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Date: Sun, 22 Aug 2021 21:43:09 +0200
Subject: euler char, traces, telescoping sums

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 buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex | 39 +++++++++++++++++++++++++++++---
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@@ -33,7 +33,7 @@ ist die Spur von $H_k(f)$ wohldefiniert.
 
 \begin{definition}
 Die {\em Lefshetz-Zahl} einer Abbildung $f$ von Kettenkomplexen ist
-\[
+\begin{equation}
 \lambda(f)
 =
 \sum_{k=0}^\infty
@@ -41,7 +41,8 @@ Die {\em Lefshetz-Zahl} einer Abbildung $f$ von Kettenkomplexen ist
 =
 \sum_{k=0}^\infty 
 (-1)^k \operatorname{Spur}(H_k(f)).
-\]
+\label{buch:homologie:lefschetz-zahl}
+\end{equation}
 \end{definition}
 
 Die zweite Darstellung  der Lefshetz-Zahl auf der rechten Seite ist
@@ -49,11 +50,43 @@ meistens viel leichter zu berechnen als die erste.
 Die einzelnen Vektorräume eines Kettenkomplexes können haben typischerweise
 eine hohe Dimension, so hoch wie die Anzahl der Simplizes der Triangulation.
 Die Homologiegruppen dagegen haben typischerweise sehr viel kleinere 
-Dimension, die Matrizen $H_k(F)$ sind also relativ klein.
+Dimension, die Matrizen $H_k(f)$ sind also relativ klein.
 Es ist aber nicht klar, dass beide Berechnungsmethoden für die 
 Lefshetz-Zahl auf das gleiche Resultat führen müssen.
 
 \begin{proof}[Beweis]
+Im Abschnitt~\ref{buch:subsection:induzierte-abbildung} wurde gezeigt,
+dass die Basis des Komplexes immer so gewählt werden kann, dass für
+die Spuren der Teilmatrizen von $f_k$ die
+Formel~\eqref{buch:homologie:eqn:spur} gilt.
+Damit kann jetzt die alternierenierden Summe der Spuren von $f_k$ ermittelt
+werden:
+\begin{align*}
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_k)
+&=
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,B})
++
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z})
++
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k-1,B})
+\\
+&=
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,B})
++
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z})
+-
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,B})
+\\
+&=
+\sum_{k=0} (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z}).
+\intertext{Die Abbildung $H_k(f)$ hat $f_{k,Z}$ als Matrix, also ist
+die letzte Form gleichbedeutend mit}
+&=
+\sum_{k=0} (-1)^k\operatorname{Spur} H_k(f).
+\end{align*}
+Damit ist die Formel
+\eqref{buch:homologie:lefschetz-zahl}
+bewiesen.
 \end{proof}
 
 Die Lefshetz-Zahl ist eine Invariante einer topologischen Abbildung,
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cgit v1.2.1

