From b1f49642175c0e043af9f1491fe7c88f065b8e95 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Fri, 1 Jan 2021 17:49:41 +0100
Subject: new stuff about graphs

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 buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex | 239 +++++++++++++++++++++++++++++-
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@@ -106,7 +106,7 @@ $(a,b)$ und $(b,a)$ ersetzen.
 Aus dem ungerichteten Graphen $(V,E)$ mit Knotenmenge $V$ und Kantenmenge
 $E$ wird so der gerichtete Graph
 $(V,E')$ mit der Kantenmenge
-\[
+\begin{equation*}
 E' 
 =
 \{
@@ -114,11 +114,207 @@ E'
 \,|\,
 \{a,e\}\in E
 \}.
-\]
+\end{equation*}
 Eine umgekehrte Zuordnung eines ungerichteten Graphen zu einem gerichteten
 Graphen ist nicht möglich, da eine ``Schleife'' $(a,a)$ nicht in Kante
 des ungerichteten Graphen abgebildet werden kann.
 
+In einem gerichteten Graphen kann man sinnvoll von gerichteten Pfad
+sprechen.
+\index{Pfad}%
+Ein {\em Pfad} $\gamma$ in einem gerichteten Graphen $(V,E)$ ist eine Folge
+$k_1,\dots,k_r\in E$ von Kanten derart, dass $e(k_i) = a(k_{i+1})$
+für $i=1,\dots,r-1$.
+Dies bedeutet, dass der Endpunkt jeder Kante mit dem Anfangspunkt der
+nachfolgenden Kante übereinstimmt.
+Die {\em Länge} des Pfades $\gamma=(k_1,\dots,k_r)$ ist $|\gamma|=r$.
+
+Eine naheliegende Beschreibung eines gerichteten Graphen mit Hilfe einer
+Matrix kann man wie folgt erhalten.
+Zunächst werden die Knoten aus der Menge $V$ durch die Zahlen
+$1,\dots,n$ mit $n=|V|$ ersetzt.
+Diese Zahlen werden dann als Zeilen- uns Spaltenindizes interpretiert.
+Die zum Graphen gehörige Matrix enthält die Einträge
+\begin{equation}
+g_{ij}
+=
+\begin{cases}
+1&\qquad  (j,i) \in E\\
+0&\qquad  \text{sonst.}
+\end{cases}
+\label{buch:graphen:eqn:linkmatrix}
+\end{equation}
+Die Matrix $G$ hat also genau dann einen nicht verschwindenden
+Matrixeintrag in Zeile $i$ und Spalte $j$, wenn es eine Verbindung
+von Knoten $j$ zu Knoten $i$ gibt.
+% XXX Abbildung Graph und Verbindungs-Matrix
+Die Beschreibung des Graphen mit der Matrix $G$ nach
+\eqref{buch:graphen:eqn:linkmatrix} ermöglicht bereits, eine interessante
+Aufgabe zu lösen.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:graphen:pfade-der-laenge-n}
+Der gerichtete Graph $([n],E)$ werde beschrieben durch die Matrix $G$.
+Dann gibt das Element in Zeile $j$ und Spalte $i$ von $G^n$ die Anzahl
+der Wege der Länge $n$ an, die von Knoten $i$ zu Knoten $j$ führen.
+Insbesondere kann man die Definition~\eqref{buch:graphen:eqn:linkmatrix}
+formulieruen als in Zeile $j$ und Spalte $i$ der Matrix steht die Anzahl
+der Pfade der Länge $1$, die $i$ mit $j$ verbinden.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Es ist klar, dass $G^1$ die genannte Eigenschaft hat.
+Wir beweisen, dass $G^n$ Pfade der Länge $n$ zählt, mit Hilfe von
+vollständiger Induktion.
+Zur Unterscheidung schreiben wir $G^{(n)}$ für die Matrix, die in Zeile
+$j$ und Spalte $i$ die Anzahl der Pfade der Länge $n$ von $i$ nach $j$
+enhält.
+Die zugehörigen Matrixelemente schreiben wir $g_{ji}^{n}$ bzw.~$g_{ji}^{(n)}$.
+Wir haben also zu zeigen, dass $G^n = G^{(n)}$.
+
+Wir nehmen daher an, dass bereits bewiesen ist, dass das Element in Zeile
+$j$ und Spalte $i$ von $G^{n-1}$ die Anzahl der Pfade der Länge $n-1$
+zählt, dass also $G^{n-1}=G^{(n-1)}$.
+Dies ist die Induktionsannahme.
+
+Wir bilden jetzt alle Pfade der Länge $n$ von $i$ nach $k$.
+Ein Pfad der Länge besteht aus einem Pfad der Länge $n-1$, der von $i$ zu
+einem beliebigen Knoten $j$ führt, gefolgt von einer einzelnen Kante,
+die von $j$ nach $k$ führt.
+Ob es eine solche Kante gibt, zeigt das Matrixelement $g_{kj}$ an.
+Das Element in Zeile $j$ und Spalte $i$ der Matrix $G^{(n-1)}$ gibt
+die Anzahl der Wege von $i$ nach $j$ an.
+Es gibt also $g_{kj}\cdot g_{ji}^{(n-1)}$ Wege der Länge $n$, die von $i$
+nach $k$ führen, aber als zweitletzten Knoten über den Knoten $j$ führen.
+Die Gesamtzahl der Wege der Länge $n$ von $i$ nach $k$ ist daher
+\[
+g_{ki}^{(n)}
+=
+\sum_{j=1}^n g_{kj} g_{ji}^{(n-1)}.
+\]
+In Matrixschreibweise bedeutet dies
+\[
+G^{(n)}
+=
+G\cdot G^{(n-1)}
+=
+G\cdot G^{n-1}
+=
+G^n.
+\]
+Beim zweiten Gleichheitszeichen haben wir die Induktionsannahme
+verwendet.
+\end{proof}
+
+Die Definition~\eqref{buch:graphen:eqn:linkmatrix} der Matrix, die den
+Graphen beschreibt, lässt sich natürlich auch auf einen ungerichteten
+Graphen verallgemeinern.
+Die entstehende Matrix hat dann aber die zusätzlichen Eigenschaften, dass
+alle Diagonalelemente $0$ sind und dass die Matrix symmetrisch ist.
+Auch im Fall eines ungerichteten Graphen kann die Matrix dazu verwendet
+werden, die Anzahl der Pfade zu zählen.
+
+Der Satz~\ref{buch:graphen:pfade-der-laenge-n} ermöglicht auch, einen 
+Algorithmus für den sogenannten Durchmesser eines Graphen zu formulieren.
+
+\begin{definition}
+\index{Durchmesser eines Graphen}%
+\index{Graph!Durchmesser des}%
+Der {\em Durchmesser} eines Graphen ist die kürzeste Länge $d$ derart, dass
+es zwischen zwei beliebigen Knoten einen Pfad der Länge $\le d$ gibt.
+\end{definition}
+
+Der Durchmesser $d$ eines Graphen ist der kleinste Exponent derart,
+dass $G^d$ keine ausserdiagonalen Einträge $0$ hat.
+Die Diagonalelemente von $G^n$ zählen die Anzahl der geschlossenen Pfade
+der Länge $n$, die durch einen Knoten führen.
+Diese können für den Durchmesser ignoriert werden.
+Man kann also Potenzen $G^n$ berechnen bis keine Einträge $0$ mehr vorhanden
+sind.
+
+\begin{beispiel}
+\begin{figure}
+\centering
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\def\l{0.25}
+\def\r{1}
+\def\punkt#1{({\r*sin(((#1)-1)*72)},{\r*cos(((#1)-1)*72)})}
+\def\R{2}
+\def\Punkt#1{({\R*sin(((#1)-6)*72)},{\R*cos(((#1)-6)*72)})}
+\draw \Punkt{6} -- \Punkt{7} -- \Punkt{8} -- \Punkt{9} -- \Punkt{10} -- cycle;
+\draw \punkt{1} -- \punkt{3} -- \punkt{5} -- \punkt{2} -- \punkt{4} -- cycle;
+\foreach \k in {1,...,5}{
+	\draw \punkt{\k} -- \Punkt{(\k+5)};
+	\fill[color=white] \punkt{\k} circle[radius=\l];
+	\node at \punkt{\k} {$\k$};
+	\draw \punkt{\k} circle[radius=\l];
+}
+\foreach \k in {6,...,10}{
+	\fill[color=white] \Punkt{\k} circle[radius=\l];
+	\node at \Punkt{\k} {$\k$};
+	\draw \Punkt{\k} circle[radius=\l];
+}
+\end{tikzpicture}
+\caption{Peterson-Graph mit zehn Knoten.
+\label{buch:figure:peterson}}
+\end{figure}
+Der Peterson-Graph hat die Matrix
+\[
+G
+=
+\begin{pmatrix}
+%1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
+ 0& 0& 1& 1& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ %  1
+ 0& 0& 0& 1& 1& 0& 1& 0& 0& 0\\ %  2
+ 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 1& 0& 0\\ %  3
+ 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ %  4
+ 0& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ %  5
+ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 1\\ %  6
+ 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 1& 0& 0\\ %  7
+ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 1& 0\\ %  8
+ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 1\\ %  9
+ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 1& 0   % 10
+\end{pmatrix}
+\]
+Durch Nachrechnen kann man bestätigen, dass $G^3$ keine
+Ausserdiagonalelemente $0$ enthält:
+\[
+G^3
+=
+\begin{pmatrix}
+ 0& 2& 5& 5& 2& 5& 2& 2& 2& 2\\
+ 2& 0& 2& 5& 5& 2& 5& 2& 2& 2\\
+ 5& 2& 0& 2& 5& 2& 2& 5& 2& 2\\
+ 5& 5& 2& 0& 2& 2& 2& 2& 5& 2\\
+ 2& 5& 5& 2& 0& 2& 2& 2& 2& 5\\
+ 5& 2& 2& 2& 2& 0& 5& 2& 2& 5\\
+ 2& 5& 2& 2& 2& 5& 0& 5& 2& 2\\
+ 2& 2& 5& 2& 2& 2& 5& 0& 5& 2\\
+ 2& 2& 2& 5& 2& 2& 2& 5& 0& 5\\
+ 2& 2& 2& 2& 5& 5& 2& 2& 5& 0
+\end{pmatrix}
+\]
+Daraus kann man jetzt ablesen, dass der Durchmesser des Petersongraphen
+$d=5$ ist.
+Man kann aber auch mehr ablesen:
+\begin{itemize}
+\item
+Es gibt keine geschlossenen Pfade der Länge $\le 3$.
+\item
+Zwischen benachbarten Knoten gibt es jeweils $5$ Pfade der Länge $3$,
+zwischen nicht benachbarten Knoten gibt es genau $2$ Pfade der Länge $3$.
+\qedhere
+\end{itemize}
+\end{beispiel}
+
+Das Beispiel illustriert, wie sich Zählaufgaben von Pfaden leicht mit dem
+Matrizenprodukt erledigen lassen.
+Trotzdem ist der Algorithmus nicht unbedingt effizient, da der Aufwand
+zur Berechnung des Matrizenproduktes relativ gross sein kann.
+Für den Peterson-Graphen können die gefundenen Aussagen über die Anzahl
+von Pfaden durch Ausnützung der Symmetrien des Graphen leichter direkt
+gefunden werden.
+
 \subsubsection{Beschriftete Graphen}
 Bei der Beschreibung eines elektrischen Netzwerkes mit Hilfe eines
 ungerichteten Graphen muss jeder Kante zusätzlich ein Widerstandswert
@@ -131,11 +327,42 @@ eines gerichteten oder ungerichteten Graphen $G=(V,E)$
 ist eine Abbildung $l\colon E\to L$.
 \end{definition}
 
-\subsection{Die Adjazenz-Matrix
-\label{subsection:adjazenz-matrix}}
+\subsection{Die Adjazenz-Matrix und Laplace-Matrix
+\label{subsection:adjazenz-und-laplace-matrix}}
+Die Beschreibung mit der Matrix~\eqref{buch:graphen:eqn:linkmatrix}
+``vergisst'' den ``Namen'' der Kante, die eine Verbindung zwischen zwei
+Knoten herstellt.
+Damit ist sie keine geeignete Grundlage, um beschriftete Graphen einer
+Matrixbeschreibung zuzuführen.
+Eine solche muss eine Matrix verwenden, nicht nur das Vorhandensein einer
+Verbindung wiedergibt, sondern ausdrückt, welche Kante welche beiden
+Knoten miteinander verbindet.
+Dies führt auf die sogenannte Ajazenz-Matrix.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:def:adjazenz-matrix}
+Ist $G=(V,E)$ ein gerichteter Graph mit $n=|G|$ Vertizes und $m=|E|$ Kanten,
+dann ist die zugehörige {\em Adjazenz-Matrix} $A=A(G)$ eine $n\times m$-Matrix.
+In der Spalte $k$ wird der Anfangspunkt der Kante $k$ mit $-1$, der Endpunkt
+mit $+1$ angezeigt, die übrigen Einträge sind $0$.
+$A$ hat also die Matrixelemente
+\begin{equation}
+a_{ik}
+=
+\begin{cases}
+-1&\qquad $i=a(k)\\
++1&\qquad $i=e(k)\\
+0&\qquad\text{sonst}
+\end{cases}
+\label{buch:eqn:ajazenz-matrix}
+\end{equation}
+\end{definition}
 
-\subsection{Die Laplace-Matrix
-\label{subsection:laplace-matrix}}
+Der wesentliche Unterschied dieser Definition von der Matrix $H$ 
+liegt in der Bedeutung der Einträge.
+Für $H$ drückt ein nicht verschwindendes Matrixelement das Vorhandensein
+einer Kante aus, in $A$ ist es die Tatsache, dass in diesem Knoten
+eine Kante endet.
 
 
 
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cgit v1.2.1

