From a503cc5c7fcbb125ec7c220845b9e760248db233 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 26 Jan 2021 13:11:37 +0100 Subject: =?UTF-8?q?Visualisierungen=20f=C3=BCr=20Perron-Frobenius-Theorie?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex | 74 +++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 70 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex') diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex index f956374..935aa2d 100644 --- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex +++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex @@ -40,6 +40,10 @@ seine Komponenten nicht negativ sind: $v_i\ge 0\forall i$. \index{nichtnegativer Vektor}% \end{definition} +Geometrisch kann man sich die Menge der positven Vektoren in zwei Dimensionen +als die Punkte des ersten Quadranten oder in drei Dimensionen als die +Vektoren im ersten Oktanten vorstellen. + Aus der Positivität eines Vektors lässt sich jetzt eine Vergleichsrelation für beliebige Vektoren ableiten. Mit der folgenden Definition wird erreicht, das mit Ungleichungen für Vektoren @@ -177,6 +181,22 @@ ist, dass die Positivität sich manchmal ``upgraden'' lässt, wie im folgenden Satz. Er zeigt, dass ein Vektor, der grösser ist als ein anderer, auch um einen definierten Faktor $>1$ grösser ist. +Dies wird geometrisch in +Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:figure:trenn} illustriert. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/trenn.pdf} +\caption{Die Vektoren $w\le u$ liegen im grauen Rechteck. +Zwei nichtnegative Vektoren $u$ und $v$ mit $u>v$ +haben keine gleichen Komponenten. +Daher kann man $v$ mit einer Zahl $\vartheta=1+\varepsilon > 1$ +strecken, so dass der gestreckte Vektor $(1+\varepsilon)v$ gerade noch +im grauen Rechteck liegt: $u\ge (1+\varepsilon)v$. +Streckung mit einem grösseren Faktor führt dagegen aus dem Rechteck +hinaus. +\label{buch:wahrscheinlichkeit:figure:trenn}} +\end{figure} \begin{satz}[Trenntrick] \label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:trenntrick} @@ -207,12 +227,26 @@ derart, dass $u_i = (1+\varepsilon)v_i$. Diese Komponenten limitiert also, wie stark man $v$ strecken kann, so dass er immer noch $\le u$ ist. Natürlich folgt aus den der Voraussetzung $u>v$ auch, dass $u$ ein -positiver Vektor ist. +positiver Vektor ist (Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:figure:trenn}). + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf} +\caption{Eine positive Matrix $A$ bildet nichtnegative Vektoren in +positive Vektoren ab +(Korollar~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:Au>0korollar}). +Zwei verschiedene Vektoren auf einer Seitenfläche erfüllen $u\ge v$, +aber nicht $u>v$, da sie sich in der Koordinaten $x_2$ nicht unterscheiden. +Die Bilder unter $A$ unterscheiden sich dann auch in $x_2$, es gilt +$Au>Av$ (siehe auch Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:vergleichstrick}) +\label{buch:wahrscheinlichkeit:fig:vergleich}} +\end{figure} \begin{satz}[Vergleichstrick] \label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:vergleichstrick} Sei $A$ eine positive Matrix und seinen $u$ und $v$ Vektoren -mit $u\ge v$ und $u\ne v$, dann ist $Au > Av$. +mit $u\ge v$ und $u\ne v$, dann ist $Au > Av$ +(siehe auch Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:vergleich}). \end{satz} \begin{proof}[Beweis] @@ -269,6 +303,21 @@ $t$ mit $u=tv$. Wir brauchen eine Verallgemeinerung für eine grössere Zahl von Summanden. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/dreieck.pdf} +\caption{Die verallgemeinerte Dreiecksungleichung von +Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:verallgemeinerte-dreiecksungleichung} +besagt, dass +die Länge einer Summe von Vektoren (blau) höchstens so gross ist wie die +Summe der Längen, mit Gleichheit genau dann, wenn alle Vektoren die +gleiche Richtung haben (rot). +Hier dargestellt am Beispiel von Zahlen in der komplexen Zahlenebene. +In dieser Form wird die verallgemeinerte Dreiecksungleichung in +Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:verallgdreieckC} +\label{buch:wahrscheinlichkeit:fig:dreieck}} +\end{figure} + \begin{satz}[Verallgemeinerte Dreiecksungleichung] \label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:verallgemeinerte-dreiecksungleichung} Für $n$ Vektoren $v_i\ne 0$ gilt @@ -276,7 +325,8 @@ Für $n$ Vektoren $v_i\ne 0$ gilt |u_1+\dots+u_n| \le |u_1|+\dots+|u_n| \] mit Gleichheit genau dann, wenn alle Vektoren nichtnegative Vielfache -eines gemeinsamen Einheitsvektors $c$ sind: $u_i=|u_i|c$. +eines gemeinsamen Einheitsvektors $c$ sind: $u_i=|u_i|c$ +(siehe auch Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:dreieck}). \end{satz} \begin{proof}[Beweis] @@ -310,6 +360,7 @@ Damit ist der Induktionsschritt vollzogen. \end{proof} \begin{satz} +\label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:verallgdreieckC} Seien $a_1,\dots,a_n$ positive Zahlen und $u_i\in\mathbb C$ derart, dass \[ @@ -454,7 +505,7 @@ $v$ ein nichtnegativer Eigenvektor. \end{proof} \begin{satz} -Sei $A$ ein positive Matrix und $v$ ein Eigenvektor zu einem +Sei $A$ eine positive Matrix und $v$ ein Eigenvektor zu einem Eigenwert $\lambda$ mit Betrag $|\lambda|=\varrho(A)$. Dann ist $\lambda=\varrho(A)$. \end{satz} @@ -609,9 +660,24 @@ bis gefundenen Resultate können wir folgt zusammengefasst werden: \begin{satz}[Perron-Frobenius] +\label{buch:wahrscheinlichkeit:satz:perron-frobenius} Sei $A$ eine positive Matrix mit Spektralradius $\varrho(A)$. Dann gibt es einen positiven Eigenvektor zum Eigenwert $\varrho(A)$, mit geometrischer und algebraischer Vielfachheit $1$. \end{satz} +Der Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:perron-frobenius} +von Perron-Frobenius kann auf primitive Matrizen verallgemeinert +werden. +\begin{satz} +Sei $A$ ein primitive, nichtnegative Matrix. +Dann ist $\varrho(A)$ der einzige Eigenwert vom Betrag $\varrho(A)$ +und er hat geometrische und algebraische Vielfachheit $1$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Nach Voraussetzung gibt es ein $n$ derart, dass $A^n>0$. +Für $A^n$ gelten die Resultate von +Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:perron-frobenius}. +\end{proof} -- cgit v1.2.1