From ac5d5a9f18fb6b3ef494ae51734feabed701a1f3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Sat, 11 Sep 2021 13:35:10 +0200
Subject: chapter 9

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 buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/chapter.tex | 8 ++++++--
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index 85b6d8c..270c44a 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/chapter.tex
@@ -12,8 +12,8 @@ jedem Vektor einen neuen Vektor zuordnet.
 Es ist daher nicht abwegig zu erwarten, dass sich 
 die Zeitentwicklung eines vom Zufall beeinflussten Systems, welches sich
 in mehreren verschiedenen Zuständen befinden kann, ebenfalls mit Hilfe
-von Matrizen beschreiben lässt.
-Eine solche Beschreiben ermöglicht leicht Verteilungen,
+von Matrizen modellieren lässt.
+Eine solche Beschreibung ermöglicht Verteilungen,
 Erwartungswerte und stationäre Zustände zu ermitteln.
 
 Im Abschnitt~\ref{buch:section:google-matrix} wird an Hand der Google
@@ -22,6 +22,10 @@ auf eine Matrix führt.
 Abschnitt~\ref{buch:section:diskrete-markov-ketten} stellt dann die abstrakte
 mathematische Theorie der Markov-Ketten dar und behandelt einige wichtige
 Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmatrizen.
+Sie folgen aus den Eigenschaften positiver Matrizen und Vektoren, 
+die die Theorie von Perron und Frobenius in
+Abschnitt~\ref{buch:section:positive-vektoren-und-matrizen}
+beweist.
 Es stellt sich heraus, dass thermodynamische Quantensysteme sehr gut
 mit solchen Matrizen beschrieben werden können, zum Beispiel kann man
 einfache Formen von Laser auf diese Art behandeln.
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cgit v1.2.1

