From e4713250376d10840dbfd23ca353e394aa84be08 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 3 Apr 2021 20:52:04 +0200 Subject: =?UTF-8?q?Info=20=C3=BCber=20Mannigfaltigkeiten=20hinzuf=C3=BCgen?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex | 83 +++++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 78 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex') diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex index b686791..e7c3240 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex @@ -405,7 +405,7 @@ umrechnen können auf die Kugelkoordinaten. Dazu muss seine Umrechnungsformel von kartesischen Koordinaten auf Kugelkoordinaten differenzierbar sein. -Diese Idee wird vom Konzept der Mannigfaltigkeit verallgemeinert. +Diese Idee wird durch das Konzept der Mannigfaltigkeit verallgemeinert. Eine $n$-dimensionale {\em Mannigfaltigkeit} ist eine Menge $M$ von Punkten, die lokal, also in der Umgebung eines Punktes, mit möglicherweise mehreren verschiedenen Koordinatensystemen versehen werden kann. @@ -413,14 +413,30 @@ Ein Koordinatensystem ist eine umkehrbare Abbildung einer offenen Teilmenge $U\subset M$ in den Raum $\mathbb{R}^n$. Die Komponenten dieser Abbildung heissen die {\em Koordinaten}. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/karten.pdf} +\caption{Karten +$\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to \mathbb{R}^2$ +und +$\varphi_\beta\colon U_\beta\to \mathbb{R}^2$ +auf einem Torus. +Auf dem Überschneidungsgebiet $\varphi_\alpha^{-1}(U_\alpha\cap U_\beta)$ +ist der Kartenwechsel $\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$ wohldefiniert +und muss differnzierbar sein, wenn eine differenzierbare Mannigfaltigkeit +entstehen soll. +\label{buch:gruppen:fig:karten}} +\end{figure} + \begin{definition} Eine Karte auf $M$ ist eine umkehrbare Abbildung -$\varphi\colon U\to \mathbb{R}^n$. +$\varphi\colon U\to \mathbb{R}^n$ (siehe auch +Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:karten}). Ein differenzierbarer Atlas ist eine Familie von Karten $\varphi_\alpha$ derart, dass die Definitionsgebiete $U_\alpha$ die ganze Menge $M$ überdecken, und dass die Kartenwechsel Abbildungen \[ -\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1} +\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1} \colon \varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta) \to @@ -513,8 +529,65 @@ konstruieren, der $S^n$ zu einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit macht. \end{beispiel} \subsubsection{Tangentialraum} - -\subsubsection{Einbettung und Karten} +Mit Hilfe einer Karte $\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb{R}^n$ +kann das Geschehen in einer Mannigfaltigkeit in den vertrauten +$n$-dimensionalen Raum $\mathbb{B}^n$ transportiert werden. +Eine Kurve $\gamma\colon \mathbb{R}\to M$, die so parametrisiert sein +soll, dass $\gamma(t)\in U_\alpha$ für $t$ in einer Umgebung $I$ von $0$ ist, +wird von der Karte in eine Kurve +$\gamma_\alpha=\varphi_\alpha\circ\gamma\colon I\to \mathbb{R}^n$ +abgebildet, +deren Tangentialvektor wieder ein Vektor in $\mathbb{R}^n$ ist. + +Eine zweite Karte $\varphi_\beta$ führt auf eine andere Kurve +mit der Parametrisierung +$\gamma_\beta=\varphi_\beta\circ\gamma\colon I \to \mathbb{R}^n$ +und einem anderen Tangentialvektor. +Die beiden Tangentialvektoren können aber mit der Ableitung der +Koordinatenwechsel-Abbildung +$\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}\colon +\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to \mathbb{R}^n$ +ineinander umgerechnet werden. +Aus +\[ +\gamma_\beta += +\varphi_\beta\circ \gamma += +( +\varphi_\beta +\circ +\varphi_\alpha^{-1} +) +\circ +\varphi_\alpha\circ\gamma += +\varphi_{\beta\alpha} +\circ +\varphi_\alpha\circ\gamma += +\varphi_{\beta\alpha}\circ\gamma_\alpha +\] +folgt durch Ableitung nach dem Kurvenparameter $t$, dass +\[ +\frac{d}{dt}\gamma_\beta(t) += +D\varphi_{\beta\alpha} \frac{d}{dt}\gamma_\alpha(t). +\] +Die Ableitung $D\varphi_{\beta\alpha}$ von $\varphi_{\beta\alpha}$ +an der Stelle $\gamma_\alpha(t)$ berechnet also aus dem Tangentialvektor +einer Kurve in der Karte $\varphi_\alpha$ den Tangentialvektor der +Kurve in der Karte $\varphi_\beta$. + +Die Forderung nach Differenzierbarkeit der Kartenwechselabbildungen +$\varphi_{\beta\alpha}$ stellt also nur sicher, dass die Beschreibung +eines Systemes mit Differentialgleichungen in verschiedenen +Koordinatensystemen auf die gleichen Lösungskurven in der +Mannigfaltigkeit führt. +Insbesondere ist die Verwendung von Karten ist also nur ein Werkzeug, +mit dem die Unmöglichkeit einer globalen Besschreibung einer +Mannigfaltigkeit $M$ mit einem einzigen globalen Koordinatensystem +ohne Singularitäten umgangen werden kann. \subsection{Der Satz von Noether \label{buch:subsection:noether}} -- cgit v1.2.1