From 6229fba2ac67cb9fb0836ead4a23eae35649fc4f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 26 Sep 2021 20:59:00 +0200 Subject: 2. Lesung abgeschlossen --- buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex | 12 +++++++++--- 1 file changed, 9 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex') diff --git a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex index de9dff5..8c08d76 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex @@ -9,7 +9,7 @@ Zu jeder Abbildung $f\colon X\to X$ eines topologischen Raumes in sich selbst gehört die zugehörige lineare Abbildung $f_*\colon H_*(X)\to H_*(X)$ der Homologiegruppen. Diese linearen Abbildungen sind im Allgemeinen viel einfacher zu -analysieren. +analysieren als Abbildungen topologischer Räume. %Zum Beispiel soll in Abschnitt~\ref{buch:subsection:lefshetz} %die Lefshetz-Spurformel abgeleitet werden, die eine Aussagen darüber %ermöglicht, ob eine Abbildung einen Fixpunkt haben kann. @@ -28,7 +28,7 @@ analysieren. %\subsection{Lefshetz-Fixpunktsatz %\label{buch:subsection:lefshetz}} Eine Selbstabbildung $f_*\colon C_*\to C_*$ von Kettenkomplexen führt auf -eine Selbstabbiludng der Homologiegruppen $H(f)\colon H(C)\to H(C)$. +eine Selbstabbildung der Homologiegruppen $H(f)\colon H(C)\to H(C)$. Da sowohl $H_k$ wie auch $C_k$ endlichdimensionale Vektorräume sind, ist die Spur von $H_k(f)$ wohldefiniert. @@ -72,7 +72,7 @@ Im Abschnitt~\ref{buch:subsection:induzierte-abbildung} wurde gezeigt, dass die Basis des Komplexes immer so gewählt werden kann, dass für die Spuren der Teilmatrizen von $f_k$ die Formel~\eqref{buch:homologie:eqn:spur} gilt. -Damit kann jetzt die alternierenierden Summe der Spuren von $f_k$ ermittelt +Damit kann jetzt die alternierenden Summe der Spuren von $f_k$ ermittelt werden: \begin{align*} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_k) @@ -136,3 +136,9 @@ Erst recht ist die Lefshetz-Zahl $\lambda(f)=0$. Wenn also die Lefshetz-Zahl verschieden ist von Null, dann muss $f$ notwendigerweise einen Fixpunkt haben. +Dieser Fixpunktsatz zeigt, dass die Topologie eines Raumes $X$ Situationen +erzwingen kann, wo eine Abbildung $f\colon X\to X$ einen Fixpunkt, oder +anders ausgedrückt ein Lösung der Gleichung $f(x)=x$ haben muss. +Diese Eigenschaft bleibt sogar bei Deformation erhalten. + + -- cgit v1.2.1