From 13304c02851094180b714d71451f279966fb582f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 24 Aug 2021 17:21:53 +0200 Subject: simpliziale Approximation --- buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex | 18 +++++++++++++++++- 1 file changed, 17 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex') diff --git a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex index 80daaee..b3b184e 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex @@ -54,6 +54,18 @@ Dimension, die Matrizen $H_k(f)$ sind also relativ klein. Es ist aber nicht klar, dass beide Berechnungsmethoden für die Lefshetz-Zahl auf das gleiche Resultat führen müssen. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/95-homologie/images/approximation.pdf} +\caption{Stückweise lineare Approximation einer Abbildung derart, +dass die Bildpunkt von Knoten auf Gitterpunkte fallen. +Die Abbildung wird damit zu einer Abbildung von Polyedern und +die induzierte Abbildung der Kettenkomplexe lässt sich direkt berechnen. +Wenn die Auflösung des Gitters klein genug ist, hat die Approximation +einer Abbildung ohne Fixpunkte immer noch keine Fixpunkte. +\label{buch:homologie:fig:simplapprox}} +\end{figure}% + \begin{proof}[Beweis] Im Abschnitt~\ref{buch:subsection:induzierte-abbildung} wurde gezeigt, dass die Basis des Komplexes immer so gewählt werden kann, dass für @@ -78,7 +90,7 @@ werden: \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,B}) \\ &= -\sum_{k=0} (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z}). +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z}). \intertext{Die Abbildung $H_k(f)$ hat $f_{k,Z}$ als Matrix, also ist die letzte Form gleichbedeutend mit} &= @@ -100,6 +112,7 @@ ist $\lambda(f) \ne 0$, dann hat $f$ einen Fixpunkt. Im Folgenden soll nur ein heuristisches Argument gegeben werden, warum ein solcher Satz wahr sein könnte. + Wenn eine Abbildung keinen Fixpunkt hat, dann ist $f(x) \ne x$ für alle Punkte von $X$. Da $X$ kompakt ist, gibt es einen minimalen Abstand $d$ zwischen $f(x)$ und $x$. @@ -109,6 +122,9 @@ Punkte im selben Simplex oder in einem Nachbarsimplex abgebildet wird. Indem man nötigenfalls die Triangulation nochmals verfeinert, kann man auch genügend Platz schaffen, dass man die Abbildung $f$ etwas modifizieren kann, so dass auch die deformierte Abbildung immer noch diese Eigenschaft hat. +Die Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:simplapprox} illustriert, wie eine +Abbildung durch eine andere approximiert werden kann, die die Triangulation +im Bildraum respektiert. Die zugehörige Abbildung des Kettenkomplexes der Triangulation hat damit die Eigenschaft, dass kein Basisvektor auf sich selbst abgebildet wird. -- cgit v1.2.1