From f88b8071a623096f9004007ced8ec97195aaa218 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 25 Sep 2021 16:43:39 +0200 Subject: zweite Lesung --- buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex | 63 ++++++++++++++++--------------- 1 file changed, 32 insertions(+), 31 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex') diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex index 0f6429f..b84b244 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex @@ -5,7 +5,6 @@ % \section{Lie-Algebren \label{buch:section:lie-algebren}} -\rhead{Lie-Algebren} Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen Vektorraum $M_n(\mathbb{R})$ betrachtet werden können. @@ -29,6 +28,7 @@ Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$ übereinstimmt. \index{Vektorprodukt}% +\rhead{Lie-Algebren} % % Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe % @@ -92,24 +92,25 @@ e^{At}e^{Bt} - e^{(A+B)t} = (AB-BA) \frac{t^2}{2} + \ldots = +\phantom{-} [A,B]\frac{t^2}{2}+\ldots \\ e^{Bt}e^{At} - e^{(A+B)t} &= \biggl(BA-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2 -+\ldots ++\ldots, = (BA-AB) \frac{t^2}{2} +\ldots = --[A,B]\frac{t^2}{2} +-[A,B]\frac{t^2}{2}+\ldots, \\ e^{At}e^{Bt}-e^{Bt}e^{At} &= (AB-BA)t^2+\ldots = -\phantom{-}[A,B]t^2+\ldots +\phantom{-}[A,B]t^2+\ldots, \end{align*} wobei $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird. @@ -247,15 +248,15 @@ Solche Matrizen haben die Form \] Die antisymmetrischen Matrizen \[ -\omega_{23} +\Omega_{23} = \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}, \quad -\omega_{31} +\Omega_{31} = \begin{pmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}, \quad -\omega_{12} +\Omega_{12} = \begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} \] @@ -263,11 +264,11 @@ bilden eine Basis für $\operatorname{so}(3)$, man kann \[ \Omega = -\omega_1\omega_{23} +\omega_1\Omega_{23} + -\omega_2\omega_{31} +\omega_2\Omega_{31} + -\omega_3\omega_{12} +\omega_3\Omega_{12} \] schreiben. Der Vektorraum $\operatorname{so}(3)$ ist also dreidimensional. @@ -276,7 +277,7 @@ Die Kommutatoren der Basisvektoren sind \begin{equation} \setlength\arraycolsep{4pt} \begin{aligned} -[\omega_{23},\omega_{31}] +[\Omega_{23},\Omega_{31}] &= \begin{pmatrix} 0&-1&0\\ @@ -284,10 +285,10 @@ Die Kommutatoren der Basisvektoren sind 0&0&0 \end{pmatrix} = -\omega_{12}, +\Omega_{12}, %\\ & -[\omega_{31},\omega_{12}] +[\Omega_{31},\Omega_{12}] &= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ @@ -295,10 +296,10 @@ Die Kommutatoren der Basisvektoren sind 0&1&0 \end{pmatrix} = -\omega_{23}, +\Omega_{23}, %\\ & -[\omega_{12},\omega_{23}] +[\Omega_{12},\Omega_{23}] &= \begin{pmatrix} 0&0&1\\ @@ -306,7 +307,7 @@ Die Kommutatoren der Basisvektoren sind -1&0&0 \end{pmatrix} = -\omega_{31}, +\Omega_{31}, \end{aligned} \label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren} \end{equation} @@ -324,19 +325,19 @@ Achse ist eine Drehung um die $x_3$-Achse. Abbildung~\ref{buch:lie:fig:kommutator} illustriert, wie der Kommutator die Nichtkommutativität der Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ wiedergibt. -Die Matrix $\omega_{23}$ erzeugt eine Drehung $R_{x_1,\alpha}$ +Die Matrix $\Omega_{23}$ erzeugt eine Drehung $R_{x_1,\alpha}$ um die $x_1$-Achse, -die Matrix $\omega_{31}$ eine Drehung $R_{x_2,\beta}$ um die $x_2$ Achse. -Der Kommutator $[\omega_{23},\omega_{31}]=\omega_{12}$ beschreibt in +die Matrix $\Omega_{31}$ eine Drehung $R_{x_2,\beta}$ um die $x_2$ Achse. +Der Kommutator $[\Omega_{23},\Omega_{31}]=\Omega_{12}$ beschreibt in niedrigster Ordnung den Unterschied, der entsteht, wenn man die beiden Drehungen in verschiedenen Reihenfolgen ausführt. Dies ist eine Drehung $R_{x_3,\gamma}$ um die $x_3$-Achse. -Aus der Rodriguez-Formel~\ref{buch:lie:eqn:rodrigues} wissen wir +Aus der Rodrigues-Formel~\ref{buch:lie:eqn:rodrigues} wissen wir bereits, dass die Ableitung der Drehung das Vektorprodukt $\vec{\omega}\times\vec{x}$ ist. Dieses kann jedoch auch als -$\Omega\vec{x} = \vec{omega}\times\vec{x}$ +$\Omega\vec{x} = \vec{\omega}\times\vec{x}$ ausgedrückt werden. Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $\vec{x}$ ist @@ -482,10 +483,10 @@ somit ist \operatorname{sl}_n(\mathbb{R}) = \{ -A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; \operatorname{Spur}(A)=0 +A\in M_n(\mathbb{R}) \mid \operatorname{Spur}(A)=0 \} \] -mit dem Kommutator eine Lie-Algebra. +mit dem Kommutator von Matrizen als Lie-Klammer eine Lie-Algebra. % % Die Lie-Algebra von U(n) @@ -496,8 +497,8 @@ Die Lie-Gruppe U(n) = \{ -A\in M_n(\mathbb{C} -\;|\; +A\in M_n(\mathbb{C}) +\mid AA^*=I \} \] @@ -507,7 +508,7 @@ AA^*=I heisst die unitäre Gruppe, sie besteht aus den Matrizen, die das sesquilineare Standardskalarprodukt auf dem komplexen Vektorraum $\mathbb{C}^n$ invariant lassen. -Sei eine $\gamma(t)$ ein differenzierbare Kurve in $\operatorname{U}(n)$ +Sei $\gamma(t)$ eine differenzierbare Kurve in $\operatorname{U}(n)$ derart, dass $\gamma(0)=I$. Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf \begin{equation*} @@ -568,7 +569,7 @@ imaginär. % \subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$} Die Lie-Algebra $\operatorname{su}(n)$ besteht aus den -spurlosen antihermiteschen Matrizen. +spurlosen antihermiteschen $2\times 2$-Matrizen. \index{su(n)@$\operatorname{su}(n)$}% Sie erfüllen daher die folgenden Bedingungen: \[ @@ -658,7 +659,7 @@ Diese Matrizen heissen die {\em Pauli-Matrizen}, sie haben die Kommutatoren 2i\sigma_2, \end{align*} Bis auf eine Skalierung stimmt dies überein mit den Kommutatorprodukten -der Matrizen $\omega_{23}$, $\omega_{31}$ und $\omega_{12}$ +der Matrizen $\Omega_{23}$, $\Omega_{31}$ und $\Omega_{12}$ in \eqref{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}. Die Matrizen $-\frac12i\sigma_j$ haben die Kommutatorprodukte \begin{align*} @@ -688,9 +689,9 @@ Die Matrizen $-\frac12i\sigma_j$ haben die Kommutatorprodukte \end{align*} Die lineare Abbildung, die \begin{align*} -\omega_{23}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_1\\ -\omega_{31}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_2\\ -\omega_{12}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_3 +\Omega_{23}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_1\\ +\Omega_{31}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_2\\ +\Omega_{12}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_3 \end{align*} abbildet, ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$ auf die Lie-Algebra $\operatorname{su}(2)$. -- cgit v1.2.1