From 13304c02851094180b714d71451f279966fb582f Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Tue, 24 Aug 2021 17:21:53 +0200
Subject: simpliziale Approximation

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 buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex | 18 +++++++++++++++++-
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index 80daaee..b3b184e 100644
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@@ -54,6 +54,18 @@ Dimension, die Matrizen $H_k(f)$ sind also relativ klein.
 Es ist aber nicht klar, dass beide Berechnungsmethoden für die 
 Lefshetz-Zahl auf das gleiche Resultat führen müssen.
 
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/95-homologie/images/approximation.pdf}
+\caption{Stückweise lineare Approximation einer Abbildung derart,
+dass die Bildpunkt von Knoten auf Gitterpunkte fallen.
+Die Abbildung wird damit zu einer Abbildung von Polyedern und
+die induzierte Abbildung der Kettenkomplexe lässt sich direkt berechnen.
+Wenn die Auflösung des Gitters klein genug ist, hat die Approximation
+einer Abbildung ohne Fixpunkte immer noch keine Fixpunkte.
+\label{buch:homologie:fig:simplapprox}}
+\end{figure}%
+
 \begin{proof}[Beweis]
 Im Abschnitt~\ref{buch:subsection:induzierte-abbildung} wurde gezeigt,
 dass die Basis des Komplexes immer so gewählt werden kann, dass für
@@ -78,7 +90,7 @@ werden:
 \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,B})
 \\
 &=
-\sum_{k=0} (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z}).
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z}).
 \intertext{Die Abbildung $H_k(f)$ hat $f_{k,Z}$ als Matrix, also ist
 die letzte Form gleichbedeutend mit}
 &=
@@ -100,6 +112,7 @@ ist $\lambda(f) \ne 0$, dann hat $f$ einen Fixpunkt.
 Im Folgenden soll nur ein heuristisches Argument gegeben werden, warum
 ein solcher Satz wahr sein könnte.
 
+
 Wenn eine Abbildung keinen Fixpunkt hat, dann ist $f(x) \ne x$ für alle
 Punkte von $X$.
 Da $X$ kompakt ist, gibt es einen minimalen Abstand $d$ zwischen $f(x)$ und $x$.
@@ -109,6 +122,9 @@ Punkte im selben Simplex oder in einem Nachbarsimplex abgebildet wird.
 Indem man nötigenfalls die Triangulation nochmals verfeinert, kann man auch
 genügend Platz schaffen, dass man die Abbildung $f$ etwas modifizieren kann,
 so dass auch die deformierte Abbildung immer noch diese Eigenschaft hat.
+Die Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:simplapprox} illustriert, wie eine
+Abbildung durch eine andere approximiert werden kann, die die Triangulation
+im Bildraum respektiert.
 
 Die zugehörige Abbildung des Kettenkomplexes der Triangulation hat damit
 die Eigenschaft, dass kein Basisvektor auf sich selbst abgebildet wird.
-- 
cgit v1.2.1

