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From: Joshua Baer <the.baer.joshua@gmail.ch>
Date: Mon, 12 Apr 2021 21:51:55 +0200
Subject: update to current state of book

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 buch/chapters/90-crypto/aes.tex | 866 ++++++++++++++++++++--------------------
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--- a/buch/chapters/90-crypto/aes.tex
+++ b/buch/chapters/90-crypto/aes.tex
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-%
-% aes.tex -- Beschreibung des AES Algorithmus
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Advanced Encryption Standard -- AES
-\label{buch:section:aes}}
-\rhead{Advanced Encryption Standard}
-Eine wichtige Forderung bei der Konzeption des damals neuen
-Advanced Encryption Standard war, dass darin keine ``willkürlich''
-erscheinenden Operationen geben darf, bei denen der Verdacht
-entstehen könnte, dass sich dahinter noch offengelegtes Wissen
-über einen möglichen Angriff auf den Verschlüsselungsalgorithmus
-verbergen könnte.
-Dies war eine Schwäche des vor AES üblichen DES Verschlüsselungsalgorithmus.
-In seiner Definition kommt eine Reihe von Konstanten vor, über deren
-Herkunft nichts bekannt war.
-Die Gerüchteküche wollte wissen, dass die NSA die Konstanten aus dem
-ursprünglichen Vorschlag abgeändert habe, und dass dies geschehen sei,
-um den Algorithmus durch die NSA angreifbar zu machen.
-
-Eine weiter Forderung war, dass die Sicherheit des neuen
-Verschlüsselungsstandards ``skalierbar'' sein soll, dass man also
-die Schlüssellänge mit der Zeit von 128~Bit auf 196 oder sogar 256~Bit
-steigern kann.
-Der Standard wird dadurch langlebiger und gleichzeitig entsteht die
-Möglichkeit, Sicherheit gegen Rechenleistung einzutauschen.
-Weniger leistungsfähige Systeme können den Algorithmus immer noch
-nutzen, entweder mit geringerer Verschlüsselungsrate oder geringerer
-Sicherheit.
-
-In diesem Abschnitt soll gezeigt werde, wie sich die AES
-spezifizierten Operationen als mit der Arithmetik der
-endlichen Körper beschreiben lassen.
-Im Abschnitt~\ref{buch:subsection:byte-operationen} werden
-Bytes als Elemente in einem endlichen Körper $\mathbb{F}_{2^8}$
-interpretiert.
-Damit kann dann die sogenannte $S$-Box konstruiert werden und
-es ist leicht zu verstehen, dass sie invertierbar ist.
-Aus den Byte-Operationen können dann Mischoperationen erzeugt
-werden, die Bytes untereinander verknüpfen, die aber auch wieder
-als Operationen in einem endlichen Körper verstanden werden können.
-
-\subsection{Byte-Operationen
-\label{buch:subsection:byte-operationen}}
-Moderne Prozessoren operieren auf Wörtern, die Vielfache von Bytes sind.
-Byte-Operationen sind besonders effizient in Hardware zu realisieren.
-AES verwendet daher als Grundelemente Operationen auf Bytes, die als
-Elemente eines endlichen Körpers $\mathbb{F}_{2^8}$ interpretiert werden.
-
-\subsubsection{Bytes als Elemente von $\mathbb{F}_{2^8}$}
-Das Polynom $m(X)=X^8+X^4+X^3+X+1\in \mathbb{F}_2[X]$ ist irreduzibel,
-somit ist $\mathbb{F}_{2^8} = \mathbb{F}_2[X]/(m)$ ein Körper.
-Die Elemente können dargestellt werden als Polynome, das Byte
-$\texttt{63}_{16}$ bekommt die Form
-\[
-p(X) = p_7X^7 + p_6X^6 + \dots + p_2X^2+p_1X + p_0,
-\]
-sie bestehen daher aus den $8$ Bits $p_7,\dots,p_0$.
-
-Die Interpretation der Bytes als Elemente eines Körpers bedeutet,
-dass jede Multiplikation mit einem nicht verschwindenden Byte 
-invertierbar ist.
-Ausserdem mischen diese Operationen die einzelnen Bits auf einigermassen
-undurchsichtige, aber umkehrbare Art durcheinander, wie dies für ein
-Verschlüsselungsverfahren wünschenswert ist.
-
-\subsubsection{$S$-Box}
-Für die Operation der $S$-Box wird wie folgt zusammengesetzt.
-Zunächst wird ein Byte $x$ durch das zugehörige multiplikative
-inverse Element
-\[
-x\mapsto \bar{x} = \begin{cases}
-x^{-1}&\qquad \text{für $x\in \mathbb{F}_{2^8}^*$}\\
-0     &\qquad \text{für $x=0$}
-\end{cases}
-\]
-ersetzt.
-
-Im zweiten Schritt betrachten wir $\mathbb{F}_{2^8}$ als einen
-$8$-dimensionalen Vektorraum über $\mathbb{F}_2$.
-Einem Polynom $p(X)=p_7X^7 + \dots + p_1X+p_0$ wird der Spaltenvektor
-mit den Komponenten $p_0$ bis $p_7$ zugeordnet.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/90-crypto/images/sbox.pdf}
-\caption{Berechnung der Inversen der Matrix $A$ in der $S$-Box  des
-AES-Algorithmus mit dem Gauss-Algorithmus
-\label{buch:crypto:fig:sbox}}
-\end{figure}
-
-Eine lineare Transformation in diesem Vektorraum kann durch eine
-$8\times 8$-Matrix in $M_8(\mathbb{F}_2)$ betrachtet werden.
-In der $S$-Box wird die Matrix
-\[
-A=
-\begin{pmatrix}
-1&0&0&0&1&1&1&1\\
-1&1&0&0&0&1&1&1\\
-1&1&1&0&0&0&1&1\\
-1&1&1&1&0&0&0&1\\
-1&1&1&1&1&0&0&0\\
-0&1&1&1&1&1&0&0\\
-0&0&1&1&1&1&1&0\\
-0&0&0&1&1&1&1&1
-\end{pmatrix},
-\qquad
-A^{-1}
-=
-\begin{pmatrix}
-0&0&1&0&0&1&0&1\\
-1&0&0&1&0&0&1&0\\
-0&1&0&0&1&0&0&1\\
-1&0&1&0&0&1&0&0\\
-0&1&0&1&0&0&1&0\\
-0&0&1&0&1&0&0&1\\
-1&0&0&1&0&1&0&0\\
-0&1&0&0&1&0&1&0
-\end{pmatrix}
-\]
-verwendet.
-Mit dem Gauss-Algorithmus, schematisch dargestellt in
-Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:sbox}, kann man die Inverse
-bestimmen, die Multiplikation mit $A$ ist also eine invertierbare
-Abbildung.
-
-Der letzte Schritt ist dann wieder eine Addition von
-$q(X)=X^7+X^6+X+1\in \mathbb{F}_{2^8}$, durch Subtraktion
-von $q(X)$ invertiert werden kann.
-Die $S$-Box-Operation kann also bektoriell geschrieben werden also
-\[
-	S(x) = A\overline{x}+q.
-\]
-
-Die Implementation ist möglicherweise mit einer Tabelle am schnellsten,
-es sind ja nur 256 Bytes im Definitionsbereich der $S$-Box-Abbildung
-und ebenso nur 256 möglich Werte.
-
-\subsection{Block-Operationen
-\label{buch:subsection:block-operationen}}
-Die zu verschlüsselnden Daten werden in in Blöcke aufgeteilt, deren
-Länge Vielfache von $32$ bit sind.
-Die kleinste Blockgrösse ist 128\,Bit, die grösste ist 256\,Bit.
-Die Bytes eines Blockes werden dann in einem Rechteck angeordnet
-als
-\begin{equation}
-\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
-\hline
- b_{0} & b_{4} & b_{8}  & b_{12} & b_{16} & b_{20} & b_{24} & b_{28} \\
- b_{1} & b_{5} & b_{9}  & b_{13} & b_{17} & b_{21} & b_{25} & b_{29} \\
- b_{2} & b_{6} & b_{10} & b_{14} & b_{18} & b_{22} & b_{26} & b_{30} \\
- b_{3} & b_{7} & b_{11} & b_{15} & b_{19} & b_{23} & b_{27} & b_{31} \\
-\hline
-\end{tabular}
-\label{buch:crypto:eqn:block}
-\end{equation}
-für eine Blocklänge von 256\,Bits.
-
-
-
-\subsubsection{Zeilenshift}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/90-crypto/images/shift.pdf}
-\caption{Zeilenshift in einem Block von 256 bits
-\label{buch:crypto:fig:shift}}
-\end{figure}
-Die Verschlüsselung muss sicherstellen, dass die Bytes des Blockes
-untereinander gut gemischt werden.
-Die bisher beschriebenen Operationen operieren immer nur auf einzelnen
-Bytes während
-die im nächsten Abschnitt beschriebene Spalten-Mischoperation
-nur auf Spalten wird.
-Die Zeilenmischoperation permutiert die Zeilen in den vier Zeilen
-eines Blocks zyklisch, die erste Zeile bleibt an Ort, die zweite
-Zeile wird um ein Byte rotiert, die dritte um zwei und die letzte
-um 3 Bytes, wie in Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:zeilenshift}
-dargestellt.
-Diese Operation könnte mit einer Permutationsmatrix beschrieben werden,
-dies wäre jedoch keine effiziente Implementation.
-Der Zeilenschift hat ansonsten keine elegante algebraische Beschreibung.
-
-\subsubsection{Spalten mischen}
-Jede Spalte von \eqref{buch:crypto:eqn:block} kann als Vektor des
-vierdimensionalen Vektorraumes $\mathbb{F}_{2^8}^4$.
-Die Zeilenmischoperation wendet ein lineare Abbildung auf jeden
-Spaltenvektor von~\eqref{buch:crypto:eqn:block}.
-Die Koeffizienten der Matrix sind Elemente von $\mathbb{F}_{2^8}$.
-Die Matrix ist
-\[
-C=\begin{pmatrix}
-\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
-\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
-\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}\\
-\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}
-\end{pmatrix}.
-\]
-Um nachzuprüfen, dass die Matrix $C$ invertierbar ist, könnte man den
-Gauss-Algorithmus verwenden und damit die Inverse berechnen.
-Dazu müsste man die multiplikativen Inversen kennen, was etwas mühsam
-ist.
-Man kann aber aber auch die Determinante bestimmen, dazu braucht man
-nur multiplizieren zu können, was in diesem Fall sehr leicht möglich ist,
-weil kein Überlauf entsteht.
-Dabei hilft es zu beachten, dass die Multiplikation mit $\texttt{02}_{16}$
-nur eine Einbit-Shiftoperation nach links ist.
-Nur die Multiplikation $\texttt{03}_{16}\cdot\texttt{03}_{16}=\text{05}_{16}$
-gibt etwas mehr zu überlegen.
-Mit geeigneten Zeilen-Operationen kann man die Berechnung der Determinante
-von $C$ mit dem Entwicklungssatz etwas vereinfachen.
-Man erhält
-\begin{align*}
-\det(C)
-&=
-\left|
-\begin{matrix}
-\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
-\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
-\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}\\
-\texttt{00}_{16}&\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
-\end{matrix}
-\right|
-\\
-&=
-\texttt{02}_{16}
-\left|
-\begin{matrix}
-\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
-\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}\\
-\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
-\end{matrix}
-\right|
-+
-\texttt{01}_{16}
-\left|
-\begin{matrix}
-\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
-\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}\\
-\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
-\end{matrix}
-\right|
-\\
-&=
-\texttt{02}_{16}
-\left|
-\begin{matrix}
-\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
-\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}\\
-\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
-\end{matrix}
-\right|
-+
-\texttt{01}_{16}
-\left|
-\begin{matrix}
-\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
-\texttt{00}_{16}&\texttt{00}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
-\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
-\end{matrix}
-\right|
-\\
-&=
-\texttt{02}_{16}
-\left(
-\texttt{02}_{16}
-\left|
-\begin{matrix}
-\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}\\
-\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
-\end{matrix}
-\right|
-+
-\texttt{01}_{16}
-\left|
-\begin{matrix}
-\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
-\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
-\end{matrix}
-\right|
-\right)
-+
-\texttt{01}_{16}
-\left|
-\begin{matrix}
-\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
-\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}\\
-\texttt{00}_{16}&\texttt{00}_{16}&\texttt{01}_{16}
-\end{matrix}
-\right|
-\\
-&=
-\texttt{02}_{16}
-(
-\texttt{02}_{16}(\texttt{04}_{16}+\texttt{05}_{16})
-+
-(\texttt{06}_{16}+\texttt{03}_{16})
-)
-+
-\texttt{03}_{16}\texttt{03}_{16}
-\\
-&=
-\texttt{02}_{16}
-(
-\texttt{02}_{16}
-+
-\texttt{05}_{16}
-)
-+
-\texttt{05}_{16}
-=
-\texttt{0e}_{16}+\texttt{05}_{16}
-=
-\texttt{0a}_{16}
-\ne 0.
-\end{align*}
-Damit ist gezeigt, dass die Matrix $C$ invertierbar auf den
-Spaltenvektoren wirkt.
-Die Inverse der Matrix kann einmal berechnet und anschliessend
-für die Entschlüsselung verwendet werden.
-
-Alternativ kann man die Multiplikation mit der Matrix $C$ auch
-interpretieren als eine Polynommultiplikation.
-Dazu interpretiert man die Spalten des Blocks als Polynom vom Grad~3
-mit Koeffizienten in $\mathbb{F}_{2^8}$.
-Durch Reduktion mit dem irreduziblen Polynom
-$n(Z)=Z^4+1\in\mathbb{F}_{2^8}[X]$ entsteht aus dem Polynomring
-wieder ein Körper.
-Die Wirkung der Matrix $C$ ist dann nichts anderes als Multiplikation
-mit dem Polynom
-\[
-c(Z) = \texttt{03}_{16}Z^3 + Z^2+Z^1+\texttt{02}_{16},
-\]
-die natürlich ebenfalls umkehrbar ist.
-
-\subsection{Schlüssel
-\label{buch:subsection:schlüssel}}
-Die von den Byte- und Blockoperationen mischen die einzelnen Bits
-der Daten zwar ganz schön durcheinander, aber es wird noch kein
-Schlüsselmaterial eingearbeitet, welches den Prozess einzigartig
-macht.
-
-\subsubsection{Schlüsseladdition}
-Nach jeder Spaltenmischoperation wird ein Rundenschlüssel
-zum Blockhinzuaddiert.
-Beim ersten Mal wird dazu einfach das Schlüsselmaterial verwendet.
-Für die folgenden Runden muss aus diesem Schlüssel neues
-Material, die sogenannten Rundenschlüssel, gewonnen werden.
-
-\subsubsection{Rundenschlüssel}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/90-crypto/images/keys.pdf}
-\caption{Erzeugung der erweiterten Schlüsseldaten aus dem Schlüssel
-$K_0,\dots,K_7$ für Schlüssellänge 256\,bit.
-Die mit $S$ beschrifteten Blöcke wenden die $S$-Box auf jedes einzelne
-Byte an.
-$\pi$ ist die zyklische Vertauschung der Bytes eines Wortes.
-Die Operation $r_i$ ist eine Addition einer Konstanten, die in jeder
-Runde anders ist.
-\label{buch:crypto:fig:keys}}
-\end{figure}
-Die Erzeugung der Rundenschlüssel ist in Abbildung
-\ref{buch:crypto:fig:keys}
-schematisch dargestellt.
-Die Blöcke beschreiben wieder Spaltenvektoren im vierdimensionalen
-Raum $\mathbb{F}_{2^8}^4$.
-Die Blöcke $K_0$ bis $K_7$ stellen den ursprünglichen Schlüssel dar.
-Die Erzeugung eines neuen Blocks Schlüsselmatrial beginnt damit,
-dass der letzte Vektor des vorangegangenblocks drei Operationen
-unterworfen werden.
-\begin{itemize}
-\item
-Die Operation $\pi$ vertauscht die Bytes des Vektors zyklisch:
-\begin{center}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
-\def\s{0.6}
-\begin{scope}
-\draw (0,0) rectangle (\s,{4*\s});
-\foreach \y in {1,...,3}{
-	\draw (0,{\y*\s}) (\s,{\y*\s});
-}
-\node at ({0.5*\s},{0.5*\s}) {$b_3$};
-\node at ({0.5*\s},{1.5*\s}) {$b_2$};
-\node at ({0.5*\s},{2.5*\s}) {$b_1$};
-\node at ({0.5*\s},{3.5*\s}) {$b_0$};
-\end{scope}
-\draw[->] ({1.1*\s},{2*\s}) -- ({4.9*\s},{2*\s});
-\node at ({3*\s},{2*\s}) [above] {$\pi$};
-\begin{scope}[xshift=3cm]
-\draw (0,0) rectangle (\s,{4*\s});
-\foreach \y in {1,...,3}{
-	\draw (0,{\y*\s}) (\s,{\y*\s});
-}
-\node at ({0.5*\s},{0.5*\s}) {$b_0$};
-\node at ({0.5*\s},{1.5*\s}) {$b_3$};
-\node at ({0.5*\s},{2.5*\s}) {$b_2$};
-\node at ({0.5*\s},{3.5*\s}) {$b_1$};
-\end{scope}
-\end{tikzpicture}
-\end{center}
-\item
-Die $S$-Operation wendet die $S$-Box auf alle Bytes eines Vektors an.
-\item
-Die $r_i$ Operation addiert in Runde eine Konstante $r_i$ zur $0$-Komponente.
-\end{itemize}
-Die Konstante $r_i$ ist wieder ein einzelnes Byte und es ist daher
-naheliegend, diese Bytes mit Hilfe der Arithmetik in $\mathbb{F}_{2^8}$
-zu erzeugen.
-Man kann daher $r_i$ definieren als
-$(\texttt{02}_{16})^{i-1}\in\mathbb{F}_{2^8}$.
-
-\subsection{Runden}
-Der AES-Verschlüsselungsalgorithmus besteht jetzt darin, die bisher
-definierten Operationen wiederholt anzuwenden.
-Eine einzelne Runde besteht dabei aus folgenden Schritten:
-\begin{enumerate}
-\item Wende die $S$-Box auf alle Bytes des Blocks an.
-\item Führe den Zeilenshift durch.
-\item Mische die Spalten (wird in der letzten Runde)
-\item Erzeuge den nächsten Rundenschlüssel
-\item Addiere den Rundenschlüssel
-\end{enumerate}
-Der AES-Verschlüsselungsalgorithmus beginnt damit, dass der Schlüssel
-zum Datenblock addiert wird.
-Anschliessend werden je nach Blocklänge verschiedene Anzahlen von
-Runden durchgeführt, 10 Runden für 128\,bit, 12 Runden für 192\,bit und
-14 Runden für 256\,bit.
-
-
-
-
-
+%
+% aes.tex -- Beschreibung des AES Algorithmus
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Advanced Encryption Standard -- AES
+\label{buch:section:aes}}
+\rhead{Advanced Encryption Standard}
+Eine wichtige Forderung bei der Konzeption des damals neuen
+Advanced Encryption Standard war, dass darin keine ``willkürlich''
+erscheinenden Operationen geben darf, bei denen der Verdacht
+entstehen könnte, dass sich dahinter noch offengelegtes Wissen
+über einen möglichen Angriff auf den Verschlüsselungsalgorithmus
+verbergen könnte.
+Dies war eine Schwäche des vor AES üblichen DES Verschlüsselungsalgorithmus.
+In seiner Definition kommt eine Reihe von Konstanten vor, über deren
+Herkunft nichts bekannt war.
+Die Gerüchteküche wollte wissen, dass die NSA die Konstanten aus dem
+ursprünglichen Vorschlag abgeändert habe, und dass dies geschehen sei,
+um den Algorithmus durch die NSA angreifbar zu machen.
+
+Eine weiter Forderung war, dass die Sicherheit des neuen
+Verschlüsselungsstandards ``skalierbar'' sein soll, dass man also
+die Schlüssellänge mit der Zeit von 128~Bit auf 196 oder sogar 256~Bit
+steigern kann.
+Der Standard wird dadurch langlebiger und gleichzeitig entsteht die
+Möglichkeit, Sicherheit gegen Rechenleistung einzutauschen.
+Weniger leistungsfähige Systeme können den Algorithmus immer noch
+nutzen, entweder mit geringerer Verschlüsselungsrate oder geringerer
+Sicherheit.
+
+In diesem Abschnitt soll gezeigt werde, wie sich die AES
+spezifizierten Operationen als mit der Arithmetik der
+endlichen Körper beschreiben lassen.
+Im Abschnitt~\ref{buch:subsection:byte-operationen} werden
+Bytes als Elemente in einem endlichen Körper $\mathbb{F}_{2^8}$
+interpretiert.
+Damit kann dann die sogenannte $S$-Box konstruiert werden und
+es ist leicht zu verstehen, dass sie invertierbar ist.
+Aus den Byte-Operationen können dann Mischoperationen erzeugt
+werden, die Bytes untereinander verknüpfen, die aber auch wieder
+als Operationen in einem endlichen Körper verstanden werden können.
+
+\subsection{Byte-Operationen
+\label{buch:subsection:byte-operationen}}
+Moderne Prozessoren operieren auf Wörtern, die Vielfache von Bytes sind.
+Byte-Operationen sind besonders effizient in Hardware zu realisieren.
+AES verwendet daher als Grundelemente Operationen auf Bytes, die als
+Elemente eines endlichen Körpers $\mathbb{F}_{2^8}$ interpretiert werden.
+
+\subsubsection{Bytes als Elemente von $\mathbb{F}_{2^8}$}
+Das Polynom $m(X)=X^8+X^4+X^3+X+1\in \mathbb{F}_2[X]$ ist irreduzibel,
+somit ist $\mathbb{F}_{2^8} = \mathbb{F}_2[X]/(m)$ ein Körper.
+Die Elemente können dargestellt werden als Polynome, das Byte
+$\texttt{63}_{16}$ bekommt die Form
+\[
+p(X) = p_7X^7 + p_6X^6 + \dots + p_2X^2+p_1X + p_0,
+\]
+sie bestehen daher aus den $8$ Bits $p_7,\dots,p_0$.
+
+Die Interpretation der Bytes als Elemente eines Körpers bedeutet,
+dass jede Multiplikation mit einem nicht verschwindenden Byte 
+invertierbar ist.
+Ausserdem mischen diese Operationen die einzelnen Bits auf einigermassen
+undurchsichtige, aber umkehrbare Art durcheinander, wie dies für ein
+Verschlüsselungsverfahren wünschenswert ist.
+
+\subsubsection{$S$-Box}
+Für die Operation der $S$-Box wird wie folgt zusammengesetzt.
+Zunächst wird ein Byte $x$ durch das zugehörige multiplikative
+inverse Element
+\[
+x\mapsto \bar{x} = \begin{cases}
+x^{-1}&\qquad \text{für $x\in \mathbb{F}_{2^8}^*$}\\
+0     &\qquad \text{für $x=0$}
+\end{cases}
+\]
+ersetzt.
+
+Im zweiten Schritt betrachten wir $\mathbb{F}_{2^8}$ als einen
+$8$-dimensionalen Vektorraum über $\mathbb{F}_2$.
+Einem Polynom $p(X)=p_7X^7 + \dots + p_1X+p_0$ wird der Spaltenvektor
+mit den Komponenten $p_0$ bis $p_7$ zugeordnet.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/90-crypto/images/sbox.pdf}
+\caption{Berechnung der Inversen der Matrix $A$ in der $S$-Box  des
+AES-Algorithmus mit dem Gauss-Algorithmus
+\label{buch:crypto:fig:sbox}}
+\end{figure}
+
+Eine lineare Transformation in diesem Vektorraum kann durch eine
+$8\times 8$-Matrix in $M_8(\mathbb{F}_2)$ betrachtet werden.
+In der $S$-Box wird die Matrix
+\[
+A=
+\begin{pmatrix}
+1&0&0&0&1&1&1&1\\
+1&1&0&0&0&1&1&1\\
+1&1&1&0&0&0&1&1\\
+1&1&1&1&0&0&0&1\\
+1&1&1&1&1&0&0&0\\
+0&1&1&1&1&1&0&0\\
+0&0&1&1&1&1&1&0\\
+0&0&0&1&1&1&1&1
+\end{pmatrix},
+\qquad
+A^{-1}
+=
+\begin{pmatrix}
+0&0&1&0&0&1&0&1\\
+1&0&0&1&0&0&1&0\\
+0&1&0&0&1&0&0&1\\
+1&0&1&0&0&1&0&0\\
+0&1&0&1&0&0&1&0\\
+0&0&1&0&1&0&0&1\\
+1&0&0&1&0&1&0&0\\
+0&1&0&0&1&0&1&0
+\end{pmatrix}
+\]
+verwendet.
+Mit dem Gauss-Algorithmus, schematisch dargestellt in
+Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:sbox}, kann man die Inverse
+bestimmen, die Multiplikation mit $A$ ist also eine invertierbare
+Abbildung.
+
+Der letzte Schritt ist dann wieder eine Addition von
+$q(X)=X^7+X^6+X+1\in \mathbb{F}_{2^8}$, durch Subtraktion
+von $q(X)$ invertiert werden kann.
+Die $S$-Box-Operation kann also bektoriell geschrieben werden also
+\[
+	S(x) = A\overline{x}+q.
+\]
+
+Die Implementation ist möglicherweise mit einer Tabelle am schnellsten,
+es sind ja nur 256 Bytes im Definitionsbereich der $S$-Box-Abbildung
+und ebenso nur 256 möglich Werte.
+
+\subsection{Block-Operationen
+\label{buch:subsection:block-operationen}}
+Die zu verschlüsselnden Daten werden in in Blöcke aufgeteilt, deren
+Länge Vielfache von $32$ bit sind.
+Die kleinste Blockgrösse ist 128\,Bit, die grösste ist 256\,Bit.
+Die Bytes eines Blockes werden dann in einem Rechteck angeordnet
+als
+\begin{equation}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+ b_{0} & b_{4} & b_{8}  & b_{12} & b_{16} & b_{20} & b_{24} & b_{28} \\
+ b_{1} & b_{5} & b_{9}  & b_{13} & b_{17} & b_{21} & b_{25} & b_{29} \\
+ b_{2} & b_{6} & b_{10} & b_{14} & b_{18} & b_{22} & b_{26} & b_{30} \\
+ b_{3} & b_{7} & b_{11} & b_{15} & b_{19} & b_{23} & b_{27} & b_{31} \\
+\hline
+\end{tabular}
+\label{buch:crypto:eqn:block}
+\end{equation}
+für eine Blocklänge von 256\,Bits.
+
+
+
+\subsubsection{Zeilenshift}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/90-crypto/images/shift.pdf}
+\caption{Zeilenshift in einem Block von 256 bits
+\label{buch:crypto:fig:shift}}
+\end{figure}
+Die Verschlüsselung muss sicherstellen, dass die Bytes des Blockes
+untereinander gut gemischt werden.
+Die bisher beschriebenen Operationen operieren immer nur auf einzelnen
+Bytes während
+die im nächsten Abschnitt beschriebene Spalten-Mischoperation
+nur auf Spalten wird.
+Die Zeilenmischoperation permutiert die Zeilen in den vier Zeilen
+eines Blocks zyklisch, die erste Zeile bleibt an Ort, die zweite
+Zeile wird um ein Byte rotiert, die dritte um zwei und die letzte
+um 3 Bytes, wie in Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:zeilenshift}
+dargestellt.
+Diese Operation könnte mit einer Permutationsmatrix beschrieben werden,
+dies wäre jedoch keine effiziente Implementation.
+Der Zeilenschift hat ansonsten keine elegante algebraische Beschreibung.
+
+\subsubsection{Spalten mischen}
+Jede Spalte von \eqref{buch:crypto:eqn:block} kann als Vektor des
+vierdimensionalen Vektorraumes $\mathbb{F}_{2^8}^4$.
+Die Zeilenmischoperation wendet ein lineare Abbildung auf jeden
+Spaltenvektor von~\eqref{buch:crypto:eqn:block}.
+Die Koeffizienten der Matrix sind Elemente von $\mathbb{F}_{2^8}$.
+Die Matrix ist
+\[
+C=\begin{pmatrix}
+\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}\\
+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}
+\end{pmatrix}.
+\]
+Um nachzuprüfen, dass die Matrix $C$ invertierbar ist, könnte man den
+Gauss-Algorithmus verwenden und damit die Inverse berechnen.
+Dazu müsste man die multiplikativen Inversen kennen, was etwas mühsam
+ist.
+Man kann aber aber auch die Determinante bestimmen, dazu braucht man
+nur multiplizieren zu können, was in diesem Fall sehr leicht möglich ist,
+weil kein Überlauf entsteht.
+Dabei hilft es zu beachten, dass die Multiplikation mit $\texttt{02}_{16}$
+nur eine Einbit-Shiftoperation nach links ist.
+Nur die Multiplikation $\texttt{03}_{16}\cdot\texttt{03}_{16}=\text{05}_{16}$
+gibt etwas mehr zu überlegen.
+Mit geeigneten Zeilen-Operationen kann man die Berechnung der Determinante
+von $C$ mit dem Entwicklungssatz etwas vereinfachen.
+Man erhält
+\begin{align*}
+\det(C)
+&=
+\left|
+\begin{matrix}
+\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}\\
+\texttt{00}_{16}&\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
+\end{matrix}
+\right|
+\\
+&=
+\texttt{02}_{16}
+\left|
+\begin{matrix}
+\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}\\
+\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
+\end{matrix}
+\right|
++
+\texttt{01}_{16}
+\left|
+\begin{matrix}
+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}\\
+\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
+\end{matrix}
+\right|
+\\
+&=
+\texttt{02}_{16}
+\left|
+\begin{matrix}
+\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{01}_{16}&\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}\\
+\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
+\end{matrix}
+\right|
++
+\texttt{01}_{16}
+\left|
+\begin{matrix}
+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{00}_{16}&\texttt{00}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
+\end{matrix}
+\right|
+\\
+&=
+\texttt{02}_{16}
+\left(
+\texttt{02}_{16}
+\left|
+\begin{matrix}
+\texttt{02}_{16}&\texttt{03}_{16}\\
+\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
+\end{matrix}
+\right|
++
+\texttt{01}_{16}
+\left|
+\begin{matrix}
+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}
+\end{matrix}
+\right|
+\right)
++
+\texttt{01}_{16}
+\left|
+\begin{matrix}
+\texttt{03}_{16}&\texttt{01}_{16}&\texttt{01}_{16}\\
+\texttt{00}_{16}&\texttt{03}_{16}&\texttt{02}_{16}\\
+\texttt{00}_{16}&\texttt{00}_{16}&\texttt{01}_{16}
+\end{matrix}
+\right|
+\\
+&=
+\texttt{02}_{16}
+(
+\texttt{02}_{16}(\texttt{04}_{16}+\texttt{05}_{16})
++
+(\texttt{06}_{16}+\texttt{03}_{16})
+)
++
+\texttt{03}_{16}\texttt{03}_{16}
+\\
+&=
+\texttt{02}_{16}
+(
+\texttt{02}_{16}
++
+\texttt{05}_{16}
+)
++
+\texttt{05}_{16}
+=
+\texttt{0e}_{16}+\texttt{05}_{16}
+=
+\texttt{0a}_{16}
+\ne 0.
+\end{align*}
+Damit ist gezeigt, dass die Matrix $C$ invertierbar auf den
+Spaltenvektoren wirkt.
+Die Inverse der Matrix kann einmal berechnet und anschliessend
+für die Entschlüsselung verwendet werden.
+
+Alternativ kann man die Multiplikation mit der Matrix $C$ auch
+interpretieren als eine Polynommultiplikation.
+Dazu interpretiert man die Spalten des Blocks als Polynom vom Grad~3
+mit Koeffizienten in $\mathbb{F}_{2^8}$.
+Durch Reduktion mit dem irreduziblen Polynom
+$n(Z)=Z^4+1\in\mathbb{F}_{2^8}[X]$ entsteht aus dem Polynomring
+wieder ein Körper.
+Die Wirkung der Matrix $C$ ist dann nichts anderes als Multiplikation
+mit dem Polynom
+\[
+c(Z) = \texttt{03}_{16}Z^3 + Z^2+Z^1+\texttt{02}_{16},
+\]
+die natürlich ebenfalls umkehrbar ist.
+
+\subsection{Schlüssel
+\label{buch:subsection:schlüssel}}
+Die von den Byte- und Blockoperationen mischen die einzelnen Bits
+der Daten zwar ganz schön durcheinander, aber es wird noch kein
+Schlüsselmaterial eingearbeitet, welches den Prozess einzigartig
+macht.
+
+\subsubsection{Schlüsseladdition}
+Nach jeder Spaltenmischoperation wird ein Rundenschlüssel
+zum Blockhinzuaddiert.
+Beim ersten Mal wird dazu einfach das Schlüsselmaterial verwendet.
+Für die folgenden Runden muss aus diesem Schlüssel neues
+Material, die sogenannten Rundenschlüssel, gewonnen werden.
+
+\subsubsection{Rundenschlüssel}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/90-crypto/images/keys.pdf}
+\caption{Erzeugung der erweiterten Schlüsseldaten aus dem Schlüssel
+$K_0,\dots,K_7$ für Schlüssellänge 256\,bit.
+Die mit $S$ beschrifteten Blöcke wenden die $S$-Box auf jedes einzelne
+Byte an.
+$\pi$ ist die zyklische Vertauschung der Bytes eines Wortes.
+Die Operation $r_i$ ist eine Addition einer Konstanten, die in jeder
+Runde anders ist.
+\label{buch:crypto:fig:keys}}
+\end{figure}
+Die Erzeugung der Rundenschlüssel ist in Abbildung
+\ref{buch:crypto:fig:keys}
+schematisch dargestellt.
+Die Blöcke beschreiben wieder Spaltenvektoren im vierdimensionalen
+Raum $\mathbb{F}_{2^8}^4$.
+Die Blöcke $K_0$ bis $K_7$ stellen den ursprünglichen Schlüssel dar.
+Die Erzeugung eines neuen Blocks Schlüsselmatrial beginnt damit,
+dass der letzte Vektor des vorangegangenblocks drei Operationen
+unterworfen werden.
+\begin{itemize}
+\item
+Die Operation $\pi$ vertauscht die Bytes des Vektors zyklisch:
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\def\s{0.6}
+\begin{scope}
+\draw (0,0) rectangle (\s,{4*\s});
+\foreach \y in {1,...,3}{
+	\draw (0,{\y*\s}) (\s,{\y*\s});
+}
+\node at ({0.5*\s},{0.5*\s}) {$b_3$};
+\node at ({0.5*\s},{1.5*\s}) {$b_2$};
+\node at ({0.5*\s},{2.5*\s}) {$b_1$};
+\node at ({0.5*\s},{3.5*\s}) {$b_0$};
+\end{scope}
+\draw[->] ({1.1*\s},{2*\s}) -- ({4.9*\s},{2*\s});
+\node at ({3*\s},{2*\s}) [above] {$\pi$};
+\begin{scope}[xshift=3cm]
+\draw (0,0) rectangle (\s,{4*\s});
+\foreach \y in {1,...,3}{
+	\draw (0,{\y*\s}) (\s,{\y*\s});
+}
+\node at ({0.5*\s},{0.5*\s}) {$b_0$};
+\node at ({0.5*\s},{1.5*\s}) {$b_3$};
+\node at ({0.5*\s},{2.5*\s}) {$b_2$};
+\node at ({0.5*\s},{3.5*\s}) {$b_1$};
+\end{scope}
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\item
+Die $S$-Operation wendet die $S$-Box auf alle Bytes eines Vektors an.
+\item
+Die $r_i$ Operation addiert in Runde eine Konstante $r_i$ zur $0$-Komponente.
+\end{itemize}
+Die Konstante $r_i$ ist wieder ein einzelnes Byte und es ist daher
+naheliegend, diese Bytes mit Hilfe der Arithmetik in $\mathbb{F}_{2^8}$
+zu erzeugen.
+Man kann daher $r_i$ definieren als
+$(\texttt{02}_{16})^{i-1}\in\mathbb{F}_{2^8}$.
+
+\subsection{Runden}
+Der AES-Verschlüsselungsalgorithmus besteht jetzt darin, die bisher
+definierten Operationen wiederholt anzuwenden.
+Eine einzelne Runde besteht dabei aus folgenden Schritten:
+\begin{enumerate}
+\item Wende die $S$-Box auf alle Bytes des Blocks an.
+\item Führe den Zeilenshift durch.
+\item Mische die Spalten (wird in der letzten Runde)
+\item Erzeuge den nächsten Rundenschlüssel
+\item Addiere den Rundenschlüssel
+\end{enumerate}
+Der AES-Verschlüsselungsalgorithmus beginnt damit, dass der Schlüssel
+zum Datenblock addiert wird.
+Anschliessend werden je nach Blocklänge verschiedene Anzahlen von
+Runden durchgeführt, 10 Runden für 128\,bit, 12 Runden für 192\,bit und
+14 Runden für 256\,bit.
+
+
+
+
+
-- 
cgit v1.2.1

