From b1a909384ea96997c563d43e461cb514212f57e6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Wed, 15 Sep 2021 18:45:28 +0200
Subject: improve images

---
 buch/chapters/90-crypto/ff.tex | 495 -----------------------------------------
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index b295db8..066b9d2 100644
--- a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex
+++ b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex
@@ -177,8 +177,6 @@ Es muss davon ausgegangen werden, dass die Kommunikation abgehört wird.
 Trotzdem soll es für einen Lauscher nicht möglich sein, den 
 ausgehandelten Schlüssel zu ermitteln.
 
-% XXX Historisches zu Diffie und Hellman
-
 Die beiden Partner $A$ und $B$ einigen sich zunächst auf eine Zahl $g$,
 die öffentlich bekannt sein darf.
 Weiter erzeugen sie eine zufällige Zahl $a$ und $b$, die sie geheim
@@ -227,496 +225,3 @@ $a$ oder $b$ ermitteln können.
 Die Zahl $s=g^{ab}$ kann also als gemeinsamer Schlüssel verwendet
 werden.
 
-%%
-%% elliptisch.tex
-%%
-%% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostshweizer Fachhochschule
-%%
-%\subsection{Elliptische Kurven
-%\label{buch:subsection:elliptische-kurven}}
-%\index{elliptische Kurve}%
-%Das Diffie-Hellman-Verfahren basiert auf der Schwierigkeit, in einem 
-%Körper $\mathbb{F}_p$ die Gleichung $a^x=b$ nach $x$ aufzulösen.
-%Die Addition in $\mathbb{F}_p$ wird dazu nicht benötigt.
-%Es reicht, eine Menge mit einer Multiplikation zu haben, fir die
-%die Gleichung $a^x=b$ schwierig zu lösen ist.
-%Ein Halbgruppe wäre also durchaus ausreichend.
-%
-%Ein Kandidat für eine solche Gruppe könnte der Einheitskreis
-%$S^1=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|=1\}$ in der komplexen Ebene sein.
-%Wählt man eine Zahl $g=e^{i\alpha}$, wobei $\alpha$ ein irrationales
-%Vielfaches von $\pi$ ist, dann sind alle Potenzen $g^n$ für natürliche
-%Exponenten voneinander verschieden.
-%Wäre nämlich $g^{n_1}=g^{n_2}$, dann wäre $e^{i\alpha(n_1-n_2)}=1$ und
-%somit müsste $\alpha=2k\pi/(n_1-n_2)$ sein.
-%Damit wäre aber $\alpha$ ein rationales Vielfaches von $\pi$, im Widerspruch
-%zur Voraussetzung.
-%Die Abbildung $n\mapsto g^n\in S^1$ ist auf den ersten Blick etwa ähnlich
-%undurchschaubar wie die Abbildung $n\mapsto g^n\in\mathbb{F}_p$.
-%Es gibt zwar die komplexe Logarithmusfunktion, mit der man $n$ bestimmen
-%kann, dazu muss man aber den Wert von $g^n$ mit beliebiger Genauigkeit
-%kennen, denn die Werte von $g^n$ können beliebig nahe beieinander liegen.
-%
-%Der Einheitskreis ist die Lösungsmenge der Gleichung $x^2+y^2=1$ für
-%reelle Koordinaten $x$ und $y$,
-%doch Rundungsunsicherheiten verunmöglichen den Einsatz in einem 
-%Verfahren ähnlich dem Diffie-Hellman-Verfahren.
-%Dieses Problem kann gelöst werden, indem für die Variablen Werte
-%aus einem endlichen Körper verwendet werden.
-%Gesucht ist also eine Gleichung in zwei Variablen, deren Lösungsmenge
-%in einem endlichen Körper eine Gruppenstruktur trägt.
-%Die Lösungsmenge ist eine ``Kurve'' von Punkten mit
-%\index{Kurve}%
-%Koordinaten in einem endlichen Körper.
-%
-%In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass sogenannte elliptische Kurven
-%über endlichen Körpern genau die verlangen Eigenschaften haben.
-%
-%\subsubsection{Elliptische Kurven}
-%Elliptische Kurven sind Lösungen einer Gleichung der Form
-%\begin{equation}
-%Y^2+XY=X^3+aX+b
-%\label{buch:crypto:eqn:ellipticcurve}
-%\end{equation}
-%mit Werten von $X$ und $Y$ in einem geeigneten Körper.
-%Die Koeffizienten $a$ und $b$ müssen so gewählt werden, dass die
-%Gleichung~\eqref{buch:crypto:eqn:ellipticcurve} genügend viele
-%Lösungen hat.
-%Über den komplexen Zahlen hat die Gleichung natürlich für jede Wahl von
-%$X$ drei Lösungen.
-%Für einen endlichen Körper können wir dies im allgemeinen nicht erwarten,
-%aber wenn wir genügend viele Wurzeln zu $\mathbb{F}$ hinzufügen können wir
-%mindestens erreichen, dass die Lösungsmenge so viele Elemente hat, 
-%dass ein Versuch, die Gleichung $g^x=b$ mittels Durchprobierens zu
-%lösen, zum Scheitern verurteilt ist.
-%
-%\begin{definition}
-%\label{buch:crypto:def:ellipticcurve}
-%Die {\em elliptische Kurve} $E_{a,b}(\Bbbk)$ über dem Körper $\Bbbk$ ist 
-%\index{elliptische Kurve}%
-%die Menge
-%\[
-%E_{a,b}(\Bbbk)
-%=
-%\{(X,Y)\in\Bbbk^2\;|\;Y^2+XY=X^3+aX+b\},
-%\]
-%für $a,b\in\Bbbk$.
-%\end{definition}
-%
-%Um die Anschauung zu vereinfachen, werden wir elliptische Kurven über
-%dem Körper $\mathbb{R}$ visualisieren.
-%Die daraus gewonnenen geometrischen Einsichten werden wir anschliessend
-%algebraisch umsetzen.
-%In den reellen Zahlen kann man die
-%Gleichung~\eqref{buch:crypto:eqn:ellipticcurve}
-%noch etwas vereinfachen.
-%Indem man in \eqref{buch:crypto:eqn:ellipticcurve} 
-%quadratisch ergänzt, bekommt man
-%\begin{align}
-%Y^2 + XY + \frac14X^2 &= X^3+\frac14 X^2 +aX+b
-%\notag
-%\\
-%\Rightarrow\qquad
-%v^2&=X^3+\frac14X^2+aX+b,
-%\label{buch:crypto:eqn:ell2}
-%\end{align}
-%indem man $v=Y+\frac12X$ setzt.
-%Man beachte, dass man diese Substition nur machen kann, wenn $\frac12$
-%definiert ist.
-%In $\mathbb{R}$ ist dies kein Problem, aber genau über den Körpern
-%mit Charakteristik $2$, die wir für die Computer-Implementation
-%bevorzugen, ist dies nicht möglich.
-%Es geht hier aber nur um die Visualisierung.
-%
-%Auch die Form \eqref{buch:crypto:eqn:ell2} lässt sich noch etwas 
-%vereinfachen.
-%Setzt man $X=u-\frac1{12}$, dann verschwindet nach einiger Rechnung,
-%die wir hier nicht durchführen wollen, der quadratische Term
-%auf der rechten Seite.
-%Die interessierenden Punkte sind Lösungen der einfacheren Gleichung
-%\begin{equation}
-%v^2
-%=
-%u^3+\biggl(a-\frac{1}{48}\biggr)u + b-\frac{a}{12}+\frac{1}{864}
-%=
-%u^3+Au+B.
-%\label{buch:crypto:ellvereinfacht}
-%\end{equation}
-%In dieser Form ist mit $(u,v)$ immer auch $(u,-v)$ eine Lösung,
-%die Kurve ist symmetrisch bezüglich der $u$-Achse.
-%Ebenso kann man ablesen, dass nur diejenigen $u$-Werte möglich sind,
-%für die das kubische Polynom $u^3+Au+B$ auf der rechten Seite von
-%\eqref{buch:crypto:ellvereinfacht}
-%nicht negativ ist.
-%
-%Sind $u_1$, $u_2$ und $u_3$ die Nullstellen des kubischen Polynoms
-%auf der rechten Seite von~\eqref{buch:crypto:ellvereinfacht}, folgt
-%\[
-%v^2
-%=
-%(u-u_1)(u-u_2)(u-u_3)
-%=
-%u^3
-%-(u_1+u_2+u_3)u^2
-%+(u_1u_2+u_1u_3+u_2u_3)u
-%-
-%u_1u_2u_3.
-%\]
-%Durch Koeffizientenvergleich sieht man, dass $u_1+u_2+u_3=0$ sein muss.
-%\begin{figure}
-%\centering
-%\includegraphics{chapters/90-crypto/images/elliptic.pdf}
-%\caption{Elliptische Kurve in $\mathbb{R}$ in der Form
-%$v^2=u^3+Au+B$ mit Nullstellen $u_1$, $u_2$ und $u_3$ des
-%kubischen Polynoms auf der rechten Seite.
-%Die blauen Punkte und Geraden illustrieren die Definition der
-%Gruppenoperation in der elliptischen Kurve.
-%\label{buch:crypto:fig:elliptischekurve}}
-%\end{figure}
-%Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:elliptischekurve}
-%zeigt eine elliptische Kurve in der Ebene $\mathbb{R}^2$.
-%
-%\subsubsection{Geometrische Definition der Gruppenoperation}
-%In der speziellen Form \ref{buch:crypto:ellvereinfacht} ist die
-%elliptische Kurve symmetrisch unter Spiegelung an der $u$-Achse.
-%Die Spiegelung ist eine Involution, zweimalige Ausführung führt auf
-%den ursprünglichen Punkt zurück.
-%Die Inverse in einer Gruppe hat diese Eigenschaft auch, es ist
-%daher naheliegend, den gespiegelten Punkt als die Inverse eines
-%Elementes zu nehmen.
-%
-%Eine Gerade durch zwei Punkte der
-%in Abbildung~\ref{buch:crypto:fig:elliptischekurve}
-%dargestellten Kurve schneidet die Kurve ein drittes Mal.
-%Die Gruppenoperation wird so definiert, dass drei Punkte der Kurve
-%auf einer Geraden das Gruppenprodukt $e$ haben.
-%Da aus $g_1g_2g_3=e$ folgt $g_3=(g_1g_2)^{-1}$ oder
-%$g_1g_2=g_3^{-1}$, erhält man das Gruppenprodukt zweier Elemente
-%auf der elliptischen Kurve indem erst den dritten Schnittpunkt
-%ermittelt und diesen dann an der $u$-Achse spiegelt.
-%
-%Die geometrische Konstruktion schlägt fehl, wenn $g_1=g_2$ ist.
-%In diesem Fall kann man die Tangente im Punkt $g_1$ an die Kurve 
-%verwenden.
-%Dieser Fall tritt zum Beispiel auch in den drei Punkten 
-%$(u_1,0)$, $(u_2,0)$ und $(u_3,0)$ ein.
-%
-%Um das neutrale Element der Gruppe zu finden, können wir 
-%zwei Punkte $g$ und $g^{-1}$ miteinander verknüpfen.
-%Die Gerade durch $g$ und $g^{-1}$ schneidet aber die Kurve
-%kein drittes Mal.
-%Ausserdem sind alle Geraden durch $g$ und $g^{-1}$ für verschiedene
-%$g$ parallel.
-%Das neutrale Element entspricht also einem unendlich weit entfernten Punkt.
-%Das neutrale Element entsteht immer dann als Produkt, wenn zwei
-%Punkte die gleiche $u$-Koordinaten haben.
-%
-%\subsubsection{Gruppenoperation, algebraische Konstruktion}
-%Nach den geometrischen Vorarbeiten zur Definition der Gruppenoperation
-%kann können wir die Konstruktion jetzt algebraisch umsetzen.
-%
-%Zunächst überlegen wir uns wieder eine Involution, welche als Inverse
-%dienen kann.
-%Dazu beachten wir, dass die linke Seite der definierenden Gleichung
-%\begin{equation}
-%Y^2+XY=X^3-aX+b.
-%\label{buch:crypto:eqn:grupopgl}
-%\end{equation}
-%auch als $Y(Y+X)$ geschrieben werden kann.
-%Die Abbildung $Y\mapsto -X-Y$ macht daraus
-%\[
-%(-X-Y)(-X-Y+X)=(X+Y)Y,
-%\]
-%dies ist also die gesuchte Involution.
-%
-%Seien also $g_1=(x_1,y_1)$ und $g_2=(x_2,y_2)$ zwei verschiedene Lösungen
-%der Gleichung \eqref{buch:crypto:eqn:grupopgl}
-%Als erstes brauchen wir eine Gleichung für die Gerade durch die beiden
-%Punkte.
-%Sei also $l(X,Y)$ eine Linearform derart, dass $l(g_1)=d$ und $l(g_2)=d$
-%für ein geeignetes $d\in\Bbbk$.
-%Dann gilt auch für die Punkte
-%\[
-%g(t) = tg_1 + (1-t)g_2
-%\qquad\Rightarrow\qquad
-%l(g(t))
-%=
-%tl(g_1) + (1-t)l(g_2)
-%=
-%tc+(1-t)c
-%=
-%(t+1-t)c
-%=c,
-%\]
-%jeder Punkt der Geraden durch $g_1$ und $g_2$ lässt sich in dieser Form
-%schreiben.
-%
-%Setzt man jetzt $g(t)$ in die Gleichung ein, erhält man eine kubische
-%Gleichung in $t$, von der wir bereits zwei Nullstellen kennen, nämlich 
-%$0$ und $1$.
-%Die kubische Gleichung muss also durch $t$ und $(t-1)$ teilbar sein.
-%Diese Berechnung kann man einfach in einem Computeralgebrasystem
-%durchführen.
-%Das Polynom ist
-%\[
-%p(t)
-%=
-%XXX
-%\]
-%Nach Division durch $t(t-1)$ erhält man als den Quotienten
-%\begin{align*}
-%q(t)
-%&=
-%(y_2-y_1)^2 
-%+
-%(y_2-y_1) (x_2-x_1)
-%+
-%t(x_2-x_1)^3
-%-
-%2x_2^3+3x_1x_2^2-x_1^3
-%\end{align*}
-%und den Rest
-%\[
-%r(t)
-%=
-%t(y_1^2+x_1y_1-x_1^3-ax_1-b)
-%+
-%(1-t)(y_2^2+x_2y_2-x_2^3-ax_2-b).
-%\]
-%Die Klammerausdrücke verschwinden, da die sie gleichbedeutend damit sind,
-%dass die Punkte Lösungen von \eqref{buch:crypto:eqn:grupopgl} sind.
-%
-%Für den dritten Punkt auf der Geraden muss $t$ so gewählt werden, dass
-%$q(t)=0$ ist.
-%Dies ist aber eine lineare Gleichung mit der Lösung
-%\begin{align*}
-%t
-%&=
-%-\frac{
-%(y_1-y_2)^2
-%+
-%(y_2-y_1)(x_2-x_1)
-%-2x_2^3+3x_1x_2^2-x_1^3
-%}{(x_2-x_1)^3}
-%.
-%\end{align*}
-%Setzt man dies $g(t)$ ein, erhält man für die Koordinaten des dritten
-%Punktes $g_3$ die Werte
-%\begin{align}
-%x_3
-%&=
-%\frac{
-%(y_2-y_1)^2(x_2-x_1) + (y_2-y_1)(x_2-x_1)^2
-%-(x_2^4+x_1^4)
-%}{
-%(x_2-x_1)^3
-%}
-%\label{buch:crypto:eqn:x3}
-%\\
-%y_3
-%&=
-%\frac{
-%(y_2-y_1)^3
-%+(x_2-x_1)(y_2-y_1)^2
-%-(x_{2}-x_{1})^3 ( y_{2} - y_{1})
-%-(x_{2}-x_{1})^2 ( x_{1} y_{2}- x_{2} y_{1})
-%}{
-%(x_2-x_1)^3
-%}
-%\label{buch:crypto:eqn:y3}
-%\end{align}
-%Die Gleichungen 
-%\eqref{buch:crypto:eqn:x3}
-%und
-%\eqref{buch:crypto:eqn:y3}
-%ermöglichen also, das Element $g_1g_2^{-1}$ zu berechnen.
-%Interessant daran ist, dass in den Formeln die Konstanten $a$ und $b$ 
-%gar nicht vorkommen.
-%
-%Es bleibt noch der für den Algorithmus~\ref{buch:crypto:teile-und-hersche}
-%wichtige Fall des Quadrierens in der Gruppe zu
-%behandeln, also der Fall $g_1=g_2$.
-%In diese Fall sind die Formeln
-%\eqref{buch:crypto:eqn:x3}
-%und
-%\eqref{buch:crypto:eqn:y3}
-%ganz offensichtlich nicht anwendbar.
-%Die geometrische Anschauung hat nahegelegt, die Tangent an die Kurve
-%im Punkt $g_1$ zu nehmen.
-%In $\mathbb{R}$ würde man dafür einen Grenzübergang $g_2\to g_1$ machen,
-%aber in einem endlichen Körper ist dies natürlich nicht möglich.
-%
-%Wir schreiben die Gerade als Parameterdarstellung in der Form
-%\(
-%t\mapsto g(t)= (x_1+ut, y_1+vt)
-%\)
-%für beliebige Parameter in $\Bbbk$.
-%Die Werte $u_1$ und $u_2$ müssen so gewählt werden, dass $g(t)$ eine
-%Tangente wird.
-%Setzt man $g(t)$ in die Gleichung~\eqref{buch:crypto:eqn:grupopgl} ein,
-%entsteht ein kubische Gleichung, die genau dann eine doppelte Nullstelle
-%bei $0$ hat, wenn $u,v$ die Tangentenrichtung beschreiben.
-%Einsetzen von $g(t)$ in \eqref{buch:crypto:eqn:grupopgl}
-%ergibt die Gleichung
-%\begin{align}
-%0
-%&=
-%-u^3t^3
-%+
-%(-3u^2x_{1}+v^2+uv)t^2
-%+
-%(2vy_1+uy_1-3ux_1^2+vx_1-au)t
-%+
-%(y_1^2+x_1y_1-x_1^3-ax_1-b)
-%\label{buch:crypto:eqn:tangente1}
-%\end{align}
-%Damit bei $t=0$ eine doppelte Nullstelle müssen die letzten beiden
-%Koeffizienten verschwinden, dies führt auf die Gleichungen
-%\begin{align}
-%y_1^2+x_1y_1&=x_1^3+ax_1+b
-%\label{buch:crypto:eqn:rest1}
-%\\
-%(2y_1
-%+x_1)v
-%+(y_1
-%-3x_1^2
-%-a)u
-%&=0.
-%\label{buch:crypto:eqn:rest2}
-%\end{align}
-%Die erste Gleichung \eqref{buch:crypto:eqn:rest1} drückt aus,
-%dass $g_1$ ein Punkt der Kurve ist, sie ist automatisch erfüllt.
-%
-%Die zweite Gleichung
-%\eqref{buch:crypto:eqn:rest2}
-%legt das Verhältnis von $u$ und $v$, also die
-%\label{buch:crypto:eqn:rest2}
-%Tangentenrichtung fest.
-%Eine mögliche Lösung ist
-%\begin{equation}
-%\begin{aligned}
-%u &= x_1+2y_1
-%\\
-%v &= -y_1+3x_1^2+a.
-%\end{aligned}
-%\label{buch:crypto:eqn:uv}
-%\end{equation}
-%
-%Der Quotient ist ein lineares Polynom in $t$, die Nullstelle parametrisiert
-%den Punkt, der $(g_1)^{-2}$ entspricht.
-%Der zugehörige Wert von $t$ ist
-%\begin{equation}
-%t=-\frac{3u^2x_1-v^2-uv}{u^3}.
-%\label{buch:crypto:eqn:t}
-%\end{equation}
-%
-%
-%Setzt man
-%\label{buch:crypto:eqn:t}
-%und
-%\eqref{buch:crypto:eqn:uv}
-%in $g(t)$ ein, erhält man sehr komplizierte Ausdrücke für den dritten Punkt.
-%Wir verzichten darauf, diese Ausdrücke hier aufzuschreiben.
-%In der Praxis wird man in einem Körper der Charakteristik 2 arbeiten.
-%In diesem Körper werden alle geraden Koeffizienten zu $0$, alle ungeraden
-%Koeffizienten werden unabhängig vom Vorzeichen zu $1$.
-%Damit bekommt man die folgenden, sehr viel übersichtlicheren Ausdrücke
-%für den dritten Punkt:
-%\begin{equation}
-%\begin{aligned}
-%x
-%&=
-%-\frac{
-%y_1^2+x_1y_1+x_1^4+x_1^3+ax_1-a^2
-% }{
-%x_1^2
-%}
-%\\
-%y
-%&=
-%\frac{
-%y_1^3+(x_1^2+x_1+a)y_1^2+(x_1^4 +a^2)y_1+x_1^6+ax_1^4+ax_1^3+a^2x_1^2+a^2x_1+a^3
-%}{
-% x_1^3
-%}.
-%\end{aligned}
-%\label{buch:crypto:eqn:tangentechar2}
-%\end{equation}
-%Damit haben wir einen vollständigen Formelsatz für die Berechnung der
-%Gruppenoperation in der elliptischen Kurve mindestens für den praktisch
-%relevanten Fall einer Kurve über einem Körper der Charakteristik $2$.
-%
-%\begin{satz}
-%Die elliptische Kurve
-%\[
-%E_{a,b}(\mathbb{F}_{p^l})
-%=
-%\{
-%(X,Y)\in\mathbb{F}_{p^l}
-%\;|\;
-%Y^2+XY = X^3-aX-b
-%\}
-%\]
-%trägt eine Gruppenstruktur, die wie folgt definiert ist:
-%\begin{enumerate}
-%\item Der Punkt $(0,0)$ entspricht dem neutralen Element.
-%XXX (0,0) muss erst definiert werden
-%\item Das inverse Element von $(x,y)$ ist $(-x,-y-x)$.
-%\item Für zwei verschiedene Punkte $g_1$ und $g_2$ kann $g_3=(g_1g_2)^{-1}$
-%mit Hilfe der Formeln
-%\eqref{buch:crypto:eqn:x3}
-%und
-%\eqref{buch:crypto:eqn:y3}
-%gefunden werden.
-%\item Für einen Punkt $g_1$ kann $g_3=g_1^{-2}$ in Charakteristik $2$ mit
-%Hilfe der Formeln
-%\eqref{buch:crypto:eqn:tangentechar2}
-%gefunden werden.
-%\end{enumerate}
-%Diese Operationen machen $E_{a,b}(\mathbb{F}_{p^l})$ zu einer endlichen
-%abelschen Gruppe.
-%\end{satz}
-%
-%\subsubsection{Diffie-Hellman in einer elliptischen Kurve}
-%Der klassische Diffie-Hellmann-Schlüsselalgorithmus in einem Körper
-%$\mathbb{F}_p$ basiert darauf, dass man beliebige Potenzen eines 
-%Elementes berechnen kann, und dass es schwierig ist, diese Operation
-%umzukehren.
-%Die Addition in $\mathbb{F}_p$ wird für diesen Algorithmus überhaupt
-%nicht benötigt.
-%
-%In einer elliptischen Kurve gibt es ebenfalls eine Multiplikation,
-%für die sich mit Algorithmus~\ref{buch:crypto:teile-und-hersche}
-%eine effizienter Potenzieralgorithmus konstruieren lässt.
-%Die resultierende Potenzfunktion stellt sich ebenfalls als 
-%schwierig zu invertieren heraus, kann also ebenfalls für einen
-%Diffie-Hellmann-Schlüsseltausch verwendet werden.
-%
-%Die im Internet Key Exchange Protokol
-%in RFC 2409
-%\cite{buch:rfc2409}
-%definierte Oakley-Gruppe 4
-%zum Beispiel verwendet einen Galois-Körper $\mathbb{F}_{2^{185}}$ 
-%mit dem Minimalpolynom $m(x)=x^{185}+x^{69}+1\in \mathbb{F}_2[x]$
-%und den Koeffizienten
-%\begin{align*}
-%a&=0\\
-%b&=x^{12}+x^{11} + x^{10} + x^9 + x^7 + x^6 + x^5 + x^3 +1,
-%\end{align*} 
-%die die elliptische Kurve definieren.
-%
-%Als Elemente $g$ für den Diffie-Hellmann-Algorithmus wird ein Punkt
-%der elliptischen Kurve verwendet, dessen $X$-Koordinaten durch das
-%Polynom $g_x = x^4+x^3$ gegeben ist.
-%Der Standard spezifiziert die $Y$-Koordinate nicht, diese kann aus
-%den gegebenen Daten abgeleitet werden.
-%Die entstehende Gruppe hat etwa $4.9040\cdot10^{55}$ Elemente, die
-%für einen brute-force-Angriff durchprobiert werden müssten.
-%
-%
-%
-%
-%
-%
-%
-%
-- 
cgit v1.2.1

