From 13304c02851094180b714d71451f279966fb582f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 24 Aug 2021 17:21:53 +0200
Subject: simpliziale Approximation

---
 buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex | 11 ++++++++++-
 1 file changed, 10 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex')

diff --git a/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex b/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex
index 1f61a29..03e389b 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex
@@ -10,7 +10,7 @@ Euler hat für dreidimensionale Polyeder eine Invariante gefunden,
 die unabhängig ist von der Triangulation.
 
 \begin{definition}
-\label{buch:homologie:def:eulerchar}
+\label{buch:homologie:def:eulerchar0}
 Ist $E$ die Anzahl der Ecken, $K$ die Anzahl der Kanten und $F$
 die Anzahl der Flächen eines dreidimensionalen Polyeders $P$, dann
 heisst
@@ -32,6 +32,7 @@ Vektorräume $B_k(C)$ und $Z_k(C)$ grösser werden.
 Kann man eine Grösse analog zu $\chi(P)$ finden, die sich nicht ändert?
 
 \begin{definition}
+\label{buch:homologie:def:eulerchar}
 Sei $C$ ein Kettenkomplex, dann heisst
 \[
 \chi(C) = \sum_{k=0}^n (-1)^k\dim H_k(C)
@@ -39,6 +40,14 @@ Sei $C$ ein Kettenkomplex, dann heisst
 die Euler-Charakteristik von $C$.
 \end{definition}
 
+Die Summe in Definition~\ref{buch:homologie:def:eulerchar} erstreckt
+sich bis zum Index $n$, der Dimension des Simplexes höchster Dimension
+in einem Polyeder.
+Für $k>n$ ist $H_k(C)=0$, es ändert sich also nichts, wenn wir
+die Summe bis $\infty$ erstrecken, da die zusätzlichen Terme alle
+$0$ sind.
+Wir werden dies im folgenden zur Vereinfachung der Notation tun.
+
 Die Definition verlangt, dass man erst die Homologiegruppen
 berechnen muss, bevor man die Euler-Charakteristik bestimmen
 kann.
-- 
cgit v1.2.1

