From ac5d5a9f18fb6b3ef494ae51734feabed701a1f3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 11 Sep 2021 13:35:10 +0200 Subject: chapter 9 --- buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex | 74 +++++++++++++----------- 1 file changed, 40 insertions(+), 34 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex') diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex index 50e7fda..94b39fc 100644 --- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex +++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex @@ -32,7 +32,7 @@ E(X) = 1\cdot P(X=1) + (-1)\cdot P(X=-1) = -\frac12+e + (-1)\biggl(\frac12-e\biggr) +\frac12+e + (-1)(\frac12-e) = 2e. \) @@ -41,6 +41,7 @@ Die Gewinnerwartung ist also genau dann negativ, wenn $e<0$ ist. \subsubsection{Das Spiel $B$} Das zweite Spiel $B$ ist etwas komplizierter, da der Spielablauf vom aktuellen Kapital $K$ des Spielers abhängt. +\index{Kapital}% Wieder gewinnt oder verliert der Spieler eine Einheit, die Gewinnwahrscheinlichkeit hängt aber vom Dreierrest des Kapitals ab. Sei $Y$ die Zufallsvariable, die den Gewinn beschreibt. @@ -49,9 +50,9 @@ andernfalls ist sie $\frac34$. Formell ist \begin{equation} \begin{aligned} -P(Y=1|\text{$K$ durch $3$ teilbar}) &= \frac{1}{10} +P(Y=1\mid \text{$K$ durch $3$ teilbar}) &= \frac{1}{10} \\ -P(Y=1|\text{$K$ nicht durch $3$ teilbar}) &= \frac{3}{4} +P(Y=1\mid \text{$K$ nicht durch $3$ teilbar}) &= \frac{3}{4} \end{aligned} \label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:Bwahrscheinlichkeiten} \end{equation} @@ -74,7 +75,7 @@ statt, der Eintrag $b_{ij}$ ist die Wahrscheinlichkeit \[ b_{ij} = -P(K\equiv i|K\equiv j), +P(K\equiv i\mid K\equiv j), \] dass ein Übergang vom Zustand $j$ in den Zustand $i$ stattfindet. Die Matrix ist @@ -95,11 +96,11 @@ Mit den Wahrscheinlichkeiten von findet man die Gewinnerwartung \begin{equation} \begin{aligned} -E(Y| \text{$K$ durch $3$ teilbar}) +E(Y\mid \text{$K$ durch $3$ teilbar}) &= -1\cdot P(Y=1|K\equiv 0\mod 3) +1\cdot P(Y=1\mid K\equiv 0\mod 3) + -(-1)\cdot P(Y=-1|K\equiv 0\mod 3) +(-1)\cdot P(Y=-1\mid K\equiv 0\mod 3) \\ &= \frac1{10} @@ -108,11 +109,11 @@ E(Y| \text{$K$ durch $3$ teilbar}) = -\frac{8}{10} \\ -E(Y| \text{$K$ nicht durch $3$ teilbar}) +E(Y\mid \text{$K$ nicht durch $3$ teilbar}) &= -1\cdot P(Y=1|K\not\equiv 0\mod 3) +1\cdot P(Y=1\mid K\not\equiv 0\mod 3) + -(-1)\cdot P(Y=-1|K\not\equiv 0\mod 3) +(-1)\cdot P(Y=-1\mid K\not\equiv 0\mod 3) \\ &= \frac34-\frac14 @@ -131,9 +132,9 @@ Die Gewinnerwartung in diesem Fall ist dann \begin{align} E(Y) &= -E(Y|\text{$K$ durch $3$ teilbar}) \cdot \frac13 +E(Y\mid \text{$K$ durch $3$ teilbar}) \cdot \frac13 + -E(Y|\text{$K$ nicht durch $3$ teilbar}) \cdot \frac23 +E(Y\mid\text{$K$ nicht durch $3$ teilbar}) \cdot \frac23 \notag \\ &= @@ -164,13 +165,13 @@ G=\begin{pmatrix} \end{pmatrix} \] gibt die Gewinne an, die bei einem Übergang anfallen. -Die Matrixelemente $g_{ij}b_{ij}$ des Hadamard-Produktes -$G\odot B$ -von $G$ mit $B$ enthält in den Spalten die Gewinnerwartungen +Die Matrix mit den Matrixelementen $g_{ij}b_{ij}$ ist das Hadamard-Produktes +$G\odot B$ von $G$ mit $B$. +Sie enthält in den Spalten die Gewinnerwartungen für die einzelnen Übergänge aus einem Zustand. Die Summe der Elemente der Spalte $j$ enthält die Gewinnerwartung \[ -E(Y|K\equiv j) +E(Y\mid K\equiv j) = \sum_{i=0}^2 g_{ij}b_{ij} \] @@ -181,9 +182,9 @@ $U^t=\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}$ entsteht: \[ \begin{pmatrix} -E(Y|K\equiv 0)& -E(Y|K\equiv 1)& -E(Y|K\equiv 2) +E(Y\mid K\equiv 0)& +E(Y\mid K\equiv 1)& +E(Y\mid K\equiv 2) \end{pmatrix} = U^t @@ -194,7 +195,7 @@ Die Gewinnerwartung ist dann das Produkt E(Y) = \sum_{i=0}^2 -E(Y|K\equiv i) p_i +E(Y\mid K\equiv i) p_i = U^t (G\odot B)p. @@ -247,7 +248,7 @@ Das Spiel kennt die Dreierreste als die drei für das Spiel ausschlaggebenden Zuständen. Das Zustandsdiagramm~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:spielB} zeigt die möglichen Übergänge und ihre Wahrscheinlichkeiten, die zugehörige -Matrix ist +Übergangsmatrix ist \[ B = @@ -255,7 +256,7 @@ B 0 &\frac14 &\frac34\\ \frac1{10} &0 &\frac14\\ \frac9{10} &\frac34 &0 -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}. \] Die Matrix $B$ ist nicht negativ und man kann nachrechnen, dass $B^2>0$ ist. Damit ist die Perron-Frobenius-Theorie von @@ -263,6 +264,7 @@ Abschnitt~\ref{buch:section:positive-vektoren-und-matrizen} anwendbar. Ein Eigenvektor zum Eigenwert $1$ kann mit Hilfe des Gauss-Algorithmus +\index{Gauss-Algorithmus}% gefunden werden: \begin{align*} \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} @@ -301,7 +303,7 @@ Daraus liest man einen möglichen Lösungsvektor mit den Komponenten $5$, $2$ und $6$ ab. Wir suchen aber einen Eigenvektor, der als Wahrscheinlichkeitsverteilung dienen kann. -Dazu müssen sich die Komponente zu $1$ summieren, was man durch normieren +Dazu müssen sich die Komponenten zu $1$ summieren, was man durch Normieren in der $l^1$-Norm erreichen kann: \begin{equation} p @@ -344,11 +346,13 @@ nach \begin{align*} P(Y=+1) &= -P(Y=+1|K\equiv 0) \cdot P(K\equiv 0) +P(Y=+1\mid K\equiv 0) \cdot P(K\equiv 0) + -P(Y=+1|K\equiv 1) \cdot P(K\equiv 1) +P(Y=+1\mid K\equiv 1) \cdot P(K\equiv 1) +\\ +&\qquad + -P(Y=+1|K\equiv 2) \cdot P(K\equiv 2) +P(Y=+1\mid K\equiv 2) \cdot P(K\equiv 2) \\ &= \frac{1}{10}\cdot\frac{5}{13} @@ -368,11 +372,13 @@ P(Y=+1|K\equiv 2) \cdot P(K\equiv 2) \\ P(Y=-1) &= -P(Y=-1|K\equiv 0) \cdot P(K\equiv 0) +P(Y=-1\mid K\equiv 0) \cdot P(K\equiv 0) + -P(Y=-1|K\equiv 1) \cdot P(K\equiv 1) +P(Y=-1\mid K\equiv 1) \cdot P(K\equiv 1) +\\ +&\qquad + -P(Y=-1|K\equiv 2) \cdot P(K\equiv 2) +P(Y=-1\mid K\equiv 2) \cdot P(K\equiv 2) \\ &= \frac{9}{10}\cdot\frac{5}{13} @@ -479,9 +485,9 @@ G\odot F = \begin{pmatrix} Nach der früher dafür gefundenen Formel ist \begin{align*} \begin{pmatrix} -E(Y|K\equiv 0)& -E(Y|K\equiv 1)& -E(Y|K\equiv 2) +E(Y\mid K\equiv 0)& +E(Y\mid K\equiv 1)& +E(Y\mid K\equiv 2) \end{pmatrix} &= U^t (G\odot \tilde{B}) @@ -710,10 +716,10 @@ A=\begin{pmatrix} \subsubsection{Das Spiel $C$} In jeder Durchführung des Spiels wird mit einem Münzwurf entschieden, ob Spiel $A$ oder Spiel $B$ gespielt werden soll. -Mit je Wahrscheinlichkeit $\frac12$ werden also die Übergansmatrizen +Mit Wahrscheinlichkeit je $\frac12$ werden also die Übergansmatrizen $A$ oder $B$ verwendet: \[ -P(K\equiv i|K\equiv j) +P(K\equiv i\mid K\equiv j) = A\cdot P(\text{Münzwurf Kopf}) + -- cgit v1.2.1