ und $B$ bildet also die
 Nichtkommutativität der Matrizen $e^{At}$ und $e^{Bt}$ ab.
 
-
 \subsubsection{Die Jacobi-Identität}
 Der Kommutator hat die folgende zusätzliche algebraische Eigenschaft:
 \begin{align*}
@@ -182,6 +189,7 @@ Identität.
 \label{buch:gruppen:def:jacobi}
 Ein bilineares Produkt $[\;,\;]\colon V\times V\to V$ auf dem Vektorraum
 erfüllt die {\em Jacobi-Identität}, wenn 
+\index{Jacobi-Identität}%
 \[
 [u,[v,w]] + [v,[w,u]] + [w,[u,v]]=0
 \]
@@ -199,23 +207,26 @@ Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt
 \]
 welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi}
 erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}.
+\index{Lie-Algebra}%
 \end{definition}
 
 Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe $G$ wird mit $LG$ bezeichnet.
 $LG$ besteht aus den Tangentialvektoren im Punkt $I$.
-Die Exponentialabbildung $\exp\colon LG\to G:A\mapsto e^A$
+Die {\em Exponentialabbildung} $\exp\colon LG\to G:A\mapsto e^A$
+\index{Exponentialabbildung}%
 ist eine differenzierbare Abbildung von $LG$ in die Gruppe $G$.
 Insbesondere kann die Inverse der Exponentialabbildung als eine
 Karte in einer Umgebung von $I$ verwendet werden.
 
 Für die Lie-Algebren der Matrizengruppen, die früher definiert worden
-sind, verwenden wir die als Notationskonvention, dass der Name der
+sind, verwenden wir die Notationskonvention, dass der Name der
 Lie-Algebra der mit kleinen Buchstaben geschrieben Name der Lie-Gruppe ist.
 Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(n)$ ist also
-$L\operatorname{SO}(n) = \operatorname{os}(n)$,
+$L\operatorname{SO}(n) = \operatorname{so}(n)$,
+\index{so(n)@$\operatorname{so}(n)$}%
 die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ ist
 $L\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})=\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})$.
-
+\index{sln(r)@$\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})$}%
 
 %
 % Die Lie-Algebra von SO(3)
@@ -229,34 +240,126 @@ Solche Matrizen haben die Form
 \Omega
 =
 \begin{pmatrix}
-    0    & \omega_3&-\omega_2\\
--\omega_3&   0     & \omega_1\\
- \omega_2&-\omega_1&    0
+    0    &-\omega_3& \omega_2\\
+ \omega_3&   0     &-\omega_1\\
+-\omega_2& \omega_1&    0
 \end{pmatrix}
 \]
+Die antisymmetrischen Matrizen
+\[
+\omega_{23}
+=
+\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix},
+\quad
+\omega_{31}
+=
+\begin{pmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix},
+\quad
+\omega_{12}
+=
+\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
+\]
+bilden eine Basis für $\operatorname{so}(3)$, man kann
+\[
+\Omega
+=
+\omega_1\omega_{23}
++
+\omega_2\omega_{31}
++
+\omega_3\omega_{12}
+\]
+schreiben.
 Der Vektorraum $\operatorname{so}(3)$ ist also dreidimensional.
 
-Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $x$ ist
+Die Kommutatoren der Basisvektoren sind
+\begin{equation}
+\setlength\arraycolsep{4pt}
+\begin{aligned}
+[\omega_{23},\omega_{31}]
+&=
+\begin{pmatrix}
+0&-1&0\\
+1&0&0\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+=
+\omega_{12},
+%\\
+&
+[\omega_{31},\omega_{12}]
+&=
+\begin{pmatrix}
+0&0&0\\
+0&0&-1\\
+0&1&0
+\end{pmatrix}
+=
+\omega_{23},
+%\\
+&
+[\omega_{12},\omega_{23}]
+&=
+\begin{pmatrix}
+0&0&1\\
+0&0&0\\
+-1&0&0
+\end{pmatrix}
+=
+\omega_{31},
+\end{aligned}
+\label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}
+\end{equation}
+wie man durch direkte Rechnung bestätigt.
+Diese Regeln stimmen mit den Vektorprodukten der Standardbasisvektoren
+in $\mathbb{R}^3$ überein.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/nichtkomm.pdf}
+\caption{Der Kommutator zweier Drehungen um die $x_1$ und $x_2$
+Achse ist eine Drehung um die $x_3$-Achse.
+\label{buch:lie:fig:kommutator}}
+\end{figure}
+Abbildung~\ref{buch:lie:fig:kommutator} illustriert, wie der
+Kommutator die Nichtkommutativität der Gruppe $\operatorname{SO}(3)$
+wiedergibt.
+Die Matrix $\omega_{23}$ erzeugt eine Drehung $R_{x_1,\alpha}$
+um die $x_1$-Achse,
+die Matrix $\omega_{31}$ eine Drehung $R_{x_2,\beta}$ um die $x_2$ Achse.
+Der Kommutator $[\omega_{23},\omega_{31}]=\omega_{12}$ beschreibt in
+niedrigster Ordnung den Unterschied, der entsteht, wenn man die
+beiden Drehungen in verschiedenen Reihenfolgen ausführt.
+Dies ist eine Drehung $R_{x_3,\gamma}$ um die $x_3$-Achse.
+
+Aus der Rodriguez-Formel~\ref{buch:lie:eqn:rodrigues} wissen wir
+bereits, dass die Ableitung der Drehung das Vektorprodukt
+$\vec{\omega}\times\vec{x}$ ist.
+Dieses kann jedoch auch als
+$\Omega\vec{x} = \vec{omega}\times\vec{x}$
+ausgedrückt werden.
+
+Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $\vec{x}$ ist
 \[
 (I+t\Omega)
 \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
-    1     & t\omega_3&-t\omega_2\\
--t\omega_3&   1      & t\omega_1\\
- t\omega_2&-t\omega_1&    1
+    1     &-t\omega_3& t\omega_2\\
+ t\omega_3&   1      &-t\omega_1\\
+-t\omega_2& t\omega_1&    1
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
-x_1-t(-\omega_3x_2+\omega_2x_3)\\
-x_2-t( \omega_3x_1-\omega_1x_3)\\
-x_3-t(-\omega_2x_1+\omega_1x_2)
+x_1+t(-\omega_3x_2+\omega_2x_3)\\
+x_2+t( \omega_3x_1-\omega_1x_3)\\
+x_3+t(-\omega_2x_1+\omega_1x_2)
 \end{pmatrix}
 =
-x- t\begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}\times x
+\vec{x}+ t\begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}\times x
 =
-x+ tx\times \omega.
+\vec{x}+ t\vec{\omega}\times \vec{x}.
 \]
 Die Matrix $\Omega$ ist als die infinitesimale Version einer Drehung
 um die Achse $\omega$.
@@ -271,9 +374,9 @@ mit Hilfe der Abbildung
 \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}
 \mapsto
 \begin{pmatrix}
-  0 & v_3&-v_1\\
--v_3&  0 & v_2\\
- v_1&-v_2&  0
+  0 &-v_3& v_2\\
+ v_3&  0 &-v_1\\
+-v_2& v_1&  0
 \end{pmatrix}.
 \]
 Der Kommutator von zwei so aus Vektoren $\vec u$ und $\vec v$
@@ -285,56 +388,56 @@ UV-VU
 \\
 &=
 \begin{pmatrix}
-  0 & u_3&-u_1\\
--u_3&  0 & u_2\\
- u_1&-u_2&  0
+  0 &-u_3& u_2\\
+ u_3&  0 &-u_1\\
+-u_2& u_1&  0
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
-  0 & v_3&-v_1\\
--v_3&  0 & v_2\\
- v_1&-v_2&  0
+  0 &-v_3& v_2\\
+ v_3&  0 &-v_1\\
+-v_2& v_1&  0
 \end{pmatrix}
 -
 \begin{pmatrix}
-  0 & v_3&-v_1\\
--v_3&  0 & v_2\\
- v_1&-v_2&  0
+  0 &-v_3& v_2\\
+ v_3&  0 &-v_1\\
+-v_2& v_1&  0
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
-  0 & u_3&-u_1\\
--u_3&  0 & u_2\\
- u_1&-u_2&  0
+  0 &-u_3& u_2\\
+ u_3&  0 &-u_1\\
+-u_2& u_1&  0
 \end{pmatrix}
 \\
 &=
 \begin{pmatrix}
-u_3v_3+u_1v_1 - u_3v_3 - u_1v_1
-        & u_1v_2 - u_2v_1
-                & u_3v_2 - u_2v_3
-\\
-u_2v_1 - u_1v_2
-        & -u_3v_3-u_2v_2 + u_3v_3+u_2v_2
+-u_3v_3-u_2v_2 + u_3v_3 + u_2v_2
+        & u_2v_1 - u_1v_2
                 & u_3v_1 - u_1v_3
 \\
-u_2v_3 - u_3v_2
-        & u_1v_3 - u_3v_1
-                &-u_1v_1-u_2v_2 u_1v_1+u_2v_2
+u_1v_2 - u_2v_1
+        & -u_3v_3-u_1v_1 + u_3v_3+u_1v_1
+                & u_3v_2 - u_2v_3
+\\
+u_1v_3 - u_3v_1
+        & u_2v_3 - u_3v_2
+                &-u_2v_2-u_1v_1+ u_2v_2+u_1v_1
 \end{pmatrix}
 \\
 &=
 \begin{pmatrix}
 0
-        & u_1v_2 - u_2v_1
-                &-(u_2v_3-u_3v_2)
+        &-(u_1v_2 - u_2v_1)
+                &u_3v_1-u_1v_3
 \\
--( u_1v_2 - u_2v_1)
+u_1v_2 - u_2v_1
         & 0
-                & u_3v_1 - u_1v_3
+                &-(u_2v_3 - u_3v_2)
 \\
-u_2v_3 - u_3v_2
-        &-( u_3v_1 - u_1v_3)
+-(u_3v_1 - u_1v_3)
+        &   u_3v_2 - u_2v_3
                 & 0
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}.
 \end{align*}
 Die Matrix $[U,V]$ gehört zum Vektor $\vec u\times\vec v$.
 Damit können wir aus der Jacobi-Identität jetzt folgern, dass
@@ -349,10 +452,10 @@ Damit können wir aus der Jacobi-Identität jetzt folgern, dass
 für drei beliebige Vektoren $\vec u$, $\vec v$ und $\vec w$ ist.
 Dies bedeutet, dass der dreidimensionale Vektorraum $\mathbb R^3$
 mit dem Vektorprodukt zu einer Lie-Algebra wird.
-In der Tat verwenden einige Bücher statt der vertrauten Notation
+In der Tat verwenden einige Lehrbücher statt der vertrauten Notation
 $\vec u\times \vec v$ für das Vektorprodukt die aus der Theorie der
 Lie-Algebren entlehnte Notation $[\vec u,\vec v]$, zum Beispiel
-das Lehrbuch der Theoretischen Physik \cite{skript:landaulifschitz1}
+auch das Lehrbuch der Theoretischen Physik \cite{skript:landaulifschitz1}
 von Landau und Lifschitz.
 
 Die Lie-Algebren sind vollständig klassifiziert worden, es gibt
@@ -361,56 +464,6 @@ Unser dreidimensionaler Raum ist also auch in dieser Hinsicht speziell:
 es ist der kleinste Vektorraum, in dem eine nichttriviale Lie-Algebra-Struktur
 möglich ist.
 
-Die antisymmetrischen Matrizen
-\[
-\omega_{23}
-=
-\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
-\quad
-\omega_{31}
-=
-\begin{pmatrix} 0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}
-\quad
-\omega_{12}
-=
-\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}
-\]
-haben die Kommutatoren
-\begin{equation}
-\begin{aligned}
-[\omega_{23},\omega_{31}]
-&=
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&1\\
-0&-1&0
-\end{pmatrix}
-=
-\omega_{12}
-\\
-[\omega_{31},\omega_{12}]
-&=
-\begin{pmatrix}
-0&1&0\\
--1&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-=
-\omega_{23}
-\\
-[\omega_{12},\omega_{23}]
-&=
-\begin{pmatrix}
-0&0&-1\\
-0&0&0\\
-1&0&0
-\end{pmatrix}
-=
-\omega_{31}
-\end{aligned}
-\label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}
-\end{equation}
-
 \subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$}
 Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ besteht aus den
 spurlosen Matrizen in $M_n(\mathbb{R})$.
@@ -448,13 +501,16 @@ A\in M_n(\mathbb{C}
 AA^*=I
 \}
 \]
+\index{unitäre Gruppe}%
+\index{Gruppe, unitär}%
+\index{U(n)@$\operatorname{U}(n)$}%
 heisst die unitäre Gruppe, sie besteht aus den Matrizen, die
 das sesquilineare Standardskalarprodukt auf dem komplexen
 Vektorraum $\mathbb{C}^n$ invariant lassen.
 Sei eine $\gamma(t)$ ein differenzierbare Kurve in $\operatorname{U}(n)$
 derart, dass $\gamma(0)=I$.
 Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf 
-\begin{align*}
+\begin{equation*}
 0
 =
 \frac{d}{dt}
@@ -469,14 +525,17 @@ Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf
 +
 \dot{\gamma}(0)^*
 \quad\Rightarrow\quad
-\dot{\gamma}(0)&=-\dot{\gamma}(0)^*.
-A&=-A^*
-\end{align*}
+\dot{\gamma}(0)=-\dot{\gamma}(0)^*
+\quad\Rightarrow\quad
+A=-A^*
+\end{equation*}
 Die Lie-Algebra $\operatorname{u}(n)$ besteht daher aus den antihermiteschen
 Matrizen.
+\index{u(n)@$\operatorname{u}(n)$}%
 
 Wir sollten noch verifizieren, dass der Kommutator zweier antihermiteschen
 Matrizen wieder anithermitesch ist:
+\index{antihermitesch}%
 \begin{align*}
 [A,B]^*
 &=
@@ -489,7 +548,7 @@ BA - AB
 -[B,A].
 \end{align*}
 
-Eine antihermitesche Matrix erfüllt $a_{ij}=-\overline{a}_{ji}$,
+Eine antihermitesche Matrix erfüllt $a_{i\!j}=-\overline{a}_{ji}$,
 für die Diagonalelemente folgt daher $a_{ii} = -\overline{a}_{ii}$
 oder $\overline{a}_{ii}=-a_{ii}$.
 Der Realteil von $a_{ii}$ ist
@@ -510,6 +569,7 @@ imaginär.
 \subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$}
 Die Lie-Algebra $\operatorname{su}(n)$ besteht aus den
 spurlosen antihermiteschen Matrizen.
+\index{su(n)@$\operatorname{su}(n)$}%
 Sie erfüllen daher die folgenden Bedingungen:
 \[
 A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
@@ -557,6 +617,7 @@ iu\underbrace{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_2}
 is\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_3}
 \end{align*}
 Diese Matrizen heissen die {\em Pauli-Matrizen}, sie haben die Kommutatoren
+\index{Pauli-Matriizen}%
 \begin{align*}
 [\sigma_1,\sigma_2]
 &=
@@ -623,7 +684,7 @@ Die Matrizen $-\frac12i\sigma_j$ haben die Kommutatorprodukte
 =
 -{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_2
 =
--{\textstyle\frac12}i\sigma_2
+-{\textstyle\frac12}i\sigma_2.
 \end{align*}
 Die lineare Abbildung, die
 \begin{align*}
@@ -631,7 +692,7 @@ Die lineare Abbildung, die
 \omega_{31}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_2\\
 \omega_{12}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_3
 \end{align*}
-abbildet ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$
+abbildet, ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$
 auf die Lie-Algebra $\operatorname{su}(2)$.
 Die Lie-Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ und $\operatorname{SU}(2)$
 haben also die gleiche Lie-Algebra.
-- 
cgit v1.2.1

