From 4d8e9b6051dcd25c34b6270c1fc1938668e7df6d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Wed, 28 Jul 2021 18:05:37 +0200
Subject: fix files broken by JODBaer pull request

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 buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex | 87 +++++++++++++++++++++++++++-----
 1 file changed, 75 insertions(+), 12 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex')

diff --git a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
index 1ed51ef..a03d4b5 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
@@ -11,15 +11,78 @@ selbst gehört die zugehörige lineare Abbildung $f_*\colon H_*(X)\to H_*(X)$
 der Homologiegruppen.
 Diese linearen Abbildungen sind im Allgemeinen viel einfacher zu
 analysieren.
-Zum Beispiel soll in Abschnitt~\ref{buch:subsection:lefshetz}
-die Lefshetz-Spurformel abgeleitet werden, die eine Aussagen darüber
-ermöglicht, ob eine Abbildung einen Fixpunkt haben kann.
-In Abschnitt~\ref{buch:subsection:brower} wird gezeigt wie man damit 
-den Browerschen Fixpunktsatz beweisen kann, der besagt, dass jede
-Abbildung eines Einheitsballs in sich selbst immer einen Fixpunkt hat.
-
-\subsection{Lefshetz-Spurformel
-\label{buch:subsection:lefshetz}}
-
-\subsection{Brower-Fixpunktsatz
-\label{buch:subsection:brower}}
+%Zum Beispiel soll in Abschnitt~\ref{buch:subsection:lefshetz}
+%die Lefshetz-Spurformel abgeleitet werden, die eine Aussagen darüber
+%ermöglicht, ob eine Abbildung einen Fixpunkt haben kann.
+%In Abschnitt~\ref{buch:subsection:brower} wird gezeigt wie man damit 
+%den Browerschen Fixpunktsatz beweisen kann, der besagt, dass jede
+%Abbildung eines Einheitsballs in sich selbst immer einen Fixpunkt hat.
+
+%\subsection{Brower-Fixpunktsatz
+%\label{buch:subsection:brower}}
+%
+%\begin{satz}[Brower]
+%\end{satz}
+
+%\subsection{Lefshetz-Fixpunktsatz
+%\label{buch:subsection:lefshetz}}
+Eine Selbstabbildung $f_*\colon C_*\to C_*$ von Kettenkomplexen führt auf
+eine Selbstabbiludng der Homologiegruppen $H(f)\colon H(C)\to H(C)$.
+Da sowohl $H_k$ wie auch $C_k$ endlichdimensionale Vektorräume sind, 
+ist die Spur von $H_k(f)$ wohldefiniert.
+
+\begin{definition}
+Die {\em Lefshetz-Zahl} einer Abbildung $f$ von Kettenkomplexen ist
+\[
+\lambda(f)
+=
+\sum_{k=0}^\infty
+(-1)^k \operatorname{Spur}f_k
+=
+\sum_{k=0}^\infty 
+(-1)^k \operatorname{Spur}(H_k(f)).
+\]
+\end{definition}
+
+Die zweite Darstellung  der Lefshetz-Zahl auf der rechten Seite ist
+meistens viel leichter zu berechnen als die erste.
+Die einzelnen Vektorräume eines Kettenkomplexes können haben typischerweise
+eine hohe Dimension, so hoch wie die Anzahl der Simplizes der Triangulation.
+Die Homologiegruppen dagegen haben typischerweise sehr viel kleinere 
+Dimension, die Matrizen $H_k(F)$ sind also relativ klein.
+Es ist aber nicht klar, dass beide Berechnungsmethoden für die 
+Lefshetz-Zahl auf das gleiche Resultat führen müssen.
+
+\begin{proof}[Beweis]
+\end{proof}
+
+Die Lefshetz-Zahl ist eine Invariante einer topologischen Abbildung,
+die Aussagen über Fixpunkte zu machen erlaubt.
+
+\begin{satz}
+Ist $f\colon X\to X$ eine Selbstabbildung eines kompakten Polyeders und
+ist $\lambda(f) \ne 0$, dann hat $f$ einen Fixpunkt.
+\end{satz}
+
+Im Folgenden soll nur ein heuristisches Argument gegeben werden, warum
+ein solcher Satz wahr sein könnte.
+
+Wenn eine Abbildung keinen Fixpunkt hat, dann ist $f(x) \ne x$ für alle
+Punkte von $X$.
+Da $X$ kompakt ist, gibt es einen minimalen Abstand $d$ zwischen $f(x)$ und $x$.
+Wenn man also für $X$ eine Triangulation wählt, die wesentlich feiner ist
+als dieser minimale Abstand, dann wird kein Simplex der Triangulation auf
+Punkte im selben Simplex oder in einem Nachbarsimplex abgebildet wird.
+Indem man nötigenfalls die Triangulation nochmals verfeinert, kann man auch
+genügend Platz schaffen, dass man die Abbildung $f$ etwas modifizieren kann,
+so dass auch die deformierte Abbildung immer noch diese Eigenschaft hat.
+
+Die zugehörige Abbildung des Kettenkomplexes der Triangulation hat damit
+die Eigenschaft, dass kein Basisvektor auf sich selbst abgebildet wird.
+Die Matrix der Abbildung hat daher keine Nullen auf der Diagonalen, und
+damit ist auch die Spur dieser Abbildung Null: $\operatorname{Spur}(H_k(f))=0$
+für alle $k$.
+Erst recht ist die Lefshetz-Zahl $\lambda(f)=0$.
+Wenn also die Lefshetz-Zahl verschieden ist von Null, dann muss $f$
+notwendigerweise einen Fixpunkt haben.
+
-- 
cgit v1.2.1


From 0ead33dd72a7dd09ab8f855e672cb81e38623ef1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Sun, 22 Aug 2021 21:43:09 +0200
Subject: euler char, traces, telescoping sums

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 buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex | 39 +++++++++++++++++++++++++++++---
 1 file changed, 36 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex')

diff --git a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
index a03d4b5..80daaee 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
@@ -33,7 +33,7 @@ ist die Spur von $H_k(f)$ wohldefiniert.
 
 \begin{definition}
 Die {\em Lefshetz-Zahl} einer Abbildung $f$ von Kettenkomplexen ist
-\[
+\begin{equation}
 \lambda(f)
 =
 \sum_{k=0}^\infty
@@ -41,7 +41,8 @@ Die {\em Lefshetz-Zahl} einer Abbildung $f$ von Kettenkomplexen ist
 =
 \sum_{k=0}^\infty 
 (-1)^k \operatorname{Spur}(H_k(f)).
-\]
+\label{buch:homologie:lefschetz-zahl}
+\end{equation}
 \end{definition}
 
 Die zweite Darstellung  der Lefshetz-Zahl auf der rechten Seite ist
@@ -49,11 +50,43 @@ meistens viel leichter zu berechnen als die erste.
 Die einzelnen Vektorräume eines Kettenkomplexes können haben typischerweise
 eine hohe Dimension, so hoch wie die Anzahl der Simplizes der Triangulation.
 Die Homologiegruppen dagegen haben typischerweise sehr viel kleinere 
-Dimension, die Matrizen $H_k(F)$ sind also relativ klein.
+Dimension, die Matrizen $H_k(f)$ sind also relativ klein.
 Es ist aber nicht klar, dass beide Berechnungsmethoden für die 
 Lefshetz-Zahl auf das gleiche Resultat führen müssen.
 
 \begin{proof}[Beweis]
+Im Abschnitt~\ref{buch:subsection:induzierte-abbildung} wurde gezeigt,
+dass die Basis des Komplexes immer so gewählt werden kann, dass für
+die Spuren der Teilmatrizen von $f_k$ die
+Formel~\eqref{buch:homologie:eqn:spur} gilt.
+Damit kann jetzt die alternierenierden Summe der Spuren von $f_k$ ermittelt
+werden:
+\begin{align*}
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_k)
+&=
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,B})
++
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z})
++
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k-1,B})
+\\
+&=
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,B})
++
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z})
+-
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,B})
+\\
+&=
+\sum_{k=0} (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z}).
+\intertext{Die Abbildung $H_k(f)$ hat $f_{k,Z}$ als Matrix, also ist
+die letzte Form gleichbedeutend mit}
+&=
+\sum_{k=0} (-1)^k\operatorname{Spur} H_k(f).
+\end{align*}
+Damit ist die Formel
+\eqref{buch:homologie:lefschetz-zahl}
+bewiesen.
 \end{proof}
 
 Die Lefshetz-Zahl ist eine Invariante einer topologischen Abbildung,
-- 
cgit v1.2.1


From 13304c02851094180b714d71451f279966fb582f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 24 Aug 2021 17:21:53 +0200
Subject: simpliziale Approximation

---
 buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex | 18 +++++++++++++++++-
 1 file changed, 17 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex')

diff --git a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
index 80daaee..b3b184e 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
@@ -54,6 +54,18 @@ Dimension, die Matrizen $H_k(f)$ sind also relativ klein.
 Es ist aber nicht klar, dass beide Berechnungsmethoden für die 
 Lefshetz-Zahl auf das gleiche Resultat führen müssen.
 
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/95-homologie/images/approximation.pdf}
+\caption{Stückweise lineare Approximation einer Abbildung derart,
+dass die Bildpunkt von Knoten auf Gitterpunkte fallen.
+Die Abbildung wird damit zu einer Abbildung von Polyedern und
+die induzierte Abbildung der Kettenkomplexe lässt sich direkt berechnen.
+Wenn die Auflösung des Gitters klein genug ist, hat die Approximation
+einer Abbildung ohne Fixpunkte immer noch keine Fixpunkte.
+\label{buch:homologie:fig:simplapprox}}
+\end{figure}%
+
 \begin{proof}[Beweis]
 Im Abschnitt~\ref{buch:subsection:induzierte-abbildung} wurde gezeigt,
 dass die Basis des Komplexes immer so gewählt werden kann, dass für
@@ -78,7 +90,7 @@ werden:
 \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,B})
 \\
 &=
-\sum_{k=0} (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z}).
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z}).
 \intertext{Die Abbildung $H_k(f)$ hat $f_{k,Z}$ als Matrix, also ist
 die letzte Form gleichbedeutend mit}
 &=
@@ -100,6 +112,7 @@ ist $\lambda(f) \ne 0$, dann hat $f$ einen Fixpunkt.
 Im Folgenden soll nur ein heuristisches Argument gegeben werden, warum
 ein solcher Satz wahr sein könnte.
 
+
 Wenn eine Abbildung keinen Fixpunkt hat, dann ist $f(x) \ne x$ für alle
 Punkte von $X$.
 Da $X$ kompakt ist, gibt es einen minimalen Abstand $d$ zwischen $f(x)$ und $x$.
@@ -109,6 +122,9 @@ Punkte im selben Simplex oder in einem Nachbarsimplex abgebildet wird.
 Indem man nötigenfalls die Triangulation nochmals verfeinert, kann man auch
 genügend Platz schaffen, dass man die Abbildung $f$ etwas modifizieren kann,
 so dass auch die deformierte Abbildung immer noch diese Eigenschaft hat.
+Die Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:simplapprox} illustriert, wie eine
+Abbildung durch eine andere approximiert werden kann, die die Triangulation
+im Bildraum respektiert.
 
 Die zugehörige Abbildung des Kettenkomplexes der Triangulation hat damit
 die Eigenschaft, dass kein Basisvektor auf sich selbst abgebildet wird.
-- 
cgit v1.2.1

