From 18fb6543de96f23cfa254005a045e1595f48cff2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 24 May 2021 13:58:26 +0200 Subject: =?UTF-8?q?Kapitel=20=C3=BCber=20spektrale=20Graphentheorie?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/chapters/70-graphen/spektral.tex | 335 +++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 332 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/70-graphen/spektral.tex') diff --git a/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex b/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex index bc5c425..571b7e1 100644 --- a/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex +++ b/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex @@ -119,15 +119,344 @@ Der Beweis von Satz~\ref{buch:satz:chrind} zeigt, dass man sich die chromatische Zahl als ein Mass dafür, wieviele solche anabhängige Mengen in einem Grapehn untergebracht werden können. +% +% Chromatische Zahl und maximaler Grad +% \subsection{Chromatische Zahl und maximaler Grad \label{buch:subsection:chr-und-maximaler-grad}} +Wenn kein Knoten mehr als $d$ Nachbarn hat, dann reichen +$d+1$ Farben immer, um diesen Knoten und seine Nachbarn einzufärben. +Das heisst aber noch nicht, dass dann auch $d+1$ Farben zur +Einfärbung des ganzen Graphen reichen. +Genau dies garantiert jedoch der folgende Satz. + +\begin{definition} +Der {\em maximale Grad} +\( +\max_{v\in V} \deg(v) +\) +wird mit $d$ bezeichnet. +\end{definition} + +\begin{satz} +\label{buch:graphen:satz:chrmaxgrad} +Ist $G$ ein Graph mit maximalem Grad $d$, dann gilt +$\operatorname{chr}G \le d+1$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Wir führen den Beweis mit Hilfe von vollständiger Induktion nach der +Anzahl Knoten eines Graphen. +Ein Graph mit nur einem Knoten hat keine Kanten, der maximale Grad ist +daher $0$ und $d+1=1$ Farbe reicht auch tatsächlich zur Einfärbung des +einen Knotens. -\subsection{Maximaler Eigenwert von $A(G)$ maximaler Grad +Wir nehmen jetzt an, die Behaupt sei für Graphen mit $n-1$ Knoten bereits +bewiesen, ein Graph $G'$ mit $n-1$ Knoten und maximalem Grad $d'$ erfüllt +also die Ungleichung $\operatorname{chr}G'\le d'+1$. + +Wir wählen jetzt einen beleibigen Knoten $v$ des Graphen $G$ und bilden +den Graphen $G'$, der aus $G$ entsteht, indem man den Knoten $v$ +entfernt: $G'=G\setminus\{v\}$. +Der maximale Grad $d'$ von $G'$ kann dabei nicht grösser werden, es ist +also $d'\le d$. +Da $G'$ genau $n-1$ Knoten hat, lässt er sich mit höchstens $d'+1\le d+1$ +Farben einfärben. +Es muss jetzt also nur noch eine Farbe für den Knoten $v$ gefunden werden. +Da $d$ der maximale Grad ist, hat $v$ höchstens $d$ Nachbarn, die höchstens +$d$ verschiedene Farben haben können. +Von den $d+1$ zur Verfügung stehenden Farben bleibt also mindestens eine +übrig, mit der man den Knoten $v$ einfärben kann. +Damit ist der Induktionsschritt gelungen und somit der Satz bewiesen. +\end{proof} + +Das Argument im Beweis von Satz~\ref{buch:graphen:satz:chrmaxgrad} +ist für alle Begriffe anwendbar, die sich bei der Bildung eines +Untergraphen auf ``monotone'' Art ändern. +Die chromatische Zahl eines Untergraphen ist höchstens so gross wie die +des ganzen Graphen. +Dann kann man eine Ungleichung für grosse Graphen schrittweise aus +entsprechenden Ungleichungen für die kleineren Teilgraphen gewinnen. +Ziel der folgenden Abschnitte ist zu zeigen, dass sich eine Grösse +mit ähnlichen Eigenschaften aus dem Eigenwertspektrum der Adjazenzmatrix +ablesen lässt. +Daraus ergibt sich dann eine bessere Abschätzung der chromatischen Zahl +eines Graphen. + +% +% maximaler Eigenwert und maximaler Grad +% +\subsection{Maximaler Eigenwert von $A(G)$ und maximaler Grad \label{buch:subsection:maximaler-eigenwert}} +Die Adjazenzmatrix $A(G)$ eines Graphen $G$ mit $n$ Knoten enthält unter +anderem auch die Information über den Grad eines Knotens. +Die Summe der Elemente einer Zeile oder einer Spalte ergibt einen Vektor, +der die Grade der Knoten als Komponenten enthält. +Ist $U$ ein $n$-dimensionaler Vektor aus lauter Einsen, dann ist +ist $A(G)U$ ein Spaltenvektor bestehend aus den Zeilensummen der Matrix +$A(G)$ und +$U^tA(G)$ ein Zeilenvektor bestehend aus den Spaltensummen. +$A(G)U$ ist also der Vektor der Grade der Knoten. + +Das Skalarprodukt von $A(G)U$ mit $U$ ist die Summe der Grade. +Somit ist +\begin{equation} +\frac{\langle A(G)U,U\rangle}{\langle U,U\rangle} += +\frac{1}{\langle U,U\rangle}\sum_{v\in V}\deg(v) += +\frac{1}{n}(d_1+\dots+d_n) +\label{buch:graphen:eqn:AUdavg} +\end{equation} +der mittlere Grad, der mit $\overline{d}$ bezeichnet werden soll. -\subsection{$\alpha_{\text{max}}$ eines Untegraphen +Da $A(G)$ eine symmetrische Matrix ist, ist $A(G)$ diagonalisierbar, +die Eigenwerte sind also alle reell. +Es ist ausserdem bekannt, dass der Eigenvektor $f$ zum grössten Eigenwert +$\alpha_{\text{max}}$ von $A(G)$ +den Bruch +\[ +\frac{\langle A(G)f,f\rangle}{\langle f,f\rangle} +\] +für Vektoren $f\ne 0$ maximiert. +Aus~\eqref{buch:graphen:eqn:AUdavg} folgt damit, dass +\begin{equation} +\overline{d} +\le +\alpha_{\text{max}} +\label{buch:graphen:eqn:dqueramax} +\end{equation} +ist. + +In Abschnitt~\ref{buch:section:positive-vektoren-und-matrizen} +des nächsten Kapitels wird die Perron-Frobenius-Theorie positiver +Matrizen vorgestellt, welche einer Reihe interessanter Aussagen +über den betragsgrössten Eigenwert und den zugehörigen Eigenvektor +macht. +Die Adjazenz-Matrix ist eine nichtnegative Matrix und $\alpha_{\text{max}}$ +ist der grösste Eigenwert, also genau die Grösse, auf die die +Sätze~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:perron-frobenius} +und \label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:perron-frobenius2} +anwendbar sind. +Dazu muss die Matrix allerdings primitiv sein, was gleichbedeutend +ist damit, dass der Graph zusammenhängend ist. +Im folgenden soll dies daher jeweils angenommen werden. + +\begin{satz} +Ist $G$ ein zusammenhänger Graph mit $n$ Knoten und maximalem Grad $d$, +dann gilt +\[ +\frac1n\sum_{v\in V} \deg(v) += +\overline{d} +\le \alpha_{\text{max}} \le d. +\] +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Wir wissen aus \eqref{buch:graphen:eqn:dqueramax} bereits, dass +$\overline{d}\le\alpha_{\text{max}}$ gilt, es bleibt also nur noch +$\alpha_{\text{max}}\le d$ zu beweisen. + +Sei $f$ der Eigenvektor zum Eigenwert $\alpha_{\text{max}}$. +Nach Satz~\label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:perron-frobenius2} +ist $f$ ein positiver Vektor mit der Eigenschaft $A(G)f=\alpha_{\text{max}}f$. +Der Eigenvektor $f$ ist eine Funktion auf den Knoten des Graphen, +die $v$-Komponente des Vektors $f$ für einen Vertex $v\in V$ ist $f(v)$. +Die Eigenvektoreigenschaft bedeutet $(A(G)f)(v)=\alpha_{\text{max}} f(v)$. +Die Adjazenzmatrix $A(G)$ enthält in Zeile $v$ Einsen genau für diejenigen +Knoten $u\in V$, die zu $v$ benachbart sind. +Schreiben wir $u\sim v$ für die Nachbarschaftsrelation, dann ist +\[ +(A(G)f)(v) += +\sum_{u\sim v} f(u). +\] +Die Summe der Komponenten $A(G)f$ kann man erhalten durch Multiplikation +von $A(G)f$ mit einem Zeilenvektor $U^t$ aus lauter Einsen, also +\begin{equation} +\begin{aligned} +\sum_{v\in V}\sum_{u\sim v}f(v) +&= +U^tA(G)f += +(U^tA(G))f += +\begin{pmatrix}d_1&d_2&\dots&d_n\end{pmatrix} f +\\ +&= +\sum_{v\in V}\deg (v) f(v) +\le +\sum_{v\in V}df(v) += +d +\sum_{v\in V}f(v). +\end{aligned} +\label{buch:graphen:eqn:sumkomp} +\end{equation} +Andererseits ist $A(G)f=\alpha_{\text{max}}f$, die linke Seite +von~\eqref{buch:graphen:eqn:sumkomp} ist daher +\begin{equation} +\sum_{v\in V}\sum_{u\sim v}f(v) += +U^tA(G)f += +\alpha_{\text{max}} +U^tf += +\alpha_{\text{max}} \sum_{v\in V}f(v). +\label{buch:graphen:eqn:sumkomp2} +\end{equation} +Die Ungleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:sumkomp} +und die Gleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:sumkomp2} ergeben zusammen +die Ungleichung +\[ +\alpha_{\text{max}} \sum_{v\in V}f(v) +\le d\sum_{v\in V}f(v) +\qquad\Rightarrow\qquad +\alpha_{\text{max}} \le d, +\] +da die Summe der Komponenten des positiven Vektors $f$ nicht verschwinden +kann. +Damit ist die Ungleichung bewiesen. +\end{proof} + +% +% alpha_max eines Untergraphen +% +\subsection{$\alpha_{\text{max}}$ eines Untergraphen \label{buch:subsection:alphamax-eines-untergraphen}} +Der grösste Eigenwert $\alpha_{\text{max}}$ ist ein potentieller +Anwärter für eine bessere Abschätzung der chromatischen Zahl. +Bereits früher wurde bemerkt, dass dies auch bedeutet, dass man +das Verhalten des grössten Eigenwerts bei einem Übergang zu einem +Untergraphen verstehen muss. -\subsection{Chromatische Zahl und $\alpha_{\text{max}}$ +\begin{satz} +\label{buch:graphen:satz:amaxuntergraph} +Sei $G'$ ein echter Untergraph von $G$ mit Adjazenzmatrix $A(G')$ und +grösstem Eigenwert $\alpha_{\text{max}}'=\varrho(A(G'))$, dann ist +$\alpha_{\text{max}}' \le \alpha_{\text{max}}$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Sei $f'$ der positive Eigenvektor zum Eigenwert $\alpha_{\text{max}}'$ +der Matrix $A(G')$. +$f'$ ist definiert auf der Menge $V'$ der Knoten von $G'$. +Aus $f'$ lässt sich ein Vektor $g$ mit den Werten +\[ +g(v) += +\begin{cases} +f'(v)&\qquad v\in V'\\ + 0&\qquad\text{sonst} +\end{cases} +\] +konstruieren, der auf ganz $V$ definiert ist. + +Die Vektoren $f'$ und $g$ haben die gleichen Komponenten, also ist auch +$\langle f',f'\rangle = \langle g,g\rangle$. +Die Matrixelemente von $A(G')$ und $A(G)$ auf gemeinsamen Knoten $u,v\in V'$ +erfüllen $A(G')_{uv}\le A(G)_{uv}$, da jede Kante von $G'$ auch in $G$ ist. +Daher gilt +\[ +\langle A(G')f',f'\rangle +\le +\langle A(G)g,g\rangle, +\] +woraus sich die Ungleichung +\[ +\alpha_{\text{max}}' += +\frac{\langle A(G')f',f'\rangle}{\langle f',f'\rangle} += +\frac{\langle A(G)g,g\rangle}{\langle g,g\rangle} +\le +\alpha_{\text{max}} +\] +ergibt, da $\alpha_{\text{max}}$ das Maximum von +$\langle A(G)h,h\rangle/\langle h,h\rangle$ für alle Vektoren $h\ne 0$ ist. +\end{proof} + +% +% Der Satz von Wilf +% +\subsection{Chromatische Zahl und $\alpha_{\text{max}}$: Der Satz von Wilf \label{buch:subsection:chr-und-alpha-max}} +Die in Satz~\ref{buch:graphen:satz:amaxuntergraph} beschriebene +Eigenschaft von $\alpha_{\text{max}}$ beim Übergang zu einem Untergraphen +ermöglich jetzt, eine besser Abschätzung für die chromatische Zahl +zu finden. + +\begin{satz}[Wilf] +\label{buch:graphen:satz:wilf} +Sie $G$ ein zusammenhängder Graph und $\alpha_{\text{max}}$ der grösste +Eigenwert seiner Adjazenzmatrix. Dann gilt +\[ +\operatorname{chr}G\le \alpha_{\text{max}}+1. +\] +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Wie der Satz~\ref{buch:graphen:satz:chrmaxgrad} kann auch der Satz von Wilf +mit Hilfe von vollständiger Induktion über die Anzahl $n$ der Knoten +bewiesen werden. + +Ein Graph mit nur einem Knoten hat die $0$-Matrix als Adjazenzmatrix, +der maximale Eigenwert ist $\alpha_{\text{max}}=0$, und tatsächlich reicht +$\alpha_{\text{max}}+1=1$ Farbe, um den einen Knoten einzufärben. + +Wir nehmen jetzt an, der Satz sei für Graphen mit $n-1$ Knoten bereits +beweisen. +Wir müssen dann zeigen, dass der Satz dann auch für Graphen mit $n$ Knoten +gilt. + +Sei $v\in V$ ein Knoten minimalen Grades und $G'=G\setminus{v}$ der +Untergraph, der entsteht, wenn der Knoten $v$ entfernt wird. +Da $G'$ genau $n-1$ Knoten hat, gilt der Satz von Wilf für $G'$ +und daher kann $G'$ mit höchstens +\[ +\operatorname{chr}G' \le 1 + \alpha_{\text{max}}' +\] +Farben eingefärbt werden. +Nach Satz~\ref{buch:graphen:satz:amaxuntergraph} ist +$\alpha_{\text{max}}'\le \alpha_{\text{max}}$, +Also kann $G'$ mit höchstens $\alpha_{\text{max}}+1$ Farben eingefärbt werden. + +Da $v$ ein Knoten minimalen Grades ist, ist sein Grad +$d(v)\le \overline{d}\le \alpha_{\text{max}}$. +Die Nachbarn von $v$ haben also hächstens $\alpha_{\text{max}}$ verschiedene +Farben, mit einer weiteren Farbe lässt sich also auch $G$ einfärben. +Daraus folgt $\operatorname{chr}G\le \alpha_{\text{max}}+1$. +\end{proof} + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/70-graphen/images/nine.pdf} +\caption{Beispiel für einen Graphen, für den der +Satz~\ref{buch:graphen:satz:wilf} von Wilf die bessere +Abschätzung für die chromatische Zahl eines Graphen gibt als der +maximale Grad. +\label{buch:graphen:fig:wilfexample}} +\end{figure} + +\begin{beispiel} +Der Graph in Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:wilfexample} 12 Kanten und 9 +Knoten, daher ist $\overline{d}\le \frac{24}{9}$. +Der maximale Grad ist $4$ und durch explizite Rechnung mit Hilfe zum Beispiel +von Octave ergibt, dass $\alpha_{\text{max}}\approx 2.9565$. +Aus dem Satz von Wilf folgt, dass +$\operatorname{chr}G\le \alpha_{\text{max}}+1$, und daraus ergibt sich +$\operatorname{chr}G\le 3$. +Tatsächlich ist die chromatische Zahl $\operatorname{chr}G=3$, da +der Graph mindestens ein Dreieck enthält. +Der maximale Grad ist 4, somit gibt der +Satz~\ref{buch:graphen:satz:chrmaxgrad} +die Schranke +$\operatorname{chr}G\le 4+1=5$ +für die chromatische Zahl. +Der Satz von Wilf ist also eine wesentliche Verbesserung. +\end{beispiel} + + -- cgit v1.2.1