From c0a439896f33800a514e9d1763d5f7dee6669566 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 9 Jan 2021 22:34:29 +0100 Subject: add new chapter on homology --- buch/chapters/95-homologie/chapter.tex | 84 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 84 insertions(+) create mode 100644 buch/chapters/95-homologie/chapter.tex (limited to 'buch/chapters/95-homologie/chapter.tex') diff --git a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex new file mode 100644 index 0000000..2d40e07 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex @@ -0,0 +1,84 @@ +% +% chapter.tex -- Homologie +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\chapter{Homologie +\label{buch:chapter:homologie}} +\lhead{Homologie} +\rhead{} +Mit der Inzidenzmatrix war es möglich, einen Graphen zu beschreiben +und verschiedene interessante Eigenschaften desselben zu berechnen. +Damit können aber nur eindimensionale Strukturen analysiert werden, +es ist zum Beispiel nicht möglich, ein Dreieck vom Rand eines +Dreiecks zu unterscheiden~\ref{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}. +\begin{figure} +\centering +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\def\punkt#1{ + \fill[color=white] #1 circle[radius=0.07]; + \draw #1 circle[radius=0.07]; +} +\begin{scope}[xshift=3cm] +\draw[->] (0,0) -- (3,3); +\draw[->] (0,0) -- (4,1); +\draw[->] (4,1) -- (3,3); +\node at (0,0) [below left] {$P_0$}; +\node at (4,1) [below right] {$P_1$}; +\node at (3,3) [above] {$P_2$}; +\punkt{(0,0)} +\punkt{(4,1)} +\punkt{(3,3)} +\node at (2,0.5) [below] {$k_{01}$}; +\node at (1.5,1.5) [above left] {$k_{02}$}; +\node at (3.5,2) [right] {$k_{12}$}; +\end{scope} +\begin{scope}[xshift=-3cm] +\fill[color=gray!40] (0,0) -- (4,1) -- (3,3) -- cycle; +\draw[->] (0,0) -- (3,3); +\draw[->] (0,0) -- (4,1); +\draw[->] (4,1) -- (3,3); +\node at (0,0) [below left] {$P_0$}; +\node at (4,1) [below right] {$P_1$}; +\node at (3,3) [above] {$P_2$}; +\node at (2,0.5) [below] {$k_{01}$}; +\node at (1.5,1.5) [above left] {$k_{02}$}; +\node at (3.5,2) [right] {$k_{12}$}; +\node at (2.333,1.333) {$\triangle$}; +\punkt{(0,0)} +\punkt{(4,1)} +\punkt{(3,3)} +\end{scope} +\end{tikzpicture} +\caption{Ein Dreieck $\triangle$ (rechts) und der Rand des Dreicks +(links) sind mit den Methoden +der Graphentheorie nicht unterschiedbar. +Als topologische Räume sind das Dreieck und sein Rand aber ganz klar +unterschiedbar: In einem Dreieck ist jeder geschlossene Pfad in einen +Punkt zusammenziehbar, aber die Randkurve ist nicht mehrzusammenziehbar, +sobald man das innere des Dreiecks entfernt. +\label{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}} +\end{figure} +Die Randkurve ist in einem Dreieck zusammenziehbar, aber sobald man +das innere des Dreiecks entfernt, ist die Randkurve nicht mehr +zusammenziehbar. +Dreieck und der Rand des Dreiecks sind also grundsätzlich verschieden. + +Die Inzidenzmatrix ordnet jeder Kante ihre beiden Endpunkte zu. +Die Homologietheorie verallgemeinert diese Idee. +Der sogenannte Randoperator ordnet jedem Dreieck, Tetraeder oder allgemein +jedem Simplex seinen Rand zu. +Damit wird es möglich, das Dreieck vom Rand des Dreiecks zu unterschieden. + +\input{chapters/95-homologie/simplex.tex} +\input{chapters/95-homologie/komplex.tex} +\input{chapters/95-homologie/homologie.tex} +\input{chapters/95-homologie/mayervietoris.tex} +\input{chapters/95-homologie/fixpunkte.tex} + + + + + + + -- cgit v1.2.1 From d5941693bb5ceeb6d7f3178c42855cfb4fea1f59 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Roy Seitz Date: Wed, 3 Feb 2021 14:17:05 +0100 Subject: Typos --- buch/chapters/95-homologie/chapter.tex | 4 ++-- 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/95-homologie/chapter.tex') diff --git a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex index 2d40e07..95ecb79 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex @@ -9,8 +9,8 @@ \rhead{} Mit der Inzidenzmatrix war es möglich, einen Graphen zu beschreiben und verschiedene interessante Eigenschaften desselben zu berechnen. -Damit können aber nur eindimensionale Strukturen analysiert werden, -es ist zum Beispiel nicht möglich, ein Dreieck vom Rand eines +Damit können aber nur eindimensionale Strukturen analysiert werden: +Es ist zum Beispiel nicht möglich, ein Dreieck vom Rand eines Dreiecks zu unterscheiden~\ref{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}. \begin{figure} \centering -- cgit v1.2.1 From ada53a9c225b896c8d7608300427aac475bb7045 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 9 Feb 2021 21:52:16 +0100 Subject: move all iamges to separate files --- buch/chapters/95-homologie/chapter.tex | 37 +--------------------------------- 1 file changed, 1 insertion(+), 36 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/95-homologie/chapter.tex') diff --git a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex index 95ecb79..eaa56c4 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex @@ -14,42 +14,7 @@ Es ist zum Beispiel nicht möglich, ein Dreieck vom Rand eines Dreiecks zu unterscheiden~\ref{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}. \begin{figure} \centering -\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] -\def\punkt#1{ - \fill[color=white] #1 circle[radius=0.07]; - \draw #1 circle[radius=0.07]; -} -\begin{scope}[xshift=3cm] -\draw[->] (0,0) -- (3,3); -\draw[->] (0,0) -- (4,1); -\draw[->] (4,1) -- (3,3); -\node at (0,0) [below left] {$P_0$}; -\node at (4,1) [below right] {$P_1$}; -\node at (3,3) [above] {$P_2$}; -\punkt{(0,0)} -\punkt{(4,1)} -\punkt{(3,3)} -\node at (2,0.5) [below] {$k_{01}$}; -\node at (1.5,1.5) [above left] {$k_{02}$}; -\node at (3.5,2) [right] {$k_{12}$}; -\end{scope} -\begin{scope}[xshift=-3cm] -\fill[color=gray!40] (0,0) -- (4,1) -- (3,3) -- cycle; -\draw[->] (0,0) -- (3,3); -\draw[->] (0,0) -- (4,1); -\draw[->] (4,1) -- (3,3); -\node at (0,0) [below left] {$P_0$}; -\node at (4,1) [below right] {$P_1$}; -\node at (3,3) [above] {$P_2$}; -\node at (2,0.5) [below] {$k_{01}$}; -\node at (1.5,1.5) [above left] {$k_{02}$}; -\node at (3.5,2) [right] {$k_{12}$}; -\node at (2.333,1.333) {$\triangle$}; -\punkt{(0,0)} -\punkt{(4,1)} -\punkt{(3,3)} -\end{scope} -\end{tikzpicture} +\includegraphics{chapters/95-homologie/images/dreieck.pdf} \caption{Ein Dreieck $\triangle$ (rechts) und der Rand des Dreicks (links) sind mit den Methoden der Graphentheorie nicht unterschiedbar. -- cgit v1.2.1