From c6baa0eac71d16160e567996723f3207d204c5ea Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 7 Jan 2021 20:21:40 +0100 Subject: add new chapter --- buch/chapters/90-crypto/ff.tex | 9 +++++++++ 1 file changed, 9 insertions(+) create mode 100644 buch/chapters/90-crypto/ff.tex (limited to 'buch/chapters/90-crypto/ff.tex') diff --git a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex new file mode 100644 index 0000000..ccaef63 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex @@ -0,0 +1,9 @@ +% +% ff.tex -- Kryptographie und endliche Körper +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% + +\section{Kryptographie und endliche Körper +\label{buch:section:kryptographie-und-endliche-koerper}} +\rhead{Kryptographie und endliche Körper} -- cgit v1.2.1 From 66ec07f9b9bc6243511cfe85bd5d64edde4a1020 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 1 Feb 2021 20:45:04 +0100 Subject: new stuff --- buch/chapters/90-crypto/ff.tex | 209 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 209 insertions(+) (limited to 'buch/chapters/90-crypto/ff.tex') diff --git a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex index ccaef63..f05dd20 100644 --- a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex +++ b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex @@ -7,3 +7,212 @@ \section{Kryptographie und endliche Körper \label{buch:section:kryptographie-und-endliche-koerper}} \rhead{Kryptographie und endliche Körper} + +\subsection{Potenzen in $\mathbb{F}_p$ und diskreter Logarithmus +\label{buch:subsection:potenzen-diskreter-logarithmus}} +Für kryptographische Anwendungen wird eine einfach zu berechnende +Funktion benötigt, +die ohne zusätzliches Wissen, üblicherweise der Schlüssel genannt, +nicht ohne weiteres umkehrbar ist. +Die arithmetischen Operationen in einem endlichen Körper sind +mit geringem Aufwand durchführbar. +Für die ``schwierigste'' Operation, die Division, steht der +euklidische Algorithmus zur Verfügung. + +Die nächstschwierigere Operation ist die Potenzfunktion. +Für $g\in \Bbbk$ und $a\in\mathbb{N}$ ist die Potenz $g^a\in\Bbbk$ +natürlich durch die wiederholte Multiplikation definiert. +In der Praxis werden aber $g$ und $a$ Zahlen mit vielen Binärstellen +sein, die die wiederholte Multiplikation ist daher sicher nicht +effizient, das Kriterium der einfachen Berechenbarkeit scheint +also nicht erfüllt. +Der folgende Algorithmus berechnet die Potenz in $O(\log_2 a$ +Multiplikationen. + +\begin{algorithmus}[Divide-and-conquer] +\label{buch:crypto:algo:divide-and-conquer} +Sei $a=a_0 + a_12^1 + a_22^2 + \dots + a_k2^k$ die Binärdarstellung +der Zahl $a$. +\begin{enumerate} +\item setze $f=g$, $x=1$, $i=0$ +\label{divide-and-conquer-1} +\item solange $i\ge k$ ist, führe aus +\label{divide-and-conquer-2} +\begin{enumerate} +\item +\label{divide-and-conquer-3} +falls $a_i=1$ setze $x \coloneqq x \cdot f$ +\item +\label{divide-and-conquer-4} +$i \coloneqq i+1$ und $f\coloneqq f\cdot f$ +\end{enumerate} +\end{enumerate} +Die Potenz $x=g^a$ kann so in $O(\log_2a)$ Multiplikationen +berechnet werden. +\end{algorithmus} + +\begin{proof}[Beweis] +Die Initalisierung in Schritt~\ref{divide-and-conquer-1} stellt sicher, +dass $x$ den Wert $g^0$ hat. +Schritt~\ref{divide-and-conquer-4} stellt sicher, +dass die Variable $f$ immer den Wert $g^{2^i}$ hat. +Im Schritt~\ref{divide-and-conquer-3} wird zu $x$ die Potenz +$g^{a_i2^i}$ hinzumultipliziert. +Am Ende des Algorithmus hat daher $x$ den Wert +\[ +x = g^{a_02^0} \cdot g^{a_12^1} \cdot g^{a_22^2} \cdot\ldots\cdot 2^{a_k2^k} += +g^{a_0+a_12+a_22^2+\dots+a_k2^k} += +g^a. +\] +Die Schleife wird $\lfloor1+\log_2ab\rfloor$ mal durchlaufen. +In jedem Fall wird auf jeden Fall die Multiplikation in +Schritt~\ref{divide-and-conquer-4} durchgeführt +und im schlimmsten Fall auch noch die Multiplikation in +Schritt~\ref{divide-and-conquer-3}. +Es werden also nicht mehr als $2\lfloor 1+\log_2a\rfloor=O(\log_2a)$ +Multiplikationen durchgeführt. +\end{proof} + +\begin{beispiel} +Man berechne die Potenz $7^{2021}$ in $\mathbb{F}_p$. +Die Binärdarstellung von 2021 ist $2021_{10}=\texttt{11111100101}_2$. +Wir stellen die nötigen Operationen des +Algorithmus~\ref{buch:crypto:algo:divide-and-conquer} in der folgenden +Tabelle +\begin{center} +\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|} +\hline + i& f& a_i& x\\ +\hline + 0& 7& 1& 7\\ + 1& 49& 0& 7\\ + 2&1110& 1& 24\\ + 3& 486& 0& 24\\ + 4&1234& 0& 24\\ + 5& 667& 1& 516\\ + 6& 785& 1& 977\\ + 7& 418& 1& 430\\ + 8& 439& 1& 284\\ + 9& 362& 1& 819\\ +10& 653& 1& 333\\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +Daraus liest man ab, dass $7^{2021}=333\in\mathbb{F}_{1291}$. +\end{beispiel} + +Die Tabelle suggeriert, dass die Potenzen von $g$ ``wild'', also +scheinbar ohne System in $\mathbb{F}_p$ herumspringen. +Dies deutet an, dass die Umkehrung der Exponentialfunktion in $\mathbb{F}_p$ +schwierig ist. +Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, die Umkehrfunktion von +$x\mapsto g^x$ in $\mathbb{F}_p$ heisst der {\em diskrete Logarithmus}. +\index{diskreter Logarithmus}% +Tatsächlich ist der diskrete Logarithmus ähnlich schwierig zu bestimmen +wie das Faktorisieren von Zahlen, die das Produkt grosser +Primafaktoren ähnlicher Grössenordnung wie $p$ sind. +Die Funktion $x\mapsto g^x$ ist die gesuchte, schwierig zu invertierende +Funktion. + +\subsection{Diffie-Hellman-Schlüsseltausch +\label{buch:subsection:diffie-hellman}} +Eine Grundaufgabe der Verschlüsselung im Internet ist, dass zwei +Kommunikationspartner einen gemeinsamen Schlüssel für die Verschlüsselung +der Daten aushandeln können müssen. +Es muss davon ausgegangen werden, dass die Kommunikation abgehört wird. +Trotzdem soll es für einen Lauscher nicht möglich sein, den +ausgehandelten Schlüssel zu ermitteln. + +% XXX Historisches zu Diffie und Hellman + +Die beiden Partner $A$ und $B$ einigen sich zunächst auf eine Zahl $g$, +die öffentlich bekannt sein darf. +Weiter erzeugen sie eine zufällige Zahl $a$ und $b$, die sie geheim +halten. +Das Verfahren soll aus diesen beiden Zahlen einen Schlüssel erzeugen, +den beide Partner berechnen können, ohne dass sie $a$ oder $b$ +übermitteln müssen. +Die beiden Zahlen werden daher auch die privaten Schlüssel genannt. + +Die Idee von Diffie und Hellman ist jetzt, die Werte $x=g^a$ und $y=g^b$ +zu übertragen. +In $\mathbb{R}$ würden dadurch natürlich dem Lauscher auch $a$ offenbart, +er könnte einfach $a=\log_g x$ berechnen. +Ebenso kann auch $b$ als $b=\log_g y$ erhalten werden, die beiden +privaten Schlüssel wären also nicht mehr privat. +Statt der Potenzfunktion in $\mathbb{R}$ muss also eine Funktion +verwendet werden, die nicht so leicht umgekehrt werden kann. +Die Potenzfunktion in $\mathbb{F}_p$ erfüllt genau diese Eigenschaft. +Die Kommunikationspartner einigen sich also auch noch auf die (grosse) +Primzahl $p$ und übermitteln $x=g^a\in\mathbb{F}_p$ und +$y=g^b\in\mathbb{F}_p$. + +\begin{figure} +\centering +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\def\l{2.5} +\fill[color=blue!20] (-7,-6.5) rectangle (7,0.5); +\fill[color=red!20] (-\l,-6.5) rectangle (\l,0.501); +\node[color=red] at (0,-1.5) {öffentliches Netzwerk}; +\node[color=blue] at (-7,0.2) [right] {privat}; +\node[color=blue] at (7,0.2) [left] {privat}; +\coordinate (A) at (-\l,-2.5); +\coordinate (C) at (\l,-5.5); +\coordinate (B) at (\l,-2.5); +\coordinate (D) at (-\l,-5.5); +\node at (0,0) {$p\in\mathbb{N},g\in\mathbb{F}_p$ aushandeln}; +\fill[color=white] (-\l,-0.7) circle[radius=0.3]; +\draw (-\l,-0.7) circle[radius=0.3]; +\fill[color=white] (\l,-0.7) circle[radius=0.3]; +\draw (\l,-0.7) circle[radius=0.3]; +\node at (-\l,-0.7) {$A$}; +\node at (\l,-0.7) {$B$}; +\node at (-\l,-1.5) [left] {$a$ auswählen}; +\node at (-\l,-2.0) [left] {$x=g^a\in\mathbb{F}_p$ auswählen}; +\node at (\l,-1.5) [right] {$b$ auswählen}; +\node at (\l,-2.0) [right] {$y=g^b\in\mathbb{F}_p$ auswählen}; +\draw[->] (-\l,-1) -- (-\l,-6); +\draw[->] (\l,-1) -- (\l,-6); +\draw[->] (A) -- (C); +\draw[->] (B) -- (D); +\fill (A) circle[radius=0.08]; +\fill (B) circle[radius=0.08]; +\node at ($0.8*(A)+0.2*(C)$) [above right] {$x=g^a$}; +\node at ($0.8*(B)+0.2*(D)$) [above left] {$y=g^b$}; +\node at (-\l,-5.5) [left] {$s=g^{ab}=y^a\in\mathbb{F}_p$ ausrechnen}; +\node at (\l,-5.5) [right] {$s=g^{ab}=x^b\in\mathbb{F}_p$ ausrechnen}; +\fill[rounded corners=0.3cm,color=darkgreen!20] ({-\l-1},-7) rectangle ({\l+1},-6); +\draw[rounded corners=0.3cm] ({-\l-1},-7) rectangle ({\l+1},-6); +\node at (0,-6.5) {$A$ und $B$ haben den gemeinsamen Schlüssel $s$}; +\end{tikzpicture} +\caption{Schlüsselaustausch nach Diffie-Hellman. +Die Kommunikationspartner $A$ und $B$ einigen sich öffentlich auf +$p\in\mathbb{N}$ und $g\in\mathbb{F}_p$. +$A$ wählt dann einen privaten Schlüssel $a\in\mathbb{N}$ und +$B$ wählt $b\in\mathbb{N}$, sie tauschen dann $x=g^a$ und $y=g^b$ +aus. +$A$ erhält den gemeinsamen Schlüssel aus $y^a$, $B$ erhält ihn +aus $x^b$. +\label{buch:crypto:fig:dh}} +\end{figure} + +Aus $x$ und $y$ muss jetzt der gemeinsame Schlüssel abgeleitet werden. +$A$ kennt $y=g^b$ und $a$, $B$ kennt $x=g^a$ und $b$. +Beide können die Zahl $s=g^{ab}\in\mathbb{F}_p$ berechnen. +$A$ macht das, indem er $y^a=(g^b)^a = g^{ab}$ rechnet, +$B$ rechnet $x^b = (g^a)^b = g^{ab}$, beide natürlich in $\mathbb{F}_p$. +Der Lauscher kann aber $g^{ab}$ nicht ermitteln, dazu müsste er +$a$ oder $b$ ermitteln können. +Die Zahl $s=g^{ab}$ kann also als gemeinsamer Schlüssel verwendet +werden. + + + +\subsection{Elliptische Kurven +\label{buch:subsection:elliptische-kurven}} +Das Diffie-Hellman-Verfahren basiert auf der Schwierigkeit, in einem +Körper $\mathbb{F}_p$ die Gleichung $a^x=b$ nach $x$ aufzulösen. + + -- cgit v1.2.1 From f77bfcccafa6a81bfec912643186f147865d7a50 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 2 Feb 2021 11:49:26 +0100 Subject: intro to elliptic curve crypto --- buch/chapters/90-crypto/ff.tex | 214 ++++++++++++++++++++++++++++++++++------- 1 file changed, 178 insertions(+), 36 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/90-crypto/ff.tex') diff --git a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex index f05dd20..d5d2fcf 100644 --- a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex +++ b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex @@ -116,6 +116,44 @@ Primafaktoren ähnlicher Grössenordnung wie $p$ sind. Die Funktion $x\mapsto g^x$ ist die gesuchte, schwierig zu invertierende Funktion. +Auf dern ersten Blick scheint der +Algorithmus~\ref{buch:crypto:algo:divide-and-conquer} +den Nachteil zu haben, dass erst die Binärdarstellung der Zahl $a$ +ermittelt werden muss. +In einem Computer ist dies aber normalerweise kein Problem, da $a$ +im Computer ohnehin binär dargestellt ist. +Die Binärziffern werden in der Reihenfolge vom niederwertigsten zum +höchstwertigen Bit benötigt. +Die folgende Modifikation des Algorithmus ermittelt laufend +auch die Binärstellen von $a$. +Die dazu notwendigen Operationen sind im Binärsystem besonders +effizient implementierbar, die Division durch 2 ist ein Bitshift, der +Rest ist einfach das niederwertigste Bit der Zahl. + +\begin{algorithmus} +\label{buch:crypto:algo:divide-and-conquer2} +\begin{enumerate} +\item +Setze $f=g$, $x=1$, $i=0$ +\item +Solange $a>0$ ist, führe aus +\begin{enumerate} +\item +Verwende den euklidischen Algorithmus um $r$ und $b$ zu bestimmen mit $a=2b+r$ +\item +Falls $r=1$ setze $x \coloneqq x \cdot f$ +\item +$i \coloneqq i+1$, $a = b$ und $f\coloneqq f\cdot f$ +\end{enumerate} +\end{enumerate} +Die Potenz $x=g^a$ kann so in $O(\log_2a)$ Multiplikationen +berechnet werden. +\end{algorithmus} + + +% +% Diffie-Hellman Schlüsseltausch +% \subsection{Diffie-Hellman-Schlüsseltausch \label{buch:subsection:diffie-hellman}} Eine Grundaufgabe der Verschlüsselung im Internet ist, dass zwei @@ -151,42 +189,7 @@ $y=g^b\in\mathbb{F}_p$. \begin{figure} \centering -\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] -\def\l{2.5} -\fill[color=blue!20] (-7,-6.5) rectangle (7,0.5); -\fill[color=red!20] (-\l,-6.5) rectangle (\l,0.501); -\node[color=red] at (0,-1.5) {öffentliches Netzwerk}; -\node[color=blue] at (-7,0.2) [right] {privat}; -\node[color=blue] at (7,0.2) [left] {privat}; -\coordinate (A) at (-\l,-2.5); -\coordinate (C) at (\l,-5.5); -\coordinate (B) at (\l,-2.5); -\coordinate (D) at (-\l,-5.5); -\node at (0,0) {$p\in\mathbb{N},g\in\mathbb{F}_p$ aushandeln}; -\fill[color=white] (-\l,-0.7) circle[radius=0.3]; -\draw (-\l,-0.7) circle[radius=0.3]; -\fill[color=white] (\l,-0.7) circle[radius=0.3]; -\draw (\l,-0.7) circle[radius=0.3]; -\node at (-\l,-0.7) {$A$}; -\node at (\l,-0.7) {$B$}; -\node at (-\l,-1.5) [left] {$a$ auswählen}; -\node at (-\l,-2.0) [left] {$x=g^a\in\mathbb{F}_p$ auswählen}; -\node at (\l,-1.5) [right] {$b$ auswählen}; -\node at (\l,-2.0) [right] {$y=g^b\in\mathbb{F}_p$ auswählen}; -\draw[->] (-\l,-1) -- (-\l,-6); -\draw[->] (\l,-1) -- (\l,-6); -\draw[->] (A) -- (C); -\draw[->] (B) -- (D); -\fill (A) circle[radius=0.08]; -\fill (B) circle[radius=0.08]; -\node at ($0.8*(A)+0.2*(C)$) [above right] {$x=g^a$}; -\node at ($0.8*(B)+0.2*(D)$) [above left] {$y=g^b$}; -\node at (-\l,-5.5) [left] {$s=g^{ab}=y^a\in\mathbb{F}_p$ ausrechnen}; -\node at (\l,-5.5) [right] {$s=g^{ab}=x^b\in\mathbb{F}_p$ ausrechnen}; -\fill[rounded corners=0.3cm,color=darkgreen!20] ({-\l-1},-7) rectangle ({\l+1},-6); -\draw[rounded corners=0.3cm] ({-\l-1},-7) rectangle ({\l+1},-6); -\node at (0,-6.5) {$A$ und $B$ haben den gemeinsamen Schlüssel $s$}; -\end{tikzpicture} +\includegraphics{chapters/90-crypto/images/dh.pdf} \caption{Schlüsselaustausch nach Diffie-Hellman. Die Kommunikationspartner $A$ und $B$ einigen sich öffentlich auf $p\in\mathbb{N}$ und $g\in\mathbb{F}_p$. @@ -214,5 +217,144 @@ werden. \label{buch:subsection:elliptische-kurven}} Das Diffie-Hellman-Verfahren basiert auf der Schwierigkeit, in einem Körper $\mathbb{F}_p$ die Gleichung $a^x=b$ nach $x$ aufzulösen. +Die Addition in $\mathbb{F}_p$ wird dazu nicht benötigt. +Es reicht, eine Menge mit einer Multiplikation zu haben, in der das +die Gleichung $a^x=b$ schwierig zu lösen ist. +Ein Gruppe wäre also durchaus ausreichend. + +Ein Kandidat für eine solche Gruppe könnte der Einheitskreis +$S^1=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|=1\}$ in der komplexen Ebene sein. +Wählt man eine Zahl $g=e^{i\alpha}$, wobei $\alpha$ ein irrationales +Vielfaches von $\pi$ ist, dann sind alle Potenzen $g^n$ für natürliche +Exponenten voneinander verschieden. +Wäre nämlich $g^{n_1}=g^{n_2}$, dann wäre $e^{i\alpha(n_1-n_2)}=1$ und +somit müsste $\alpha=2k\pi/(n_1-n_2)$ sein. +Damit wäre aber $\alpha$ ein rationales Vielfaches von $\pi$, im Widerspruch +zur Voraussetzung. +Die Abbildung $n\mapsto g^n\in S^1$ ist auf den ersten Blick etwa ähnlich +undurchschaubar wie die Abbildung $n\mapsto g^n\in\mathbb{F}_p$. +Es gibt zwar die komplexe Logarithmusfunktion, mit der man $n$ bestimmen +kann, dazu muss man aber den Wert von $g^n$ mit beliebiger Genauigkeit +kennen, denn die Werte von $g^n$ können beliebig nahe beieinander liegen. + +Der Einheitskreis ist die Lösungsmenge der Gleichung $x^2+y^2=1$ für +reelle Koordinaten $x$ und $y$, +doch Rundungsunsicherheiten verunmöglichen den Einsatz in einem +Verfahren ähnlich dem Diffie-Hellman-Verfahren. +Dieses Problem kann gelöst werden, indem für die Variablen Werte +aus einem endlichen Körper verwendet werden. +Gesucht ist also eine Gleichung in zwei Variablen, deren Lösungsmenge +in einem endlichen Körper eine Gruppenstruktur trägt. +Die Lösungsmenge ist eine ``Kurve'' von Punkten mit +Koordinaten in einem endlichen Körper. + +In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass sogenannte elliptische Kurven +über endlichen Körpern genau die verlangen Eigenschaften haben. + +\subsubsection{Elliptische Kurven} +Elliptische Kurven sind Lösungen einer Gleichung der Form +\begin{equation} +Y^2+XY=X^3+aX+b +\label{buch:crypto:eqn:ellipticcurve} +\end{equation} +mit Werten von $X$ und $Y$ in einem geeigneten Körper. +Die Koeffizienten $a$ und $b$ müssen so gewählt werden, dass die +Gleichung~\eqref{buch:crypto:eqn:ellipticcurve} genügend viele +Lösungen hat. +Über den komplexen Zahlen hat die Gleichung natürlich für jede Wahl von +$X$ drei Lösungen. +Für einen endlichen Körper können wir dies im allgemeinen nicht erwarten, +aber wenn wir genügend viele Wurzeln zu $\mathbb{F}$ hinzufügen können wir +mindestens erreichen, dass die Lösungsmenge so viele Elemente hat, +dass ein Versuch, die Gleichung $g^x=b$ mittels Durchprobierens zu +lösen, zum Scheitern verurteil ist. + +\begin{definition} +\label{buch:crypto:def:ellipticcurve} +Die {\em elliptische Kurve} $E_{a,b}(\Bbbk)$ über dem Körper $\Bbbk$ ist +die Menge +\[ +E_{a,b}(\Bbbk) += +\{(X,Y)\in\Bbbk^2\;|\;Y^2+XY=X^3+aX+b\}, +\] +für $a,b\in\Bbbk$. +\end{definition} + +Um die Anschauung zu vereinfachen, werden wir elliptische Kurven über +dem Körper $\mathbb{R}$ visualisieren. +Die daraus gewonnenen geometrischen Einsichten werden wir anschliessend +algebraisch umsetzen. +In den reellen Zahlen kann man die +Gleichung~\eqref{buch:crypto:eqn:ellipticcurve} +noch etwas vereinfachen. +Indem man in \eqref{buch:crypto:eqn:ellipticcurve} +quadratisch ergänzt, bekommt man +\begin{align} +Y^2 + XY + \frac14X^2 &= X^3+\frac14 X^2 +aX+b +\notag +\\ +\Rightarrow\qquad +v^2&=X^3+\frac14X^2+aX+b, +\label{buch:crypto:eqn:ell2} +\end{align} +indem man $v=Y+\frac12X$ setzt. +Man beachte, dass man diese Substition nur machen kann, wenn $\frac12$ +definiert ist. +In $\mathbb{R}$ ist dies kein Problem, aber genau über den Körpern +mit Charakteristik $2$, die wir für die Computer-Implementation +bevorzugen, ist dies nicht möglich. +Es geht hier aber nur um die Visualisierung. + +Auch die Form \eqref{buch:crypto:eqn:ell2} lässt sich noch etwas +vereinfachen. +Setzt man $X=u-\frac1{12}$, dann verschwindet nach einiger Rechnung, +die wir hier nicht durchführen wollen, der quadratische Term +auf der rechten Seite. +Die interessierenden Punkte sind Lösungen der einfacheren Gleichung +\begin{equation} +v^2 += +u^3+\biggl(a-\frac{1}{48}\biggr)u + b-\frac{a}{12}+\frac{1}{864} += +u^3+Au+B. +\label{buch:crypto:ellvereinfacht} +\end{equation} +In dieser Form ist mit $(u,v)$ immer auch $(u,-v)$ eine Lösung, +die Kurve ist symmetrisch bezüglich der $u$-Achse. +Ebenso kann man ablesen, dass nur diejenigen $u$-Werte möglich sind, +für die das kubische Polynom $u^3+Au+B$ auf der rechten Seite von +\eqref{buch:crypto:ellvereinfacht} +nicht negativ ist. + +Sind $u_1$, $u_2$ und $u_3$ die Nullstellen des kubischen Polynoms +auf der rechten Seite von~\eqref{buch:crypto:ellvereinfacht}, folgt +\[ +v^2 += +(u-u_1)(u-u_2)(u-u_3) += +u^3 +-(u_1+u_2+u_3)u^2 ++(u_1u_2+u_1u_3+u_2u_3)u +- +u_1u_2u_3. +\] +Durch Koeffizientenvergleich sieht man, dass $u_1+u_2+u_3=0$ sein muss. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/90-crypto/images/elliptic.pdf} +\caption{Elliptische Kurve in $\mathbb{R}$ in der Form +$v^2=u^3+Au+B$ mit Nullstellen $u_1$, $u_2$ und $u_3$ des +kubischen Polynoms auf der rechten Seite. +Die blauen Punkte und Geraden illustrieren die Definition der +Gruppenoperation in der elliptischen Kurve. +\label{buch:crypto:fig:elliptischekurve}} +\end{figure} +Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:elliptischekurve} +zeigt eine elliptische Kurve in der Ebene. + +\subsubsection{Gruppenoperation} +\subsubsection{Beispiele} -- cgit v1.2.1 From 5125e2d9711ffd6904384159829673155cab683d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 2 Feb 2021 21:31:33 +0100 Subject: new stuff --- buch/chapters/90-crypto/ff.tex | 298 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 297 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/chapters/90-crypto/ff.tex') diff --git a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex index d5d2fcf..9d92312 100644 --- a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex +++ b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex @@ -354,7 +354,303 @@ Gruppenoperation in der elliptischen Kurve. Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:elliptischekurve} zeigt eine elliptische Kurve in der Ebene. -\subsubsection{Gruppenoperation} +\subsubsection{Geometrische Definition der Gruppenoperation} +In der speziellen Form \ref{buch:crypto:ellvereinfacht} ist die +elliptische Kurve symmetrisch unter Spiegelung an der $u$-Achse. +Die Spiegelung ist eine Involution, zweimalige Ausführung führt auf +den ursprünglichen Punkt zurück. +Die Inverse in einer Gruppe hat diese Eigenschaft auch, es ist +daher naheliegend, den gespiegelten Punkt als die Inverse eines +Elementes zu nehmen. + +Eine Gerade durch zwei Punkte der +in Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:elliptischekurve} +dargestellten Kurve schneidet die Kurve ein drittes Mal. +Die Gruppenoperation wird so definiert, dass drei Punkte der Kurve +auf einer Geraden das Gruppenprodukt $e$ haben. +Da aus $g_1g_2g_3=e$ folgt $g_3=(g_1g_2)^{-1}$ oder +$g_1g_2=g_3^{-1}$, erhält man das Gruppenprodukt zweier Elemente +auf der elliptischen Kurve indem erst den dritten Schnittpunkt +ermittelt und diesen dann an der $u$-Achse spiegelt. + +Die geometrische Konstruktion schlägt fehl, wenn $g_1=g_2$ ist. +In diesem Fall kann man die Tangente im Punkt $g_1$ an die Kurve +verwenden. +Dieser Fall tritt zum Beispiel auch in den drei Punkten +$(u_1,0)$, $(u_2,0)$ und $(u_3,0)$ ein. + +Um das neutrale Element der Gruppe zu finden, können wir +zwei Punkte $g$ und $g^{-1}$ miteinander verknüpfen. +Die Gerade durch $g$ und $g^{-1}$ schneidet aber die Kurve +kein drittes Mal. +Ausserdem sind alle Geraden durch $g$ und $g^{-1}$ für verschiedene +$g$ parallel. +Das neutrale Element entspricht also einem unendlich weit entfernten Punkt. +Das neutrale Element entsteht immer dann als Produkt, wenn zwei +Punkte die gleiche $u$-Koordinaten haben. + +\subsubsection{Gruppenoperation, algebraische Konstruktion} +Nach den geometrischen Vorarbeiten zur Definition der Gruppenoperation +kann können wir die Konstruktion jetzt algebraisch umsetzen. + +Zunächst überlegen wir uns wieder eine Involution, welche als Inverse +dienen kann. +Dazu beachten wir, dass die linke Seite der definierenden Gleichung +\begin{equation} +Y^2+XY=X^3-aX+b. +\label{buch:crypto:eqn:grupopgl} +\end{equation} +auch als $Y(Y+X)$ geschrieben werden kann. +Die Abbildung $Y\mapsto -X-Y$ macht daraus +\[ +(-X-Y)(-X-Y+X)=(X+Y)Y, +\] +dies ist also die gesuchte Involution. + +Seien also $g_1=(x_1,y_1)$ und $g_2=(x_2,y_2)$ zwei verschiedene Lösungen +der Gleichung \eqref{buch:crypto:eqn:grupopgl} +Als erstes brauchen wir eine Gleichung für die Gerade durch die beiden +Punkte. +Sei also $l(X,Y)$ eine Linearform derart, dass $l(g_1)=d$ und $l(g_2)=d$ +für ein geeignetes $d\in\Bbbk$. +Dann gilt auch für die Punkte +\[ +g(t) = tg_1 + (1-t)g_2 +\qquad\Rightarrow\qquad +l(g(t)) += +tl(g_1) + (1-t)l(g_2) += +tc+(1-t)c += +(t+1-t)c +=c, +\] +jeder Punkt der Geraden durch $g_1$ und $g_2$ lässt sich in dieser Form +schreiben. + +Setzt man jetzt $g(t)$ in die Gleichung ein, erhält man eine kubische +Gleichung in $t$, von der wir bereits zwei Nullstellen kennen, nämlich +$0$ und $1$. +Die kubische Gleichung muss also durch $t$ und $(t-1)$ teilbar sein. +Diese Berechnung kann man einfach in einem Computeralgebrasystem +durchführen. +Das Polynom ist +\[ +p(t) += +\] +Nach Division durch $t(t-1)$ erhält man als den Quotienten +\begin{align*} +q(t) +&= +(y_2-y_1)^2 ++ +(y_2-y_1) (x_2-x_1) ++ +t(x_2-x_1)^3 +- +2x_2^3+3x_1x_2^2-x_1^3 +\end{align*} +und den Rest +\[ +r(t) += +t(y_1^2+x_1y_1-x_1^3-ax_1-b) ++ +(1-t)(y_2^2+x_2y_2-x_2^3-ax_2-b). +\] +Die Klammerausdrücke verschwinden, da die sie gleichbedeutend damit sind, +dass die Punkte Lösungen von \eqref{buch:crypto:eqn:grupopgl} sind. + +Für den dritten Punkt auf der Geraden muss $t$ so gewählt werden, dass +$q(t)=0$ ist. +Dies ist aber eine lineare Gleichung mit der Lösung +\begin{align*} +t +&= +-\frac{ +(y_1-y_2)^2 ++ +(y_2-y_1)(x_2-x_1) +-2x_2^3+3x_1x_2^2-x_1^3 +}{(x_2-x_1)^3} +. +\end{align*} +Setzt man dies $g(t)$ ein, erhält man für die Koordinaten des dritten +Punktes $g_3$ die Werte +\begin{align} +x_3 +&= +\frac{ +(y_2-y_1)^2(x_2-x_1) + (y_2-y_1)(x_2-x_1)^2 +-(x_2^4+x_1^4) +}{ +(x_2-x_1)^3 +} +\label{buch:crypto:eqn:x3} +\\ +y_3 +&= +\frac{ +(y_2-y_1)^3 ++(x_2-x_1)(y_2-y_1)^2 +-(x_{2}-x_{1})^3 ( y_{2} - y_{1}) +-(x_{2}-x_{1})^2 ( x_{1} y_{2}- x_{2} y_{1}) +}{ +(x_2-x_1)^3 +} +\label{buch:crypto:eqn:y3} +\end{align} +Die Gleichungen +\eqref{buch:crypto:eqn:x3} +und +\eqref{buch:crypto:eqn:y3} +ermöglichen also, das Element $g_1g_2^{-1}$ zu berechnen. +Interessant daran ist, dass in den Formeln die Konstanten $a$ und $b$ +gar nicht vorkommen. + +Es bleibt noch der wichtige Fall des Quadrierens in der Gruppe zu +behandeln, also den Fall $g_1=g_2$. +In diese Fall sind die Formeln +\eqref{buch:crypto:eqn:x3} +und +\eqref{buch:crypto:eqn:y3} +ganz offensichtlich nicht anwendbar. +Die geometrische Anschauung hat nahegelegt, die Tangent an die Kurve +im Punkt $g_1$ zu nehmen. +In $\mathbb{R}$ würde man dafür einen Grenzübergang $g_2\to g_1$ machen, +aber in einem endlichen Körper ist dies natürlich nicht möglich. + +Wir schreiben die Gerade als Parameterdarstellung in der Form +\( +t\mapsto g(t)= (x_1+ut, y_1+vt) +\) +für beliebige Parameter in $\Bbbk$. +Die Werte $u_1$ und $u_2$ müssen so gewählt werden, dass $g(t)$ eine +Tangente wird. +Setzt man $g(t)$ in die Gleichung~\eqref{buch:crypto:eqn:grupopgl} ein, +entsteht ein kubische Gleichung, die genau dann eine doppelte Nullstelle +bei $0$ hat, wenn $u,v$ die Tangentenrichtung beschreiben. +Einsetzen von $g(t)$ in \eqref{buch:crypto:eqn:grupopgl} +ergibt die Gleichung +\begin{align} +0 +&= +-u^3t^3 ++ +(-3u^2x_{1}+v^2+uv)t^2 ++ +(2vy_1+uy_1-3ux_1^2+vx_1-au)t ++ +(y_1^2+x_1y_1-x_1^3-ax_1-b) +\label{buch:crypto:eqn:tangente1} +\end{align} +Damit bei $t=0$ eine doppelte Nullstelle mussen die letzten beiden +Koeffizienten verschwinden, dies führt auf die Gleichungen +\begin{align} +y_1^2+x_1y_1&=x_1^3+ax_1+b +\label{buch:crypto:eqn:rest1} +\\ +(2y_1 ++x_1)v ++(y_1 +-3x_1^2 +-a)u +&=0 +\label{buch:crypto:eqn:rest2} +\end{align} +Die erste Gleichung \eqref{buch:crypto:eqn:rest1} drückt aus, +dass $g_1$ ein Punkt der Kurve ist, sie ist automatisch erfüllt. + +Die zweite Gleichung +\eqref{buch:crypto:eqn:rest2} +legt das Verhältnis von $u$ und $v$, also die +\label{buch:crypto:eqn:rest2} +Tangentenrichtung fest. +Eine mögliche Lösung ist +\begin{equation} +\begin{aligned} +u &= x_1+2y_1 +\\ +v &= -y_1+3x_1^2+a. +\end{aligned} +\label{buch:crypto:eqn:uv} +\end{equation} + +Der Quotient ist ein lineares Polynom in $t$, die Nullstelle parametrisiert +den Punkt, der $(g_1)^{-2}$ entspricht. +Der zugehörige Wert von $t$ ist +\begin{equation} +t=-\frac{3u^2x_1-v^2-uv}{u^3}. +\label{buch:crypto:eqn:t} +\end{equation} + + +Setzt man +\label{buch:crypto:eqn:t} +und +\eqref{buch:crypto:eqn:uv} +in $g(t)$ ein, erhält man sehr komplizierte Ausdrücke für den dritten Punkt. +Wir verzichten darauf, diese Ausdrücke hier aufzuschreiben. +In der Praxis wird man in einem Körper der Charakteristik 2 arbeiten. +In diesem Körper werden alle geraden Koeffizienten zu $0$, alle ungeraden +Koeffizienten werden unabhängig vom Vorzeichen zu $1$. +Damit bekommt man die folgenden, sehr viel übersichtlicheren Ausdrücke +für den dritten Punkt: +\begin{equation} +\begin{aligned} +x +&= +-\frac{ +y_1^2+x_1y_1+x_1^4+x_1^3+ax_1-a^2 + }{ +x_1^2 +} +\\ +y +&= +\frac{ +y_1^3+(x_1^2+x_1+a)y_1^2+(x_1^4 +a^2)y_1+x_1^6+ax_1^4+ax_1^3+a^2x_1^2+a^2x_1+a^3 +}{ + x_1^3 +} +\end{aligned} +\label{buch:crypto:eqn:tangentechar2} +\end{equation} +Damit haben wir einen vollständigen Formelsatz für die Berechnung der +Gruppenoperation in der elliptischen Kurve mindestens für den praktisch +relevanten Fall einer Kurve über einem Körper der Charakteristik $2$. + +\begin{satz} +Die elliptische Kurve +\[ +E_{a,b}(\mathbb{F}_{p^l}) += +\{ +(X,Y)\in\mathbb{F}_{p^l} +\;|\; +Y^2+XY = X^3-aX-b +\} +\] +trägt eine Gruppenstruktur, die wie folgt definiert ist: +\begin{enumerate} +\item Der Punkt $(0,0)$ entspricht dem neutralen Element. +\item Das inverse Element von $(x,y)$ ist $(-x,-y-x)$. +\item Für zwei verschiedene Punkte $g_1$ und $g_2$ kann $g_3=(g_1g_2)^{-1}$ +mit Hilfe der Formeln +\eqref{buch:crypto:eqn:x3} +und +\eqref{buch:crypto:eqn:y3} +gefunden werden. +\item Für einen Punkt $g_1$ kann $g_3=g_1^{-2}$ in Charakteristik $2$ mit +Hilfe der Formeln +\eqref{buch:crypto:eqn:tangentechar2} +gefunden werden. +\end{enumerate} +Diese Operationen machen $E_{a,b}(\mathbb{F}_{p^l})$ zu einer endlichen +abelschen Gruppe. +\end{satz} \subsubsection{Beispiele} -- cgit v1.2.1 From 80a0db65be9dd3d36b3d5503fdcbfac16f6783e5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 4 Feb 2021 13:24:09 +0100 Subject: Frobenius+Binomialkoeffizienten farbig --- buch/chapters/90-crypto/ff.tex | 8 ++++++++ 1 file changed, 8 insertions(+) (limited to 'buch/chapters/90-crypto/ff.tex') diff --git a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex index 9d92312..73ab0b7 100644 --- a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex +++ b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex @@ -653,4 +653,12 @@ abelschen Gruppe. \end{satz} \subsubsection{Beispiele} +% XXX +TODO: elliptische Kurven in IPsec: Oakley Gruppen + +\subsubsection{Diffie-Hellman in einer elliptischen Kurve} +% XXX +TODO: g^x in einer elliptischen Kurve + + -- cgit v1.2.1 From eb4e65f7039f4ec68d9ed84c97e0668c7efe1526 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 4 Feb 2021 13:25:27 +0100 Subject: minor cleanup --- buch/chapters/90-crypto/ff.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/chapters/90-crypto/ff.tex') diff --git a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex index 73ab0b7..4ab9c34 100644 --- a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex +++ b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex @@ -658,7 +658,7 @@ TODO: elliptische Kurven in IPsec: Oakley Gruppen \subsubsection{Diffie-Hellman in einer elliptischen Kurve} % XXX -TODO: g^x in einer elliptischen Kurve +TODO: $g^x$ in einer elliptischen Kurve -- cgit v1.2.1