From f88b8071a623096f9004007ced8ec97195aaa218 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 25 Sep 2021 16:43:39 +0200 Subject: zweite Lesung --- buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex | 74 ++++++++++++++++++++------------- 1 file changed, 45 insertions(+), 29 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex') diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex index 7222c2c..ece02b5 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex @@ -28,7 +28,8 @@ ergeben die gleichen Werte wie Messungen entsprechenden Strecken in der linken Hälfte, was den Begriff Symmetrie rechtfertigt. \label{buch:lie:bild:castlehoward}} \end{figure} -In der Physik wird dem Begriff der Symmetrie daher auch eine erweiterte + +In der Physik wird dem Begriff der Symmetrie eine erweiterte Bedeutung gegeben. Jede Transformation eines Systems, welche bestimmte Grössen nicht verändert, wird als Symmetrie bezeichnet. @@ -39,7 +40,7 @@ Koordinatensystems ändert daher die Bewegungsgleichungen nicht, sie ist eine Symmetrie des Systems. Umgekehrt kann man fragen, welche Symmetrien ein System hat. -Da sich Symmetrien zusammensetzen und umkehren lassen, kann man in davon +Da sich Symmetrien zusammensetzen und umkehren lassen, kann man davon ausgehen, dass die Symmetrietransformationen eine Gruppe bilden. Besonders interessant ist dies im Falle von Transformationen, die durch Matrizen beschrieben weren. @@ -94,8 +95,8 @@ ihre Normale erhalten. Die folgenden Beispiele sollen zeigen, wie solche Symmetriedefinitionen auf algebraische Bedingungen an die Matrixelemente führen. -Zu jeder Abbildung $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, unter der -ein geometrisches Objekt in $\mathbb{R}^n$ unveränder bleibt, können wir +Zu jeder linearen Abbildung $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, unter der +ein geometrisches Objekt in $\mathbb{R}^n$ unverändert bleibt, können wir sofort weitere Abbildungen angeben, die ebenfalls Symmetrien sind. Zum Beispiel sind die iterierten Abbildungen $f\circ f$, $f\circ f\circ f$ usw., die wir auch $f^n$ mit $n\in\mathbb{N}$ schreiben werden, @@ -131,9 +132,8 @@ beschrieben werden. Ein Kreis um den Nullpunkt bleibt unter jeder dieser Drehungen invariant. Im Gegensatz dazu sind alle gleichseitigen Dreiecke mit Schwerpunkt $0$ nur unter der einen Drehung $R_{\frac{2\pi}3}$ invariant. -Eine minimale Menge, die einen vorgegebenen Punkt enthält und unter -allen Drehungen $R_\alpha$ invariant ist, ist immer ein Kreis um -den Nullpunkt. +Ein vorgegebener Punkt bewegt sich unter der Wirkung der Drehung +$R_\alpha$ auf einem Kreis um den Nullpunkt. \begin{definition} \label{buch:lie:def:einparameteruntergruppe} @@ -148,7 +148,7 @@ Die Abbildung \[ \varphi \colon -\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) +\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_2(\mathbb{R}) : \alpha \mapsto R_{\alpha} @@ -161,6 +161,7 @@ R_{\alpha} ist also eine Einparameteruntergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$. \subsubsection{Der harmonische Oszillator} +\label{buch:gruppen:harmonischer-oszillator} \index{harmonischer Oszillator}% \index{Oszillator}% \begin{figure} @@ -171,8 +172,9 @@ Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl} im Phasenraum sind Ellipsen mit Halbachsenverhältnis $\omega^{-1}$. \label{chapter:gruppen:fig:phasenraum}} \end{figure} -Eine Masse $m$ verbunden mit einer Feder mit der Federkonstanten $K$ +Eine Masse $m$ ist aufgehängt an einer Feder mit der Federkonstanten $K$ \index{Federkonstante}% +und schwingt um die Ruhelage $x=0$ entsprechend der Differentialgleichung \[ m\frac{d^2}{dt^2} x(t) = -Kx(t). @@ -242,7 +244,7 @@ p(t) \end{equation} schreiben. Die Matrizen $\Phi_t$ bilden eine Einparameteruntergruppe von -$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, da +$\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$, da \begin{align*} \Phi_s\Phi_t &= @@ -284,10 +286,10 @@ beschreibt. \subsubsection{Fluss einer Differentialgleichung} \index{Fluss}% Die Abbildungen $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} sind jeweils -Matrizen in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. +Matrizen in $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$. Der Grund dafür ist, dass die Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl} -linear ist. +linear zu sein braucht. Dies hat zur Folge, dass für zwei Anfangsbedingungen $x_1,x_2\in\mathbb{R}^2$ die Lösung für Linearkombinationen $\lambda x_1+\mu x_2$ durch Linearkombination der Lösungen erhalten werden kann, also @@ -377,12 +379,14 @@ $x(t_0)+hf(t_0,x_0)$ für alle $h\ne 0$ nicht mehr auf der Kugeloberfläche liegen. Physikalisch äussert sich das in einer zusätzlichen Kraft, die nötig ist, die Bahn auf der Kugeloberfläche zu halten. -Diese Kraft stellt zum Beispiel sicher, dass die Vektoren $f(t,x)$ für +Solche Zwangskräfte leisten keine Arbeit, sorgen aber zum Beispiel +dafür, dass die Vektoren $f(t,x)$ für Punkte $x$ auf der Kugeloberfläche immer tangential an die Kugel sind. Trotzdem ist der Tangentialvektor oder der Geschwindigkeitsvektor nicht mehr ein Objekt, welches als Teil der Kugeloberfläche definiert werden kann, er kann nur definiert werden, wenn man sich die Kugel als in einen höherdimensionalen Raum eingebettet vorstellen kann. +Der Betrag der Zwangskräfte hängt von der Krümmung der Fläche ab. Um die Idee einer Differentialgleichung auf einer beliebigen Fläche konsistent zu machen, ist daher notwendig, die Idee einer Tagentialrichtung @@ -417,8 +421,8 @@ kann das Problem lösen, indem er eine lokale Karte für das Gebiet um den Pol erstellt. Dafür kann er beliebige Koordinaten verwenden, zum Beispiel auch ein kartesisches Koordinatensystem, er muss nur eine Methode haben, -wie er seine Koordinaten wieder auf geographische Länge und Breite -umrechnen will. +nach der er seine Koordinaten wieder auf geographische Länge und Breite +umrechnen kann. Und wenn er über Geschwindigkeiten kommunizieren will, dann muss er auch Ableitungen von Kurven in seinem kartesischen Koordinatensystem umrechnen können auf die Kugelkoordinaten. @@ -475,7 +479,7 @@ Karten und Atlanten regeln also nur, wie sich verschiedene lokale Koordinatensysteme ineinander umrechnen lassen. \begin{beispiel} -$M=\mathbb{R}^n$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit denn +$M=\mathbb{R}^n$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, denn die identische Abbildung $M\to \mathbb{R}^n$ ist eine Karte und ein Atlas von $M$. \end{beispiel} @@ -494,19 +498,23 @@ gibt. Die Projektionen auf die einzelnen Koordinaten liefern die folgenden vier Karten: \begin{align*} -\varphi_1&\colon U_{x>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x>0\} \to\mathbb{R} +\color{red} +\varphi_1&{\color{red}\colon U_{x>0}=\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x>0\}}\to\mathbb{R} : (x,y) \mapsto y \\ -\varphi_2&\colon U_{x<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x<0\} \to\mathbb{R} +\color{blue} +\varphi_2&{\color{blue}\colon U_{x<0}=\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x<0\}}\to\mathbb{R} : (x,y) \mapsto y \\ -\varphi_3&\colon U_{y>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y>0\} \to\mathbb{R} +\color{darkgreen} +\varphi_3&{\color{darkgreen}\colon U_{y>0}=\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y>0\}}\to\mathbb{R} : (x,y) \mapsto x \\ -\varphi_4&\colon U_{y<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y<0\} \to\mathbb{R} +\color{orange} +\varphi_4&{\color{orange}\colon U_{y<0}=\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y<0\}}\to\mathbb{R} : (x,y) \mapsto x \end{align*} @@ -526,36 +534,44 @@ ist je nach Quadrant durch &\text{1.~Quadrant}& \varphi_{31} &= -\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-y^2\mathstrut} +{\color{darkgreen}\varphi_3}\circ{\color{red}\varphi_1}^{-1} +\colon +y\mapsto\phantom{-}{\textstyle\sqrt{1-y^2\mathstrut}} & D\varphi_{31} &= -\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}} \\ &\text{2.~Quadrant}& -\varphi_{24} +\varphi_{23} &= -\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-x^2\mathstrut} +{\color{blue}\varphi_2}\circ{\color{darkgreen}\varphi_3}^{-1} +\colon +x\mapsto\phantom{-}{\textstyle\sqrt{1-x^2\mathstrut}} & -D\varphi_{24} +D\varphi_{23} &= -\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}} \\ &\text{3.~Quadrant}& \varphi_{42} &= -\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto-\sqrt{1-y^2\mathstrut} +{\color{orange}\varphi_4}\circ{\color{blue}\varphi_2}^{-1} +\colon +y\mapsto-{\textstyle\sqrt{1-y^2\mathstrut}} & D\varphi_{42} &= \phantom{-}\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}} \\ &\text{4.~Quadrant}& -\varphi_{14} +\varphi_{41} &= -\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto-\sqrt{1-x^2\mathstrut} +{\color{red}\varphi_1}\circ{\color{orange}\varphi_4}^{-1} +\colon +x\mapsto-{\textstyle\sqrt{1-x^2\mathstrut}} & -D\varphi_{14} +D\varphi_{41} &= \phantom{-}\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}} \end{align*} @@ -725,7 +741,7 @@ Dies ist möglich, weil die Kreislinie eine kontinuierliche Symmetrie, nämlich die Drehung um den Winkel $t$ hat, die es erlaubt, den Punkt $(1,0)$ in den Punkt $(\cos t,\sin t)$ abzubilden. Erst diese Symmetrie ermöglicht den Vergleich. -Dieser Ansatz ist für alle Matrizengruppen erfolgreich, +Dieser Ansatz ist für alle Matrizengruppen generell erfolgreich, wie wir später sehen werden. Ein weiterer Ansatz, Tangentialvektoren zu vergleichen, ist die Idee, -- cgit v1.2.1