From ac5d5a9f18fb6b3ef494ae51734feabed701a1f3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Sat, 11 Sep 2021 13:35:10 +0200
Subject: chapter 9

---
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@@ -18,7 +18,10 @@ werden.
 % 
 \subsection{Markov-Eigenschaft}
 % XXX Notation, Zustände, Übergangswahrscheinlichkeit
-Ein stochastischer Prozess ist eine Familie von Zustandsvariablen
+Ein stochastischer Prozess ist eine Familie von Zufallsvariablen
+\index{stochastischer Prozess}%
+\index{Prozess, stochastisch}%
+\index{Zufallsvariable}%
 $X_t$ mit Werten in einer Menge $\mathcal{S}$ von Zuständen.
 Der Parameter $t$ wird üblicherweise als die Zeit interpretiert,
 er kann beliebige reelle Werte oder diskrete Werte annahmen, im letzten
@@ -36,6 +39,7 @@ Zustands $s\in\mathcal{S}$ zu einem späteren Zeitpunkt $t_1>t_0$
 zu studieren.
 Das Ereignis $\{X_t = x\}$ kann man sich als abhängig von der Vorgeschichte
 vorstellen.
+\index{Vorgeschichte}%
 Die Vorgeschichte besteht dabei aus dem Eintreten gewisser Ereignisse
 \[
 \{X_0=x_0\},
@@ -47,7 +51,7 @@ Die Vorgeschichte besteht dabei aus dem Eintreten gewisser Ereignisse
 zu früheren Zeiten $t_0<t_1<\dots<t_n<t$.
 Die bedingte Wahrscheinlichkeit
 \begin{equation}
-P(X_t = x|
+P(X_t = x \mid
 X_{t_n}=x_n\wedge X_{t_{n-1}}=x_{n-1}\wedge\dots\wedge X_{t_1}=x_1\wedge
 X_{t_0}=x_0)
 \label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:historybedingt}
@@ -58,6 +62,7 @@ die Zustände $x_0,x_1,\dots,x_n$ durchlaufen hat.
 
 \subsubsection{Gedächtnislosigkeit}
 % XXX Gedächtnislösigkeit, Markov-Eigenschaft
+\index{Markov-Eigenschaft}%
 In vielen Fällen ist nur der letzte durchlaufene Zustand wichtig.
 Die Zustände in den Zeitpunkten $t_0<\dots<t_{n-1}$ haben dann keinen
 Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit.
@@ -73,25 +78,26 @@ $x_0,\dots,x_n,x\in \mathcal{S}$ die
 Wahrscheinlichkeit~\eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:historybedingt}
 nicht von der Vorgeschichte abhängt, also
 \[
-P(X_t = x|
+P(X_t = x\mid
 X_{t_n}=x_n\wedge X_{t_{n-1}}=x_{n-1}\wedge\dots\wedge X_{t_1}=x_1\wedge
 X_{t_0}=x_0)
 =
-P(X_t = x|
+P(X_t = x \mid
 X_{t_n}=x_n).
 \]
 \index{Markov-Eigenschaft}
 \end{definition}
 
-Die Wahrscheinlichkeiten $P(X_t=x|X_s=y)$ mit $t>s$ bestimmen das
+Die Wahrscheinlichkeiten $P(X_t=x\mid X_s=y)$ mit $t>s$ bestimmen das
 zeitliche Verhalten der Wahrscheinlichkeiten vollständig.
 Wir schreiben daher auch
 \[
 p_{xy}(t, s)
 =
-P(X_t = x|X_s=y)
+P(X_t = x\mid X_s=y)
 \]
 für die sogenannte {\em transiente Übergangswahrscheinlichkeit}.
+\index{transiente Übergangswahrscheinlichkeit}%
 Für eine endliche Menge von Zuständen, können die transienten
 Übergangswahrscheinlichkeiten auch als zeitabhängige 
 quadratische Matrix $P(s,t)$ geschrieben werden, deren
@@ -105,13 +111,14 @@ mit den Zuständen $x,y\in\mathcal{S}$ indiziert sind.
 
 \subsubsection{Die Chapman-Kolmogorov-Gleichung}
 % XXX Chapman-Kolmogorov-Gleichung
+\index{Chapman-Kolmogorov-Gleichung}%
 Man beachte, dass in der Definition der Markov-Eigenschaft
 keine Voraussetzungen darüber gemacht werden, wie nahe
 am Zeitpunkt $t$ der letzte Zeitpunkt $t_n$ der Vorgeschichte liegt.
 Die transienten Übergangswahrscheinlichkeiten $p_{xy}(s,t)$ werden
 aber im allgemeinen davon abhängen, wie weit in der Vergangenheit
 der Zeitpunkt $s<t$ liegt.
-Für eine näheren Zeitpunkt $\tau$ mit $s<\tau <t$ muss es daher
+Für einen näheren Zeitpunkt $\tau$ mit $s<\tau <t$ muss es daher
 einen Zusammenhang zwischen den transienten Übergangswahrscheinlichkeiten
 $p_{xy}(s,\tau)$, $p_{xy}(\tau,t)$ und $p_{xy}(s,t)$ geben.
 
@@ -187,16 +194,18 @@ Es ist üblich, für die Zeitpunkte ganze oder natürliche Zahlen zu
 verwenden.
 
 \begin{definition}
-Eine diskrete Markov-Kette ist ein stochastischer Prozess
+Eine {\em diskrete Markov-Kette} ist ein stochastischer Prozess
 $(X_t)_{t\in\mathbb{N}}$ mit Werten in $\mathcal{S}$, der die
 Markov-Eigenschaft
 \[
-P(X_{n+1}=x_{n+1}|X_n=x_n\wedge\dots X_0=x_0)
+P(X_{n+1}=x_{n+1}\mid X_n=x_n\wedge\dots X_0=x_0)
 =
-P(X_{n+1}=x_{n+1}|X_n=x_n)
+P(X_{n+1}=x_{n+1}\mid X_n=x_n)
 \]
 hat.
 \end{definition}
+\index{diskrete Markov-Kette}%
+\index{Markov-Kette, diskret}%
 
 \begin{figure}
 \centering
@@ -220,8 +229,9 @@ p_{11}(n+1,n) & \dots  & p_{1s}(n+1,n)\\
 p_{11}(n+1,n) & \dots  & p_{1s}(n+1,n)
 \end{pmatrix},
 \]
-auch die $1$-Schritt Übergangswahrscheinlichkeit genannt, kann man jetzt
+auch die $1$-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeit genannt, kann man jetzt
 auch die Matrix der Überganswahrscheinlichkeiten für mehrere Schritte
+\index{Ubergangswahrscheinlichkeit@Übergangswahrscheinlichkeit}%
 \[
 T(n+m,n)
 =
@@ -239,12 +249,12 @@ verwendet werden, wenn sie zwei Bedingungen erfüllt:
 \begin{enumerate}
 \item Die Einträge von $T$ müssen als Wahrscheinlichkeiten interpretiert
 werden können, sie müssen also alle zwischen $0$ und $1$ sein:
-$0\le t_{ij}\le 1$ für $i,j\in\mathcal{S}$
+$0\le t_{i\!j}\le 1$ für $i,j\in\mathcal{S}$
 \item Die Matrix muss alle möglichen Fälle erfassen.
 Dazu ist notwendig, dass sich die Wahrscheinlichkeiten aller Übergänge
 aus einem Zustand $j$ zu $1$ summieren, also
 \[
-\sum_{i\in\mathcal{S}} p_{ij} = 1.
+\sum_{i\in\mathcal{S}} p_{i\!j} = 1.
 \]
 Die Summe der Elemente einer Spalte 
 \end{enumerate}
@@ -252,6 +262,7 @@ Die Summe der Elemente einer Spalte
 \begin{beispiel}
 Die Permutationsmatrix einer Permutation $\sigma\in S_n$ 
 (Abschnitt~\label{buch:section:permutationsmatrizen})
+\index{Permutationsmatrix}%
 ist eine Matrix mit Einträgen $0$ und $1$, so dass die erste Bedingung
 erfüllt ist.
 In jeder Zeile oder Spalte kommt genau eine $1$ vor, so dass auch die
@@ -269,8 +280,8 @@ p_i(n)
 =
 P(X_i=n)
 \]
-geschrieben, die auch in einem Vektor $p(n)$ zusammengefasst
-werden können.
+geschrieben, die auch in einem Vektor $p(n)$ mit den Komponten
+$p_i(n)$ zusammengefasst werden können.
 Die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten erlaubt, die Verteilung
 $p(n+1)$ aus der Verteilung $p(n)$ zu berechnen.
 Nach dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ist nämlich
@@ -278,9 +289,9 @@ Nach dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ist nämlich
 P(X_{n+1}=x)
 =
 \sum_{y\in\mathcal{S}} 
-P(X_{n+1}=x|X_n=y) P(X_n=y)
+P(X_{n+1}=x\mid X_n=y) P(X_n=y)
 \qquad\text{oder}\qquad
-p^{(n+1)} = T(n+1,n) p^{(n)}
+p(n+1) = T(n+1,n) p(n)
 \]
 in Matrixform.
 Die Zeitentwicklung kann also durch Multiplikation mit der Übergangsmatrix
@@ -288,6 +299,7 @@ berechnet werden.
 
 \subsubsection{Zeitunabhängige Übergangswahrscheinlichkeiten}
 % XXX Übergangswahrscheinlichkeit
+\index{zeitunabhängige Übergangswahrscheinlichkeiten}
 Besonderes einfach wird die Situation, wenn die Übergangsmatrix $T(n+1,n)$
 nicht von der Zeit abhängt.
 In diesem Fall ist $T(n+1,n) = T$ für alle $n$.
@@ -311,32 +323,41 @@ homogene Markov-Kette mit Übergangsmatrix $T$, wenn $Tp=p$.
 \end{definition}
 
 Eine stationäre Verteilung ist offenbar ein Eigenvektor der Matrix
-$T$  zum Eigenwert $1$.
+$T$ zum Eigenwert $1$.
 Gefunden werden kann er als Lösung des Gleichungssystems $Tp=p$.
-Dazu muss die Matrix $T-E$ singulär sein.
-Die Summe einer Spalte von $T$ ist aber immer ein, da $E$ in jeder Spalte
+Dazu muss aber die Matrix $T-I$ singulär sein, wie man wie folgt
+einsehen kann.
+Die Summe einer Spalte von $T$ ist aber immer $1$, da sich die
+Wahrscheinlichkeiten zu $1$ summieren müssen.
+Da die Einheitsmatrix $I$ in jeder Spalte
 genau eine $1$ enthält, ist die Summe der Einträge einer Spalte von
-$T-E$ folglich $0$.
-Die Summe aller Zeilen von $T-E$ ist also $0$, die Matrix $T-E$ 
+$I$ ebenfalls $1$.
+Die Summe einer Spalte von $T-I$ ist folglich $0$.
+Die Summe aller Zeilen von $T-I$ ist also $0$, die Matrix $T-I$ 
 ist singulär.
-Dies garantiert aber noch nicht, dass alle Einträge in diesem
-Eigenvektor auch tatsächlich nichtnegativ sind.
+
+Dass $T-I$ singulär ist, garantiert aber noch nicht,
+dass alle Einträge in einem zum Eigenwert $1$
+Eigenvektor auch tatsächlich nichtnegativ gewählt werden können.
 Die Perron-Frobienus-Theorie von
+\index{Perron-Frobenius-Theorie}%
 Abschnitt~\ref{buch:section:positive-vektoren-und-matrizen}
-beweist, dass sich immer ein Eigenvektor mit nichtnegativen
-Einträgen finden lässt.
+beweist, dass genau dies immer möglich ist.
 
-Es ist aber nicht garantiert, dass eine stationäre Verteilung
+Es ist nicht garantiert, dass eine stationäre Verteilung
 auch eindeutig bestimmt ist.
 Dieser Fall tritt immer ein, wenn die geometrische Vielfachheit
 des Eigenwerts $1$ grösser ist als $1$.
 In Abschnitt~\ref{buch:subsection:elementare-eigenschaften}
 werden Bedingungen an eine Matrix $T$ untersucht, die garantieren,
-dass der Eigenraum zum Eigenvektor $1$ einedeutig bestimmt ist.
+dass der Eigenraum zum Eigenvektor $1$ eindimensional ist.
 
 \begin{beispiel}
-Als Beispiel dafür betrachten wir eine Permutation $\sigma\in S_n$
-und die zugehörige Permutationsmatrix $P$,
+Als Beispiel dafür, dass der Eigenraum $\mathcal{E}_1(T)$
+mehrdimensional sein kann, betrachten wir eine Permutation $\sigma\in S_n$
+\index{Permutation}%
+und die zugehörige Permutationsmatrix $P_\sigma$,
+\index{Permutationsmatrix}%
 wie sie in Abschnitt~\label{buch:section:permutationsmatrizen}
 beschrieben worden ist.
 Wir verwenden die 
@@ -365,7 +386,8 @@ setzt.
 Die Konstruktion stellt sicher, dass sich die Komponenten zu $1$
 summieren.
 Wir können aus dem Beispiel auch ableiten, dass die geometrische
-Vielfachheit des Eigenvektors $1$ mindestens so gross ist wie die
+Vielfachheit des Eigenwerts $1$ einer Permutationsmatrix $P_\sigma$ 
+mindestens so gross ist wie die
 Anzahl der Zyklen der Permutation $\sigma$.
 \end{beispiel}
 
@@ -377,8 +399,9 @@ Die Zyklen können daher unabhängig voneinander studiert werden.
 Diese Idee kann auf allgemeine Markov-Ketten verallgemeinert werden.
 
 \begin{definition}
-Zwei Zustände $i,j\in\mathcal{S}$ kommunizieren, wenn die
-Übergangswahrscheinlichkeiten $T_{ij}(n) \ne 0$ und $T_{ij}(n)\ne 0$ sind
+Zwei Zustände $i,j\in\mathcal{S}$ {\em kommunizieren}, wenn die
+\index{kommunizieren}%
+Übergangswahrscheinlichkeiten $T_{i\!j}(n) \ne 0$ und $T_{i\!j}(n)\ne 0$ sind
 für $n$ gross genug.
 \end{definition}
 
@@ -407,12 +430,14 @@ Solche Markov-Ketten können unabhängig voneinander studiert werden.
 
 Die Bedingung der Irreduzibilität ist gleichbedeutend damit,
 dass für genügend grosses $n$ alle Matrixelemente von $T^n$ positiv sind.
-Solche Matrizen nennt man positiv, 
+Solche Matrizen nennt man {\em positiv}, 
+\index{positive Matrix}%
 in Abschnitt~\ref{buch:section:positive-vektoren-und-matrizen}
 wird gezeigt, dass positive Matrizen immer eine eindeutige
 stationäre Verteilung haben.
 In Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:markovzerfall}
 ist eine reduzible Markov-Kette dargestellt, die Zustandsmenge
+\index{reduzible Markov-Kette}%
 zerfällt in zwei Teilmengen von Zuständen, die nicht miteinander
 kommunizieren.
 Ein irreduzible Markov-Kette liegt vor, wenn sich ähnlich wie
@@ -420,7 +445,7 @@ in Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:diskretemarkovkette}
 jeder Zustand von jedem anderen aus erreichen lässt.
 
 Wenn sich der Vektorraum $\mathbb{R}^n$ in zwei unter $T$ invariante
-Unterräme zerlegen lässt, dann hat nach Wahl von Basen in den Unterräumen
+Unterräume zerlegen lässt, dann hat nach Wahl von Basen in den Unterräumen
 die Matrix $T$ die Form
 \[
 \left(
@@ -483,7 +508,7 @@ Die stationären Verteilungen
 \operatorname{Stat}(T)
 =
 \{
-p\in\mathbb R_+^n\;|\; \text{$Tp=p $ und $\|p\|_1=1$}
+p\in\mathbb R_+^n \mid \text{$Tp=p $ und $\|p\|_1=1$}
 \}
 \]
 bilden was man eine konvexe Menge nennt.
@@ -495,7 +520,7 @@ Jede Verteilung auf der ``Verbindungsstrecke'' zwischen den beiden
 Verteilungen ist auch wieder stationär.
 
 \begin{definition}
-Eine {\em konvexe Kombination} von Vektoren $v_1,\dots,v_k\in\mathbb{R^n}$
+Eine {\em konvexe Kombination} von Vektoren $v_1,\dots,v_k\in\mathbb{R}^n$
 ist ein Vektor der Form
 \[
 v=t_1v_1+\dots + t_kv_k
@@ -512,7 +537,8 @@ wieder in $M$ ist.
 
 Die konvexen Kombinationen der Vektoren sind Linearkombination
 mit nichtnegativen Koeffizienten. Sie bilden im Allgemeinen
-einen $(k-1)$-Simplex in $\mathbb{R}^n$.
+einen $(k-1)$-Simplex in $\mathbb{R}^n$ (siehe auch
+Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:konvex}).
 Für zwei Punkte $x$ und $y$ bilden die konvexen Kombination
 $tx+(1-t)y$ für $t\in[0,1]$ die Verbindungsstrecke der beiden
 Vektoren.
@@ -527,7 +553,7 @@ ihre Verbindungsstrecke enthält
 Im Beispiel der Google-Matrix wurde ein iterativer Algorithmus
 zur Berechnung des Pagerank verwendet.
 Es stellt sich daher die Frage, ob diese Methode für andere homogene
-Markov-Ketten auch funkioniert.
+Markov-Ketten auch funktioniert.
 Man beginnt also mit einer beliebigen Verteilung $p(0)$ und wendet
 die Übergangsmatrix $T$ wiederholt an.
 Es entsteht somit eine Folge $p(n) = T^np(0)$.
@@ -546,8 +572,8 @@ Verteilung.
 Für eine stationäre Verteilung $p(0)$ ist die Folge $p(n)$ eine
 konstante Folge, sie konvergiert also gegen $p(0)$.
 Stationäre Verteilungen sind also automatisch Grenzverteilungen.
-Falls der Raum der stationären Verteilungen mehrdimensional sind,
-dann ist auch die Grenzverteilung nicht eindeutig bestimmt, selbst
+Falls der Raum der stationären Verteilungen mehrdimensional ist,
+braucht die Grenzverteilung nicht eindeutig bestimmt zu sein, selbst
 wenn sie existiert.
 Aber nicht einmal die Existenz einer Grenzverteilung ist garantiert,
 wie das folgende Beispiel zeigt.
@@ -578,6 +604,8 @@ p(2)&=p(5)=p(8)=\dots =\begin{pmatrix}p_3(0)\\p_1(0)\\p_2(0)\end{pmatrix}.
 \end{align*}
 Die Folge $p(n)$ kann also nur dann konvergieren, wenn die drei
 Komponenten gleich sind.
+Insbesondere gibt es keine Grenzverteilung, wenn sie nicht alle
+gleich sind.
 \end{beispiel}
 
 \subsubsection{Erwartungswert und Varianz}
@@ -588,11 +616,11 @@ zu berechnen.
 Dazu muss jedem Zustand ein Zahlenwert zugeordnet werden.
 Sei also
 \(
-g: \mathcal{S}\to R
+g: \mathcal{S}\to \mathbb{R}
 \)
 eine Funktion, die einem Zustand eine reelle Zahl zuordnet.
 Aus der Zufallsvariable $X_n$ des Zustands zur Zeit $n$ wird daraus
-die Zufallsvariable $Y_n=g(X_n)$ des Wertes zur Zeit $n$.
+die reellwertige Zufallsvariable $Y_n=g(X_n)$ des Wertes zur Zeit $n$.
 Die Abbildung $g$ kann auch als Vektor mit der Komponenten $g_i$ 
 für $i\in\mathcal{S}$ betrachtet werden, wir verwenden für diesen
 Vektor wieder die Schreibweise $g$.
@@ -634,7 +662,7 @@ definieren.
 In Abschnitt~\ref{buch:section:paradoxon-von-parrondo} wird ein Spiel
 vorgestellt, in dem der Gewinn davon abhängt, welcher Übergang stattfindet,
 nicht welcher Zustand erreicht wird.
-Es git daher eine Matrix $G$ von Gewinnen, der Eintrag $g_{ij}$ ist
+Es git daher eine Matrix $G$ von Gewinnen, der Eintrag $g_{i\!j}$ ist
 der Gewinn, der bei einem Übergang von Zustand $j$ in den Zustand $i$
 ausgezahlt wird.
 Mit dieser Matrix lassen sich jetzt viele verschiedene Fragen beantworten:
@@ -642,7 +670,7 @@ Mit dieser Matrix lassen sich jetzt viele verschiedene Fragen beantworten:
 \begin{frage}
 \label{buch:wahrscheinlichkeit:frage1}
 Mit welchem Gewinn kann man in Runde $n$ des Spiels rechnen,
-wenn $p(n-1)$ die Verteilung zur Zeit $n-1$ ist?
+wenn die Verteilung zur Zeit $n-1$ durch $p(n-1)$ gegeben ist?
 \end{frage}
 
 Der Erwartungswert ist
@@ -664,15 +692,15 @@ einer Spielrunde im Zustand $i$ befindet?
 \end{frage}
 
 Dies ist der Spezialfall der Frage~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:frage1}
-für die Verteilung $p_j(n-1) = \delta_{ij}$.
+für die Verteilung $p_j(n-1) = \delta_{i\!j}$.
 Der Erwartungswert ist die Summe der Spalte $j$ der Matrix $G\odot T$.
 Man kann das Produkt $U^t(G\odot T)$ also auch als eine Zeilenvektor
 von Gewinnerwartungen unter der Vorbedingung $X_{n-1}=j$ betrachten.
 \[
 \begin{pmatrix}
-E(Y|X_{n-1}=1)
+E(Y\mid X_{n-1}=1)
 &\dots&
-E(Y|X_{n-1}=n)
+E(Y\mid X_{n-1}=n)
 \end{pmatrix}
 =
 U^t (G\odot T).
@@ -681,6 +709,9 @@ Indem man $G$ durch $G^{\odot k}$ ersetzt, kann man beliebige höhere
 Momente berechnen.
 
 \subsection{Absorbierende Zustände}
+In diesem Abschnitt gehen wir immer von einer irreduziblen Markov-Kette
+aus.
+
 % XXX Definition
 Eine Grenzverteilung beschreibt die relative Häufigkeit, mit der
 der Prozess in den verschiedenen Zuständen vorbeikommt.
@@ -710,13 +741,13 @@ sie für alle zukünftigen Zustände in diesem Zustand.
 
 Eine Markov-Kette kann mehrere absorbierende Zustände haben, wie in
 Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:abs} dargestellt.
-Indem man die absorbierenden Zustände zuerst auflistet, bekommt die 
-Übergangsmatrix die Form
+Indem man die absorbierenden Zustände zuerst auflistet, gefolgt von
+den transienten Zustädnen, bekommt die Übergangsmatrix die Form
 \[
 T=
 \left(
 \begin{array}{c|c}
-E&R\\
+I&R\\
 \hline
 0&Q
 \end{array}
@@ -732,7 +763,7 @@ T^2
 =
 \left(
 \begin{array}{c|c}
-E&R+RQ \\
+I&R+RQ \\
 \hline
 0&Q^2
 \end{array}
@@ -742,7 +773,7 @@ T^3
 =
 \left(
 \begin{array}{c|c}
-E&R+RQ+RQ^2 \\
+I&R+RQ+RQ^2 \\
 \hline
 0&Q^3
 \end{array}
@@ -754,18 +785,19 @@ T^k
 =
 \left(
 \begin{array}{c|c}
-E&\displaystyle R\sum_{l=0}^{k-1} Q^l \\
+I&\displaystyle R\sum_{l=0}^{k-1} Q^l \\
 \hline
 0&Q^k
 \end{array}
 \right).
 \]
-Da man früher oder später in einem absorbierenden Zustand landet,
-muss $\lim_{k\to\infty} Q^k=0$ sein.
+Wegen der angenommenen Irreduzibilität wird man
+früher oder später in einem absorbierenden Zustand landet,
+daher muss $\lim_{k\to\infty} Q^k=0$ sein.
 Die Summe in der rechten oberen Teilmatrix kann man als geometrische
 Reihe summieren, man erhält die Matrix
 \[
-\sum_{l=0}^{k-1} Q^l = (E-Q)^{-1}(E-Q^k),
+\sum_{l=0}^{k-1} Q^l = (I-Q)^{-1}(I-Q^k),
 \]
 die für $k\to\infty$ gegen
 \[
@@ -773,7 +805,7 @@ N
 =
 \lim_{k\to\infty} \sum_{l=0}^{k-1} Q^l
 =
-(E-Q)^{-1}
+(I-Q)^{-1}
 \]
 konvergiert.
 Die Matrix $N$ heisst die {\em Fundamentalmatrix} der absorbierenden
@@ -784,12 +816,13 @@ Markov-Kette.
 % XXX Absorptionszeit
 Wie lange dauert es im Mittel, bis der Prozess in einem
 Absorptionszustand $i$ stecken bleibt?
+\index{Absorbtionszeit}%
 Die Fundamentalmatrix $N$ der Markov-Kette beantwortet diese
 Frage.
-Wenn der Prozess genau im Schritt $k$ zum ersten Mal Zustand $i$
+Wenn der Prozess genau im Schritt $k$ zum ersten Mal im Zustand $i$
 ankommt, dann ist $E(k)$ die mittlere Wartezeit.
 Der Prozess verbringt also zunächst $k-1$ Schritte in transienten
-Zuständen, bevor er in einen absorbierenden Zustand wechselt.
+Zuständen, bevor er in einen absorbierenden Zustand $i$ wechselt.
 
 Wir brauchen die Wahrscheinlichkeit für einen Entwicklung des Zustandes
 ausgehend vom Zustand $j$, die nach $k-1$ Schritten im Zustand $l$
@@ -808,7 +841,7 @@ innerhalb der Menge der Pfade, die auch tatsächlich absorbiert werden,
 das ist die bedingte Wahrscheinlichkeit
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
-P(X_k = i\wedge X_{k-1} = l \wedge X_0=j|X_k=i)
+P(X_k = i\wedge X_{k-1} = l \wedge X_0=j\mid X_k=i)
 &=
 \frac{
 P(X_k = i\wedge X_{k-1} = l \wedge X_0=j)
@@ -833,25 +866,25 @@ E(k)
 &=
 \sum_{k=0}^\infty
 k(
-q^{(k)}_{lj} 
+q^{(k)}_{l\!j} 
 -
-q^{(k-1)}_{lj} 
+q^{(k-1)}_{l\!j} 
 )
 \notag
 \\
 &=
 \dots
 +
-(k+1)(
-q^{(k)}_{lj} 
+k(
+q^{(k-1)}_{l\!j} 
 -
-q^{(k+1)}_{lj} 
+q^{(k)}_{l\!j} 
 )
 +
-k(
-q^{(k-1)}_{lj} 
+(k+1)(
+q^{(k)}_{l\!j} 
 -
-q^{(k)}_{lj} 
+q^{(k+1)}_{l\!j} 
 )
 +
 \dots
@@ -860,23 +893,44 @@ q^{(k)}_{lj}
 &=
 \dots
 +
-q^{(k-1)}_{lj}
+k
+q^{(k-1)}_{l\!j} 
+\underbrace{
+\mathstrut
+-
+q^{(k)}_{l\!j} 
++
+(k+1)
+q^{(k)}_{l\!j} }_{\displaystyle q^{(k)}_{l\!j}}
+\mathstrut
+-
+(k+1)
+q^{(k+1)}_{l\!j} 
++
+\dots
+\\
+&=
+\dots
++
+q^{(k)}_{l\!j}
 +
 \dots
 =
-\sum_{k} q^{(k)}_{lj}.
+\sum_{k} q^{(k)}_{l\!j}.
 \notag
 \end{align}
 In zwei benachbarten Termen in 
 \eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:telescope}
-heben sich die Summanden $kq^{(k)}_{lj}$ weg, man spricht von
+heben sich die Summanden $kq^{(k)}_{l\!j}$ weg, man spricht von
 einer teleskopischen Reihe.
+\index{teleskopische Reihe}%
 Die verbleibenden Terme sind genau die Matrixelemente der Fundamentalmatrix $N$.
 Die Fundamentalmatrix enthält also im Eintrag $(l,j)$ die Wartezeit
 bis zur Absorption über den Zustand $l$.
 
 \subsubsection{Wartezeit}
 % XXX Mittlere Zeit bis zu einem bestimmten Zustand
+\index{Wartezeit}%
 Die mittlere Wartezeit bis zum Erreichen eines Zustands kann mit der
 Theorie zur Berechnung der Absorptionszeit berechnet werden.
 Dazu modifiziert man den Prozess dahingehend, dass der Zielzustand
-- 
cgit v1.2.1

