From 15b6405261f267d24c509ed8f356d4eaffda1794 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 9 Sep 2021 16:25:47 +0200 Subject: Kapitel 7 --- buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex | 104 ++++++++++++++++++++------------ 1 file changed, 67 insertions(+), 37 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex') diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex index aee3b41..252fdca 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex @@ -15,7 +15,7 @@ bedeutet. Spiegelsymmetrische Objekte zeichnen sich zum Beispiel dadurch aus, dass Messungen von Strecken die gleichen Werte ergeben wie die Messungen der entsprechenden gespiegelten Strecken (siehe auch -Abbildung~\ref{buch:lie:bild:castlehoward}, was die Herkunft des +Abbildung~\ref{buch:lie:bild:castlehoward}), was die Herkunft des Begriffs verständlich macht. \begin{figure} \centering @@ -31,8 +31,8 @@ In der Physik wird dem Begriff der Symmetrie daher auch eine erweiterte Bedeutung gegeben. Jede Transformation eines Systems, welche bestimmte Grössen nicht verändert, wird als Symmetrie bezeichnet. -Die Gesetze der Physik sind typischerweise unabhängig davon, wo man den -den Nullpunkt der Zeit oder das räumlichen Koordinatensystems ansetzt, +Die Gesetze der Physik sind typischerweise unabhängig davon, wo man +den Nullpunkt der Zeit oder des räumlichen Koordinatensystems ansetzt, eine Transformation des Zeitnullpunktes oder des Ursprungs des Koordinatensystems ändert daher die Bewegungsgleichungen nicht, sie ist eine Symmetrie des Systems. @@ -52,8 +52,8 @@ zusätzliche geometrische Struktur, man nennt sie eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dieser Begriff wird im Abschnitt~\ref{buch:subsection:mannigfaltigkeit} eingeführt. -Es wird sich zum Beispiel zeigen, dass die Menge der Drehungen der -Ebene mit den Punkten eines Kreises parametrisieren lassen, +Es wird sich zum Beispiel zeigen, dass sich die Menge der Drehungen der +Ebene mit den Punkten eines Kreises parametrisieren lässt, die Lösungen der Gleichung $x^2+y^2=1$ sind. Eine Lie-Gruppe ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare @@ -94,10 +94,10 @@ Die folgenden Beispiele sollen zeigen, wie solche Symmetriedefinitionen auf algebraische Bedingungen an die Matrixelemente führen. Zu jeder Abbildung $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, unter der -ein geometrisches Objekt in $\mathbb{R}^n$ symmetrisch ist, können wir +ein geometrisches Objekt in $\mathbb{R}^n$ unveränder bleibt, können wir sofort weitere Abbildungen angeben, die ebenfalls Symmetrien sind. Zum Beispiel sind die iterierten Abbildungen $f\circ f$, $f\circ f\circ f$ -u.~s.~w., die wir auch $f^n$ mit $n\in\mathbb{N}$ schreiben werden, +usw., die wir auch $f^n$ mit $n\in\mathbb{N}$ schreiben werden, ebenfalls Symmetrien. Wenn die Symmetrie auch umkehrbar ist, dann gilt dies sogar für alle $n\in\mathbb{Z}$. @@ -105,7 +105,9 @@ Wir erhalten so eine Abbildung $\varphi\colon \mathbb{Z}\to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}):n\mapsto f^n$ mit den Eigenschaften $\varphi(0)=f^0 = I$ und $\varphi(n+m)=f^{n+m}=f^n\circ f^m = \varphi(n)\circ\varphi(m)$. -$\varphi$ ist ein Homomorphismus der Gruppe $\mathbb{Z}$ in die Gruppe +$\varphi$ ist ein Homomorphismus (siehe +Definition~\ref{buch:gruppen:def:homomorphismus}) +der Gruppe $\mathbb{Z}$ in die Gruppe $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. Wir nennen dies eine {\em diskrete Symmetrie}. @@ -114,10 +116,10 @@ Wir nennen dies eine {\em diskrete Symmetrie}. Von besonderem Interesse sind kontinuierliche Symmetrien. Dies sind Abbildungen eines Systems, die von einem Parameter abhängen. -Zum Beispiel können wir Drehungen der Ebene $\mathbb{R}^2$ um den -Winkel $\alpha$ durch Matrizen +Zum Beispiel können Drehungen der Ebene $\mathbb{R}^2$ um den +Winkel $\alpha$ durch die Matrizen \[ -D_{\alpha} +R_{\alpha} = \begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ @@ -126,18 +128,20 @@ D_{\alpha} \] beschrieben werden. Ein Kreis um den Nullpunkt bleibt unter jeder dieser Drehungen invariant. -Im Gegensatz dazu sind alle $3n$-Ecke mit Schwerpunkt $0$ nur invariant -unter der einen Drehung $D_{\frac{2\pi}3}$ invariant. -Die kleinste Menge, die einen vorgegebenen Punkt enthält und unter -allen Drehungen $D_\alpha$ invariant ist, ist immer ein Kreis um +Im Gegensatz dazu sind alle gleichseitigen Dreiecke mit Schwerpunkt $0$ +nur unter der einen Drehung $R_{\frac{2\pi}3}$ invariant. +Eine minimale Menge, die einen vorgegebenen Punkt enthält und unter +allen Drehungen $R_\alpha$ invariant ist, ist immer ein Kreis um den Nullpunkt. \begin{definition} +\label{buch:lie:def:einparameteruntergruppe} Ein Homomorphismus $\varphi\colon\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ von der additiven Gruppe $\mathbb{R}$ in die allgemeine lineare Gruppe -heisst eine {\em Einparameter-Untergruppe} von +heisst eine {\em Einparameteruntergruppe} von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. \end{definition} +\index{Einparameteruntergruppe} Die Abbildung \[ @@ -146,16 +150,18 @@ Die Abbildung \mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) : \alpha \mapsto -D_{\alpha} +R_{\alpha} = \begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha& \cos\alpha \end{pmatrix} \] -ist also eine Einparameter-Untergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$. +ist also eine Einparameteruntergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$. \subsubsection{Der harmonische Oszillator} +\index{harmonischer Oszillator}% +\index{Oszillator}% \begin{figure} \centering \includegraphics{chapters/60-gruppen/images/phasenraum.pdf} @@ -165,17 +171,21 @@ im Phasenraum sind Ellipsen mit Halbachsenverhältnis $\omega^{-1}$. \label{chapter:gruppen:fig:phasenraum}} \end{figure} Eine Masse $m$ verbunden mit einer Feder mit der Federkonstanten $K$ +\index{Federkonstante}% schwingt um die Ruhelage $x=0$ entsprechend der Differentialgleichung \[ m\frac{d^2}{dt^2} x(t) = -Kx(t). \] Die Kreisfrequenz der Schwingung ist +\index{Kreisfrequenz}% +\index{Schwingung}% \[ \omega = \sqrt{\frac{K}{m}}. \] Das System kann als zweidimensionales System im Phasenraum mit den Koordinaten $x_1=x$ und $x_2=p=m\dot{x}$ beschrieben werden. Die zweidimensionale Differentialgleichung ist +\index{zweidimensionale Differentialgleichung}% \begin{equation} \left. \begin{aligned} @@ -230,7 +240,7 @@ p(t) \label{buch:gruppen:eqn:phi} \end{equation} schreiben. -Die Matrizen $\Phi_t$ bilden eine Einparameter-Untergruppe von +Die Matrizen $\Phi_t$ bilden eine Einparameteruntergruppe von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, da \begin{align*} \Phi_s\Phi_t @@ -265,11 +275,13 @@ gilt. Die Lösungen der Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl} sind in Abbildung~\ref{chapter:gruppen:fig:phasenraum} +dargestellt. Die Matrizen $\Phi_t$ beschreiben eine kontinuierliche Symmetrie des Differentialgleichungssystems, welches den harmonischen Oszillator beschreibt. \subsubsection{Fluss einer Differentialgleichung} +\index{Fluss}% Die Abbildungen $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} sind jeweils Matrizen in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. Der Grund dafür ist, dass die @@ -333,9 +345,10 @@ Die Abbildung \[ \Phi\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n : -(t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0) = x(t,x_0) +(t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0) := x(t,x_0) \] heisst der {\em Fluss} der Differentialgleichung +\index{Fluss}% \eqref{buch:gruppen:eqn:dgl}, wenn für jedes $x_0\in\mathbb{R}^n$ die Kurve $t\mapsto \Phi_t(x_0)$ eine Lösung der Differentialgleichung ist mit Anfangsbedingung $x_0$. @@ -358,10 +371,10 @@ Das funktioniert auch, weil $f(t_0,x_0)$ selbst ein Vektor von $\mathbb{R}^n$ ist, in dem die Bahnkurve verläuft. Diese Idee funktioniert nicht mehr zum Beispiel für eine -Differentialgleichung auf einer Kugeloberfläche, weil alle Punkte +Differentialgleichung auf einer Kugel\-oberfläche, weil alle Punkte $x(t_0)+hf(t_0,x_0)$ für alle $h\ne 0$ nicht mehr auf der Kugeloberfläche liegen. -Physikalisch äussert sich das ein einer zusätzlichen Kraft, die nötig +Physikalisch äussert sich das in einer zusätzlichen Kraft, die nötig ist, die Bahn auf der Kugeloberfläche zu halten. Diese Kraft stellt zum Beispiel sicher, dass die Vektoren $f(t,x)$ für Punkte $x$ auf der Kugeloberfläche immer tangential an die Kugel sind. @@ -370,12 +383,13 @@ nicht mehr ein Objekt, welches als Teil der Kugeloberfläche definiert werden kann, er kann nur definiert werden, wenn man sich die Kugel als in einen höherdimensionalen Raum eingebettet vorstellen kann. -Um die Idee der Differentialgleichung auf einer beliebigen Fläche -konsistent zu machen ist daher notwendig, die Idee einer Tagentialrichtung +Um die Idee einer Differentialgleichung auf einer beliebigen Fläche +konsistent zu machen, ist daher notwendig, die Idee einer Tagentialrichtung auf eine Art zu definieren, die nicht von der Einbettung der Fläche in den $n$-dimensionalen Raum abhängig ist. Das in diesem Abschnitt entwickelte Konzept der {\em Mannigfaltigkeit} löst dieses Problem. +\index{Mannigfaltigkeit}% \subsubsection{Karten} Die Navigation auf der Erdoberfläche verwendet das Koordinatensystem @@ -385,6 +399,11 @@ den geographischen Polen befindet, denn deren Koordinaten sind nicht mehr eindeutig. Alle Punkte mit geographischer Breite $90^\circ$ und beliebiger geographischer Länge beschreiben den Nordpol. +\index{geographische Länge}% +\index{geographische Breite}% +\index{Nordpol}% +\index{Länge, geographisch}% +\index{Breite, geographisch}% Auch die Ableitung funktioniert dort nicht mehr. Bewegt man sich mit konstanter Geschwindigkeit über den Nordpol, springt die Ableitung der geographischen Breite von einem positiven @@ -412,6 +431,7 @@ verschiedenen Koordinatensystemen versehen werden kann. Ein Koordinatensystem ist eine umkehrbare Abbildung einer offenen Teilmenge $U\subset M$ in den Raum $\mathbb{R}^n$. Die Komponenten dieser Abbildung heissen die {\em Koordinaten}. +\index{Koordinaten}% \begin{figure} \centering @@ -429,12 +449,13 @@ entstehen soll. \end{figure} \begin{definition} -Eine Karte auf $M$ ist eine umkehrbare Abbildung -$\varphi\colon U\to \mathbb{R}^n$ (siehe auch -Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:karten}). -Ein differenzierbarer Atlas ist eine Familie von Karten $\varphi_\alpha$ +\index{Karte}% +Eine {\em Karte} auf $M$ ist eine umkehrbare Abbildung +$\varphi\colon U\to \mathbb{R}^n$ einer offenen Menge $U_\alpha\subset M$ +(siehe auch Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:karten}). +Ein {\em differenzierbarer Atlas} ist eine Familie von Karten $\varphi_\alpha$ derart, dass die Definitionsgebiete $U_\alpha$ die ganze Menge $M$ -überdecken, und dass die Kartenwechsel Abbildungen +überdecken, und dass die Kartenwechselabbildungen \[ \varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1} \colon @@ -444,8 +465,9 @@ derart, dass die Definitionsgebiete $U_\alpha$ die ganze Menge $M$ \] als Abbildung von offenen Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ differenzierbar ist. -Eine {$n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit} ist eine +Eine {\em $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit} ist eine Menge $M$ mit einem differenzierbaren Atlas. +\index{Atlas}% \end{definition} Karten und Atlanten regeln also nur, wie sich verschiedene lokale @@ -569,7 +591,7 @@ konstruieren, der $S^n$ zu einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit macht. \subsubsection{Tangentialraum} Mit Hilfe einer Karte $\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb{R}^n$ kann das Geschehen in einer Mannigfaltigkeit in den vertrauten -$n$-dimensionalen Raum $\mathbb{B}^n$ transportiert werden. +$n$-dimensionalen Raum $\mathbb{R}^n$ transportiert werden. Eine Kurve $\gamma\colon \mathbb{R}\to M$, die so parametrisiert sein soll, dass $\gamma(t)\in U_\alpha$ für $t$ in einer Umgebung $I$ von $0$ ist, wird von der Karte in eine Kurve @@ -606,7 +628,8 @@ Aus = \varphi_{\beta\alpha}\circ\gamma_\alpha \] -folgt durch Ableitung nach dem Kurvenparameter $t$, dass +folgt durch Ableitung nach dem Kurvenparameter $t$ mit Hilfe der +Kettenregel, dass \[ \frac{d}{dt}\gamma_\beta(t) = @@ -624,7 +647,7 @@ $\varphi_{\beta\alpha}$ stellt also nur sicher, dass die Beschreibung eines Systemes mit Differentialgleichungen in verschiedenen Koordinatensystemen auf die gleichen Lösungskurven in der Mannigfaltigkeit führt. -Insbesondere ist die Verwendung von Karten ist also nur ein Werkzeug, +Insbesondere ist die Verwendung von Karten also nur ein Werkzeug, mit dem die Unmöglichkeit einer globalen Besschreibung einer Mannigfaltigkeit $M$ mit einem einzigen globalen Koordinatensystem ohne Singularitäten umgangen werden kann. @@ -658,9 +681,9 @@ Die Koordinatenumrechnung ist gegeben durch \dot{x}(t) = D\varphi_{31}(\gamma(t)) -\dot{y}(t) +\dot{y}(t). \] -wird für die spezielle Kurve $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ wird dies zu +Für die spezielle Kurve $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ wird dies zu \[ D\varphi_{31}(\gamma(t)) \cdot @@ -690,7 +713,7 @@ Darüber hinweg hilft auch die Tatsache nicht, dass die Kreislinie in den Vektorraum $\mathbb{R}^2$ eingebettet sind, wo sich Vektoren durch Translation miteinander vergleichen lassen. Ein nichtverschwindender Tangentialvektor im Punkt $(1,0)$ hat, -betrachtet als Vektor in $\mathbb{R}^2$ verschwindende $x$-Komponente, +betrachtet als Vektor in $\mathbb{R}^2$, verschwindende $x$-Komponente, für Tangentialvektoren im Inneren eines Quadranten ist dies nicht der Fall. @@ -701,18 +724,25 @@ Dies ist möglich, weil die Kreislinie eine kontinuierliche Symmetrie, nämlich die Drehung um den Winkel $t$ hat, die es erlaubt, den Punkt $(1,0)$ in den Punkt $(\cos t,\sin t)$ abzubilden. Erst diese Symmetrie ermöglicht den Vergleich. -Dieser Ansatz ist für alle Matrizen erfolgreich, wie wir später sehen werden. +Dieser Ansatz ist für alle Matrizengruppen erfolgreich, +wie wir später sehen werden. Ein weiterer Ansatz, Tangentialvektoren zu vergleichen, ist die Idee, einen sogenannten Zusammenhang zu definieren, eine Vorschrift, wie +\index{Zusammenhang}% +\index{Paralleltransport}% Tangentialvektoren infinitesimal entlang von Kurven in der Mannigfaltigkeit transportiert werden können. Auf einer sogenannten {\em Riemannschen Mannigfaltigkeit} ist zusätzlich zur Mannigfaltigkeitsstruktur die Längenmessung definiert. +\index{Riemannsche Mannigfaltigkeit}% +\index{Mannigfaltigkeit!Riemannsche}% Sie kann dazu verwendet werden, den Transport von Vektoren entlang einer Kurve so zu definieren, dass dabei Längen und Winkel erhalten bleiben. +\index{Längenmessung}% Dieser Ansatz ist die Basis der Theorie der Krümmung sogenannter Riemannscher Mannigfaltigkeiten. +\index{Krümmung}% %\subsection{Der Satz von Noether %\label{buch:subsection:noether}} -- cgit v1.2.1