From 123a5f4a7d5afb554d17a6ffc795a7bf1921abf0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 22 Aug 2021 11:16:26 +0200 Subject: add additional image --- buch/chapters/95-homologie/homologie.tex | 826 +++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 826 insertions(+) (limited to 'buch/chapters/95-homologie/homologie.tex') diff --git a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex index 905ecc3..6588f8a 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex @@ -111,6 +111,9 @@ Wenn nur von einem Kettenkomplex die Rede ist, kann auch $H_k(C)=H_k$ abgekürzt werden. \end{definition} +% XXX Visualisierung Zyklen/Ränder, Klassen von Zyklen, die sich um einen +% XXX Rand unterscheiden + Die folgenden zwei ausführlichen Beispiele sollen zeigen, wie die Homologiegruppe $H_2$ die Anwesenheit eines Hohlraumes detektieren kann, der entsteht, wenn man aus einem Tetraeder das innere entfernt. @@ -313,6 +316,815 @@ Die Homologiegruppe $H_2$ hat jetzt Dimension $1$ und zeigt damit den Hohlraum an. \end{beispiel} +\subsubsection{Basiswahl} +Die Definition der Homologiegruppen $H_k(C)$ als Quotient von +Vektorräumen ist ziemlich abstrakt. +Sie besteht aus Klassen von Zyklen, die sich höchstens um einen +Rand unterscheiden. +% XXX Verweise auf Visualisierung +Indem wir eine geeignete Basis wählen, können wir konkrete Zyklen +identifizieren, die eine Basis für den Vektorraum $H_k(C)$ bilden. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/95-homologie/images/gausshomoex.pdf} +\caption{Beispiel für die Berechnung von Basisvektoren und Homologieklassen +mit Hilfe des Gauss-Algorithmus +\label{buch:homologie:fig:gausshomoex}} +\end{figure} + +Um eine Basis für $H_k(C)$ zu konstruieren, ist es zunächst nötig, +eine Basis de rZyklen $Z_k(C)$ zu bestimmen. +Ausgehend von einer beliebigen Basis der $C_k$ und einer +zugehörigen Darstellung des Randoperators $\partial_k$ als +Matrix, kann eine Basis von Zyklen mit Hilfe des Gauss-Algorithmus +gefunden werden. +Wir bezeichnen die Menge dieser Zyklen mit +\[ +\mathcal{Z}_k += +\{ +z_1^{(k)}, +z_2^{(k)}, +\dots, +z_l^{(k)} +\}. +\] +$\mathcal{Z}_k$ erzeugt den $l$-dimensionalen Vektorraum $Z_k(C)$. + +\begin{beispiel} +\label{buch:homologie:beispiel:gausshomo} +In Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:gausshomoex} ist ein Polyeder +dargestellt, dessen Homologiegruppe $H_1$ berechnet werden soll. +Um eine Basis für die Zyklen zu berechnen, wird zunächst die Matrix +des Randoperators $\partial_1$ aufgestellt. +Sie ist +\[ +\setcounter{MaxMatrixCols}{27} +\partial_1 += +\tiny +\setlength\arraycolsep{2pt} +\begin{pmatrix*}[r] +%1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 +-1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 1 + 1&-1& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 2 + 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 3 + 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 4 + 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 5 + 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 6 + 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 7 + 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 8 + 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 9 + 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0&-1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ %10 + 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0\\ %11 + 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ %12 + 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0&-1& 1& 0\\ %13 + 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 1& 0&-1\\ %14 + 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1\\ %15 +\end{pmatrix*} +\] +Die reduzierte Zeilenstufenform von $\partial_1$ ist +\begin{center} +\tiny +\setlength\tabcolsep{3pt} +\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|} +\hline +&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26&27\\ +\hline + 1&1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ + 2&0& 1& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ + 3&0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ + 4&0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ + 5&0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ + 6&0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ + 7&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ + 8&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ + 9&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ +10&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ +11&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 1& 1& 0&-1\\ +12&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 1& 0&-1\\ +13&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1&-1& 0& 1\\ +14&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1\\ +15&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ +\hline +\end{tabular}, +\end{center} +daraus kann man die Zyklen ablesen. +{ +\begin{align*} +z_1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] +\phantom{-} + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_2 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] +\phantom{-} + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_3 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] +\phantom{-} + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_4 % variable 12 = 1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] +\phantom{-} + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_5 % variable 13 = 1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] +-1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_6 % variable 14 = 1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] + 0\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_7 % variable 16 = 1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*},\\ +z_8 % variable 18 = 1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_9 % variable 20 = 1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] +-1\\ +-1\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_{10} % variable 22 = 1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] +\phantom{-} + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ %5 + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ %10 + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ %15 + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ %20 + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ %25 + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_{11} % variable 24 = 1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ %5 + 0\\ + 0\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ %10 + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ %15 + 0\\ +-1\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ %20 + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 0\\ %25 + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_{12} % variable 25 = 1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ %10 + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ %15 + 0\\ + 0\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ %20 +-1\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 1\\ %25 + 0\\ + 0 +\end{pmatrix*}, +&z_{13} % variable 27 = 1 +&= +\tiny +\begin{pmatrix*}[r] + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ %20 + 1\\ + 0\\ +-1\\ + 0\\ + 0\\ %25 + 1\\ + 1 +\end{pmatrix*} +\end{align*} +} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf} +\caption{Zyklen des Randoperators $\partial_1$ im Beispiel von +Seite~\pageref{buch:homologie:beispiel:gausshomo}. +\label{buch:homologie:fig:homocycles}} +\end{figure} +Die Zyklen sind in Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:homocycles} {\color{red}rot} dargestellt. +\end{beispiel} + +Da $B_k(C)\subset Z_k(C)$ gilt, lässt sich für jedes $c_{k+1}\in C_{k+1}$ +der Rand $\partial_{k+1}c_{k+1}$ als Linearkombination der im +vorangegangenen Schritt gefundenen Basiszyklen finden. +Wir können also aus der Standardbasis $e^{(k+1)}_i\in C_{k+1}$ eine Menge +von Vektoren $\partial_{k+1}e^{(k+1)}_i$ gewinnen, die mit Sicherheit +ganz $B_k(C)$ aufspannen. +Es ist aber davon auszugehen, dass diese Vektoren nicht linear unabhängig +sind. +Es ist also nötig, eine Teilmenge +\[ +\mathcal{B}_k += +\{ +\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_1}, +\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_2}, +\dots, +\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_m} +\} +\] +von Vektoren auszuwählen, die linear +unabhängig sind. +Diese bilden eine Basis von $B_k(C)$. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf} +\caption{Die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ für das Beispiel von +Seite~\pageref{buch:homologie:beispiel:gausshomo}. +Die grauen Dreiecke bilden die Standardbasis $e_i^{(2)}$ von $C_2$, +die blauen Dreiecke sind die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ dieser +Dreiecke. +\label{buch:homologie:fig:homoboundaries}} +\end{figure} + +Aus den Abbildungen~\ref{buch:homologie:fig:homocycles} und +\ref{buch:homologie:fig:homoboundaries} kann man auch ablesen, +wie die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ aus den Zyklen von $\mathcal{Z}_1$ +linear kombiniert werden können. +Man erhält so die Beziehungen. +\begin{equation} +\setcounter{MaxMatrixCols}{29} +\setlength\arraycolsep{1pt} +\begin{array}{lcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcr} +\partial_2e_1^{(2)} &=&z_1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\partial_2e_2^{(2)} &=& & &z_2& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\partial_2e_3^{(2)} &=& & & & &z_3& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\partial_2e_4^{(2)} &=& & & & & & &z_4& & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\partial_2e_5^{(2)} &=& & & & & & & &-&z_5& & &+&z_7& & & & & & & & & & & & \\ +\partial_2e_6^{(2)} &=& & & & & & & & & &-&z_6& & &+&z_8& & & & & & & & & & \\ +\partial_2e_7^{(2)} &=& & & & & & & & & & & & & & & & & & &z_{10}& & & & & & \\ +\partial_2e_8^{(2)} &=& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &z_{11}& & & & \\ +\partial_2e_9^{(2)} &=& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &-&z_{12}&+&z_{13} +\end{array} +\end{equation} +Dies reicht jedoch nicht, um herauszufinden, welche der blauen Dreiecke +linear unabhängig sind. +Im vorliegenden Fall ist dies einfach: jedes blaue Dreieck besteht aus +Kanten, die in keinem anderen blauen Dreieck vorkommen, daher müssen +sie alle linear unabhängig sein. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.pdf} +\caption{Bestimmung einer Basis für die Homologiegruppe $H_k(C)$ mit +Hilfe der Vorwärtsreduktion des Gaussalgorithmus. +Die schwarzen Nullzeilen zeigen an, welche Zeilenvektoren zusammen mit +den darüberliegenden Vektoren nicht linear unabhängig sind und damit nicht +in Frage kommen für die besuchte Basis. +Übrig bleiben die {\color{red}rot} und {\color{darkgreen}grün} hervorgehobenen +Vektoren. +\label{buch:homologie:fig:gausshomobasis}} +\end{figure} + +Diese Auswahl lässt sich sehr leicht mit Hilfe der folgenden +Variante des Gauss-Algorithmus realisieren. +Dazu werden die $n_{k+1}$ Zeilen Gauss-Tableau zunächst mit den Vektoren +$\partial_{k+1}{e_i^{(k+1)}}^t$ gefüllt. +Führt man in diesem Tableau die Vorwärtsreduktion durch, wobei man +entstehende Nullzeilen einfach überspringt, bleiben nur noch Zeilen +übrig, die linear unabhängig sind. +Diese Zeilen entsprechen den linear unabhängigen Vektoren von $\mathcal{B}_k$, +die Zeilennummern sind $i_1,i_2,\dots,i_m$. +Dieses vorgehen ist schematisch im oberen Teil der +Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:gausshomobasis} dargestellt. + +Um eine Basis von $H_k(C)$ zu konstruieren, müssen wir jetzt eine +Basis von Zyklen finden, die sich nicht nur um einen Rand unterscheiden, +die also zu verschiedenen Homologie-Klassen in $H_k(C)$ gehören. +Gesucht sind jetzt also Vektoren $\mathcal{Z}'_k$ derart, dass +die Vektoren von $\mathcal{Z}'_k\cup\mathcal{B}_k$ immer noch $Z_k(C)$ +aufspannen, aber zusätzlich linear unabhängig sind. + +Dazu kann man wie folgt vorgehen. +\begin{enumerate} +\item +Man beginnt mit $\mathcal{D}_0=\emptyset$ und setzt $j=0$. +\item +Dann testet man der Reihe nach alle noch nicht getesteten Vektoren +von $z_i^{(k)}\in\mathcal{Z}_k$ daraufhin, ob sie von den Vektoren +$\mathcal{B}_k\cup \mathcal{D}_j$ linear unabhängig sind. +Wenn ja, bildet man $\mathcal{D}_{j+1} = \mathcal{D}\cup\{z^{(k)}_i\}$ und +setzt $j=1$. +Andernfalls ignoriert man $z^{(k)}_i$. +\item +Schritt 2 wird wiederholt, bis man alle Vektoren von $\mathcal{Z}_k$ +getestet hat. +Die gesuchte Basis setzt sich zusammen aus $\mathcal{B}_k$ und +$\mathcal{D}_l$, +also +$ +\mathcal{Z}_k' += +\mathcal{B}_k +\cup +\mathcal{D}_l. +$ +\end{enumerate} + +Dieser Algorithmus kann ebenfalls mit der oben angesprochenen Variante +des Gauss-Algorithmus durchgeführt werden. +Dazu werden die Zeilen $n_k+1$ bis $n_k+1+|\mathcal{Z}_k|$ mit den +Vektoren $z_i^t$. +Dann führt man die Vorwärtsreduktion im ganzen Tableau durch, wobei +man wieder die Nullzeilen stehen lässt. +Nullzeilen zeigen wieder Vektoren an, die sich linear durch die darüber +liegenden Vektoren ausdrücken lassen. +Die auszuwählenden Vektoren sind daher genau diejenigen, die für +$\mathcal{Z}_k'$ ausgewählt werden müssen. + +Um den Algorithmus durchzuführen, bilden wir daher das Gauss-Tableau +in Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableau}, +bestehend aus den Vektoren $\partial_2e_i^{(2)}$ in den ersten 9 +Zeilen und den Zyklen $z_1,\dots,z_{13}$ in den folgenden 13 Zeilen. +Das reduzierte Tableau nach der Vorwärtsreduktion ist in +Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert} +dargestellt, amn erkennt, dass die Zyklen $z_1$ bis $z_4$, $z_7$ und $z_8$, +$z_9$ und $z_{10}$ sowie $z_{13}$ weggelassen werden müssen. +Es bleiben die folgenden Zyklen: +\begin{center} +\begin{tabular}{>{$}l<{$}l} +\text{Zyklus}&Eigenschaft\\ +\hline +z_5 &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck links unten\\ +z_6 &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck rechts unten\\ +z_9 &Zyklus umschliesst das grosse weisse Dreieck\\ +z_{12}&Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreicke oben\\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +Die Zyklen, die nach der Reduktion übrig bleiben, sind in +Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:homoclasses} zusammengestellt. +Jede solche Klasse entspricht genau einem der ``Löcher'', der weissen +Dreiecke. +Die Homologie kann man also als eine exakte Version der Idee eines +Vektorraums erzeugt von den ``Löchern'' eines Polygons verstehen. + +\begin{figure} +\centering +\setlength\tabcolsep{1pt} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|} +\hline +&\scriptstyle 1&\scriptstyle 2&\scriptstyle 3&\scriptstyle 4 &\scriptstyle 5 +&\scriptstyle 6 &\scriptstyle 7 &\scriptstyle 8 &\scriptstyle 9 &\scriptstyle 10 +&\scriptstyle 11 &\scriptstyle 12 &\scriptstyle 13 &\scriptstyle 14 &\scriptstyle 15 +&\scriptstyle 16 &\scriptstyle 17 &\scriptstyle 18 &\scriptstyle 19 &\scriptstyle 20 +&\scriptstyle 21 &\scriptstyle 22 &\scriptstyle 23 &\scriptstyle 24 &\scriptstyle 25 +&\scriptstyle 26 &\scriptstyle 27 +\\ +% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 +\hline +\scriptstyle\partial_2e_1^{(2)}& 1& & & & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_2^{(2)}& & 1& & & & & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_3^{(2)}& & & 1& & & & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_4^{(2)}& & & &\phantom{-}1& & & & & & & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_5^{(2)}& & & & & & & & & & & & & 1& & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_6^{(2)}& & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1& & & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_7^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & 1& &\phantom{-}1& 1& & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_8^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1& & & 1&\phantom{-}1& & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_9^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1&\phantom{-}1\\ +\hline +% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 +\scriptstyle z_{ 1}& 1& & & & 1& 1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 2}& & 1& & & & & 1& 1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 3}& & & 1& & & & & & 1& 1& & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 4}& & & & 1& & & & & & & 1& 1& & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 5}&-1& & & &-1& & 1& & & & & & 1& & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 6}& & &-1& & & & & &-1& & 1& & & 1& & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 7}& 1& & & & 1& &-1& & & & & & & & 1& 1& & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 8}& & & 1& & & & & & 1& &-1& & & & & & 1& 1& & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 9}&-1&-1& & & 1& & & & 1& & & & & &-1& & 1& 1& 1& & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{10}& & & & & & & & & & & & & & & & & & 1& & 1& 1& & & & & & \\ +\scriptstyle z_{11}& 1& 1& & & 1& & & &-1& & & & & & 1& &-1& &-1& & & & 1& 1& & & \\ +\scriptstyle z_{12}& & & & & & & & & & & & & & & & & & &-1& &-1& & 1& & 1& & \\ +\scriptstyle z_{13}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & 1& & 1& &-1& & & 1& 1\\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Gauss-Tableau für die Bestimmung einer Basis von +$H_1$ für das Beispiel. +Die ersten neuen Zeilen bestehen aus den Bildern der +Basisvektoren von $C_2$. +Im vorliegenden Fall kann man sofort sehen, dass alle diese +Zeilen linear unabhängig sind. +Die folgenden Zeilen sind die Zyklen in $\mathbb{Z}_2$, sie +sind ebenfalls linear unabhängig. +Mit Hilfe der Vorwärtsreduktion müssen jetzt diejenigen +Zeilen elminiert werden, die bereits aus anderen Zyklen +mit Hilfe von Rändern der Zeilen 1--9 kombiniert werden können. +\label{buch:homologie:beispiel:gausstableau}} +\end{figure} + +\begin{figure} +\centering +\setlength\tabcolsep{1pt} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|} +\hline +&\scriptstyle 1&\scriptstyle 2&\scriptstyle 3&\scriptstyle 4 &\scriptstyle 5 +&\scriptstyle 6 &\scriptstyle 7 &\scriptstyle 8 &\scriptstyle 9 &\scriptstyle 10 +&\scriptstyle 11 &\scriptstyle 12 &\scriptstyle 13 &\scriptstyle 14 &\scriptstyle 15 +&\scriptstyle 16 &\scriptstyle 17 &\scriptstyle 18 &\scriptstyle 19 &\scriptstyle 20 +&\scriptstyle 21 &\scriptstyle 22 &\scriptstyle 23 &\scriptstyle 24 &\scriptstyle 25 +&\scriptstyle 26 &\scriptstyle 27 +\\ +% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 +\hline +\scriptstyle\partial_2e_1^{(2)}&\phantom{-}1& & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_2^{(2)}& &\phantom{-}1& & & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_3^{(2)}& & &\phantom{-}1& & & & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_4^{(2)}& & & &\phantom{-}1& & & & & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_5^{(2)}& & & & & & & & & & & & & 1& & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_6^{(2)}& & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1& & & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_7^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & 1& &\phantom{-}1& 1& & & & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_8^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1& & & 1&\phantom{-}1& & & \\ +\scriptstyle\partial_2e_9^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1&\phantom{-}1\\ +\hline +% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 +\scriptstyle z_{ 1}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 2}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 3}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 4}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 5}& & & & & & 1& 1& & & & & & & &-1&-1& & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 6}& & & & & & & & & & 1& 1& & & & & &-1&-1& & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 7}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 8}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{ 9}& & & & & & & & 1& 1& & & & & & & 1& 1& & & &-1&-1&-1&-1& & & \\ +\scriptstyle z_{10}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{11}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\scriptstyle z_{12}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 1& 1& & &-1&-1\\ +\scriptstyle z_{13}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Nach Durchführung der Vorwärtsreduktion kann man die Zyklen +ablesen, die nicht für eine Basis von $H_1$ gebraucht werden. +\label{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}} +\end{figure} + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf} +\caption{Repräsentanten für die Reduzierten Klassen aus dem +Tableau von +Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}, +sie bilden eine Basis der Homologie-Gruppe $H_1$. +Jeder dieser Repräsentanten umschliesst genau ein ``Loch'', +also genau ein weisses Dreieck. +\label{buch:homologie:beispiel:homoclasses}} +\end{figure} + +\subsubsection{Basis von $H_k(C)$} +Die im vorangegangenen Abschnitt konstruierte Basis kann jetzt auch +dazu verwendet werden, eine Basis von $H_k(C)$ zu finden. +Die Vektoren in $\mathcal{B}_k$ bilden eine Basis von $B_k(C)$ +und die Vektoren in $\mathcal{Z}_k'$ sind davon unabhängig. +Die Klassen der Vektoren von $\mathcal{Z}_k'$ in $H_k(C)$ sind +daher ebenfalls linear unabhängig und bilden damit eine Basis +von $H_k(C)$. +Die von obigem Algorithmus ausgewählten Zyklen bilden also automatisch +eine Basis von Zyklen, die nicht Rand irgend einer Kette in $C_{k+1}$ +sein können. + \subsection{Induzierte Abbildung \label{buch:subsection:induzierte-abbildung}} Früher haben wurde eine Abbildung $f_*$ zwischen Kettenkomplexen $C_*$ und @@ -324,6 +1136,7 @@ H_k(f) \colon H_k(C) \to H_k(D) \] zwischen den Homologiegruppen ergibt, wie wir nun zeigen wollen. +\subsubsection{Definition der induzierten Abbildung} Um eine Abbildung von $H_k(C)$ nach $H_k(D)$ zu definieren, müssen wir zu einem Element von $H_k(C)$ ein Bildelement konstruieren. Ein Element in $H_k(C)$ ist eine Menge von Zyklen in $Z^C_k$, die sich @@ -351,4 +1164,17 @@ Der letzte Term ist ein Rand in $D_k$, somit ändert sich $f_k(z)$ nur um diesen Rand, wenn man $z$ um einen Rand ändert. $f_k(z)$ und $f_k(z+b)$ führen auf die selbe Homologieklasse. +\subsubsection{Matrixdarstellung} + +\subsubsection{Spur} +Für eine Selbstabbildung von Komplexen $f_*\colon C_*\to C_*$ muss +\[ +\partial_{k}\circ f_{k} += +f_{k+1}\circ \partial_{k} +\] +man die einzelnen + + + -- cgit v1.2.1 From 0ead33dd72a7dd09ab8f855e672cb81e38623ef1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 22 Aug 2021 21:43:09 +0200 Subject: euler char, traces, telescoping sums --- buch/chapters/95-homologie/homologie.tex | 1147 +----------------------------- 1 file changed, 4 insertions(+), 1143 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/95-homologie/homologie.tex') diff --git a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex index 6588f8a..747c00f 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex @@ -34,1147 +34,8 @@ Es soll möglich werden, kompliziertere Fragen des Zusammenhangs, zum Beispiel das Vorhandensein von Löchern mit algebraischen Mitteln zu analysieren. -\subsection{Homologie eines Kettenkomplexes -\label{buch:subsection:homologie-eines-kettenkomplexes}} -Wegzusammenhang lässt sich untersuchen, indem man in der Triangulation -nach Linearkombinationen von Kanten sucht, die als Rand die beiden Punkte -haben. -Zwei Punkte sind also nicht verbindbar und liegen damit in verschiedenen -Komponenten, wenn die beiden Punkte nicht Rand irgend einer -Linearkombination von Kanten sind. -Komponenten können also identifiziert werden, indem man unter allen -Linearkombinationen von Punkten, also $C_0$ all diejenigen ignoriert, -die Rand einer Linearkombinationv on Kanten sind, also $\partial_1C_1$. -Der Quotientenraum $H_0=C_0/\partial_1C_1$ enthält also für jede Komponente -eine Dimension. - -Eine Dimension höher könnten wir danach fragen, ob sich ein geschlossener -Weg zusammenziehen lässt. -In der Triangulation zeichnet sich ein geschlossener Weg dadurch aus, -dass jedes Ende einer Kante auch Anfang einer Folgekante ist, dass also -der Rand der Linearkombination von Kanten 0 ist. -Algebraisch bedeutet dies, dass wir uns für diejenigen Linearkombinationen -$z\in C_1$ interessieren, die keinen Rand haben, für die also $\partial_1z=0$ -gilt. - -\begin{definition} -Die Elemente von -\[ -Z_k -= -Z_k^C -= -\{z\in C_k\;|\; \partial_k z = 0\} -= -\ker \partial_k -\] -heissen die {\em ($k$-dimensionalen) Zyklen} von $C_*$. -\end{definition} - -In einem Dreieck ist der Rand ein geschlossener Weg, der sich zusammenziehen -lässt, indem man ihn durch die Dreiecksfläche deformiert. -Entfernt man aber die Dreiecksfläche, ist diese Deformation nicht mehr -möglich. -Einen zusammenziehbaren Weg kann man sich also als den Rand eines Dreiecks -einer vorstellen. -``Löcher'' sind durch geschlossene Wege erkennbar, die nicht Rand eines -Dreiecks sein können. -Wir müssen also ``Ränder'' ignorieren. - -\begin{definition} -Die Elemente von -\[ -B_k -= -B_k^C -= -\{\partial_{k+1}z\;|\; C_{k+1}\} -= -\operatorname{im} \partial_{k+1} -\] -heissen die {\em ($k$-dimensionalen) Ränder} von $C_*$. -\end{definition} - -Algebraisch ausgedrückt interessieren uns also nur Zyklen, die selbst -keine Ränder sind. -Der Quotientenraum $Z_1/B_1$ ignoriert unter den Zyklen diejenigen, die -Ränder sind, drückt also algebraisch die Idee des eindimensionalen -Zusammenhangs aus. -Wir definieren daher - -\begin{definition} -Die $k$-dimensionale Homologiegruppe des Kettenkomplexes $C_*$ ist -\[ -H_k(C) = Z_k/B_k = \ker \partial_k / \operatorname{im} \partial_{k+1}. -\] -Wenn nur von einem Kettenkomplex die Rede ist, kann auch $H_k(C)=H_k$ -abgekürzt werden. -\end{definition} - -% XXX Visualisierung Zyklen/Ränder, Klassen von Zyklen, die sich um einen -% XXX Rand unterscheiden - -Die folgenden zwei ausführlichen Beispiele sollen zeigen, wie die -Homologiegruppe $H_2$ die Anwesenheit eines Hohlraumes detektieren kann, -der entsteht, wenn man aus einem Tetraeder das innere entfernt. - -\begin{beispiel} -\begin{figure} -\centering -XXX Bild eines Tetraeders mit Bezeichnung der Ecken und Kanten -\caption{Triangulation eines Tetraeders, die Orientierung von Kanten -und Seitenflächen ist immer so gewählt, dass die Nummern der Ecken -aufsteigend sind. -\label{buch:homologie:tetraeder:fig}} -\end{figure} -Ein Tetraeder ist ein zweidmensionales Simplex, wir untersuchen seinen -Kettenkomplex und bestimmen die zugehörigen Homologiegruppen. -Zunächst müssen wir die einzelnen Mengen $C_k$ beschreiben und verwenden -dazu die Bezeichnungen gemäss Abbildung~\ref{buch:homologie:tetraeder:fig}. -$C_0$ ist der vierdimensionale Raum aufgespannt von den vier Ecken -$0$, $1$, $2$ und $3$ des Tetraeders. -$C_1$ ist der sechsdimensionale Vektorraum der Kanten -\[ -k_0 = [0,1],\quad -k_1 = [0,2],\quad -k_2 = [0,3],\quad -k_3 = [1,2],\quad -k_4 = [1,3],\quad -k_5 = [2,3] -\] -Der Randoperator $\partial_1$ hat die Matrix -\[ -\partial_1 -= -\begin{pmatrix*}[r] --1&-1&-1& 0& 0& 0\\ - 1& 0& 0&-1&-1& 0\\ - 0& 1& 0& 1& 0&-1\\ - 0& 0& 1& 0& 1& 1 -\end{pmatrix*}. -\] - -Wir erwarten natürlich, dass sich zwei beliebige Ecken verbinden lassen, -dass es also nur eine Komponente gibt und dass damit $H_1=\Bbbk$ ist. -Dazu beachten wir, dass das Bild von $\partial_1$ genau aus den Vektoren -besteht, deren Komponentensumme $0$ ist. -Das Bild $B_0$ von $\partial_1$ ist daher die Lösungsmenge der einen -Gleichung -\( -x_0+x_1+x_2+x_3=0. -\) -Der Quotientenraum $H_0=Z_0/B_0 = C_0/\operatorname{im}\partial_1$ -ist daher wie erwartet eindimensional. - -Wir bestimmen jetzt die Homologiegruppe $H_1$. -Da sich im Tetraeder jeder geschlossene Weg zusammenziehen lässt, -erwarten wir $H_1=0$. - -Die Menge der Zyklen $Z_1$ wird bestimmt, indem man die Lösungsmenge -des Gleichungssystems $\partial_1z=0$ bestimmt. -Der Gauss-Algorithmus für die Matrix $\partial_1$ liefert das -Schlusstableau -\[ -\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} -\hline -k_0&k_1&k_2&k_3&k_4&k_5\\ -\hline - 1& 0& 0& -1& -1& 0\\ - 0& 1& 0& 1& 0& -1\\ - 0& 0& 1& 0& 1& 1\\ - 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ -\hline -\end{tabular} -\] -Daraus lassen sich drei linear unabhängig eindimensionale Zyklen ablesen, -die zu den Lösungsvektoren -\[ -z_1 -= -\begin{pmatrix*}[r] -1\\ --1\\ -0\\ -1\\ -0\\ -0 -\end{pmatrix*}, -\qquad -z_2 -= -\begin{pmatrix*}[r] -1\\ -0\\ --1\\ -0\\ -1\\ -0 -\end{pmatrix*}, -\qquad -z_3 -= -\begin{pmatrix*}[r] -0\\ -1\\ --1\\ -0\\ -0\\ -1 -\end{pmatrix*} -\] -gehören. - -$C_2$ hat die vier Seitenflächen -\[ -f_0=[0,1,2],\quad -f_1=[0,1,3],\quad -f_2=[0,2,3],\quad -f_3=[1,2,3] -\] -als Basis. -Der zweidimensionale Randoperator ist die $6\times 4$-Matrix -\[ -\partial_2 -= -\begin{pmatrix*}[r] - 1& 1& 0& 0\\ --1& 0& 1& 0\\ - 0&-1&-1& 0\\ - 1& 0& 0& 1\\ - 0& 1& 0&-1\\ - 0& 0& 1& 1 -\end{pmatrix*}. -\] -Man kann leicht nachrechnen, dass $\partial_1\partial_2=0$ ist, wie es -für einen Kettenkomplex sein muss. - -Um nachzurechnen, dass die Homologiegruppe $H_1=0$ ist, müssen wir jetzt -nachprüfen, ob jeder Zyklus in $Z_1$ auch Bild der Randabbildung $\partial_2$ -ist. -Die ersten drei Spalten von $\partial_2$ sind genau die drei Zyklen -$z_1$, $z_2$ und $z_3$. -Insbesondere lassen sich alle Zyklen als Ränder darstellen, die -Homologiegruppe $H_1=0$ verschwindet. - -Die Zyklen in $C_2$ sind die Lösungen von $\partial_2z=0$. -Der Gauss-Algorithmus für $\partial_2$ liefert das -Tableau -\[ -\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} -\hline -f_0&f_1&f_2&f_3\\ -\hline -1&0&0& 1\\ -0&1&0&-1\\ -0&0&1& 1\\ -0&0&0& 0\\ -0&0&0& 0\\ -0&0&0& 0\\ -\hline -\end{tabular} -\] -Daraus liest man ab, dass es genau einen Zyklus nämlich -\[ -z -= -\begin{pmatrix} --1\\1\\-1\\1 -\end{pmatrix} -\] -$Z_2$ besteht also aus Vielfachen des Vektors $z$. - -Da es nur ein zweidimensionales Simplex gibt, ist $C_3$ eindimensional. -Die Randabbildung $\partial_3$ hat die Matrix -\[ -\partial_3 -= -\begin{pmatrix} -1\\ --1\\ -1\\ --1 -\end{pmatrix}. -\] -Die Zyklen $Z_2$ und die Ränder $B_2$ bilden also dieselbe Menge, auch -die Homologie-Gruppe $H_2$ ist $0$. - -Da es keine vierdimensionalen Simplizes gibt, ist $B_3=0$. -Die Zyklen $Z_3$ bestehen aus den Lösungen von $\partial_3w=0$, da -aber $\partial_3$ injektiv ist, ist $Z_3=0$. -Daher ist auch $H_3=0$. -\end{beispiel} - -\begin{beispiel} -Für dieses Beispiel entfernen wir das Innere des Tetraeders, es entsteht -ein Hohlraum. -Am Kettenkomplex der Triangulation ändert sich nur, dass $C_3$ jetzt -nur noch den $0$-Vektor enthält. -Das Bild $B_2=\operatorname{im}\partial_3$ wird damit auch $0$-dimensional, -während es im vorigen Beispiel eindimensional war. -Die einzige Änderung ist also in der Homologiegruppe -$H_2 = Z_2/B_2 = Z_2 / \{0\} \simeq \Bbbk$. -Die Homologiegruppe $H_2$ hat jetzt Dimension $1$ und zeigt damit den -Hohlraum an. -\end{beispiel} - -\subsubsection{Basiswahl} -Die Definition der Homologiegruppen $H_k(C)$ als Quotient von -Vektorräumen ist ziemlich abstrakt. -Sie besteht aus Klassen von Zyklen, die sich höchstens um einen -Rand unterscheiden. -% XXX Verweise auf Visualisierung -Indem wir eine geeignete Basis wählen, können wir konkrete Zyklen -identifizieren, die eine Basis für den Vektorraum $H_k(C)$ bilden. - -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/95-homologie/images/gausshomoex.pdf} -\caption{Beispiel für die Berechnung von Basisvektoren und Homologieklassen -mit Hilfe des Gauss-Algorithmus -\label{buch:homologie:fig:gausshomoex}} -\end{figure} - -Um eine Basis für $H_k(C)$ zu konstruieren, ist es zunächst nötig, -eine Basis de rZyklen $Z_k(C)$ zu bestimmen. -Ausgehend von einer beliebigen Basis der $C_k$ und einer -zugehörigen Darstellung des Randoperators $\partial_k$ als -Matrix, kann eine Basis von Zyklen mit Hilfe des Gauss-Algorithmus -gefunden werden. -Wir bezeichnen die Menge dieser Zyklen mit -\[ -\mathcal{Z}_k -= -\{ -z_1^{(k)}, -z_2^{(k)}, -\dots, -z_l^{(k)} -\}. -\] -$\mathcal{Z}_k$ erzeugt den $l$-dimensionalen Vektorraum $Z_k(C)$. - -\begin{beispiel} -\label{buch:homologie:beispiel:gausshomo} -In Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:gausshomoex} ist ein Polyeder -dargestellt, dessen Homologiegruppe $H_1$ berechnet werden soll. -Um eine Basis für die Zyklen zu berechnen, wird zunächst die Matrix -des Randoperators $\partial_1$ aufgestellt. -Sie ist -\[ -\setcounter{MaxMatrixCols}{27} -\partial_1 -= -\tiny -\setlength\arraycolsep{2pt} -\begin{pmatrix*}[r] -%1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 --1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 1 - 1&-1& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 2 - 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 3 - 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 4 - 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 5 - 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 6 - 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 7 - 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 8 - 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ % 9 - 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0&-1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ %10 - 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0\\ %11 - 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ %12 - 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 0& 0&-1& 1& 0\\ %13 - 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1& 1& 0&-1\\ %14 - 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 1\\ %15 -\end{pmatrix*} -\] -Die reduzierte Zeilenstufenform von $\partial_1$ ist -\begin{center} -\tiny -\setlength\tabcolsep{3pt} -\begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|} -\hline -&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26&27\\ -\hline - 1&1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ - 2&0& 1& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ - 3&0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ - 4&0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ - 5&0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ - 6&0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ - 7&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ - 8&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ - 9&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\ -10&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ -11&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 1& 1& 0&-1\\ -12&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 1& 0&-1\\ -13&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1&-1& 0& 1\\ -14&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1\\ -15&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ -\hline -\end{tabular}, -\end{center} -daraus kann man die Zyklen ablesen. -{ -\begin{align*} -z_1 -&= -\tiny -\begin{pmatrix*}[r] -\phantom{-} - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 1\\ - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0 -\end{pmatrix*}, -&z_2 -&= -\tiny -\begin{pmatrix*}[r] -\phantom{-} - 0\\ - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 1\\ - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0 -\end{pmatrix*}, -&z_3 -&= -\tiny -\begin{pmatrix*}[r] -\phantom{-} - 0\\ - 0\\ - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 1\\ - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0 -\end{pmatrix*}, -&z_4 % variable 12 = 1 -&= -\tiny -\begin{pmatrix*}[r] -\phantom{-} - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 1\\ - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0 -\end{pmatrix*}, -&z_5 % variable 13 = 1 -&= -\tiny -\begin{pmatrix*}[r] --1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ --1\\ - 0\\ - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0 -\end{pmatrix*}, -&z_6 % variable 14 = 1 -&= -\tiny -\begin{pmatrix*}[r] - 0\\ - 0\\ --1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ --1\\ - 0\\ - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0 -\end{pmatrix*}, -&z_7 % variable 16 = 1 -&= -\tiny -\begin{pmatrix*}[r] - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 1\\ - 0\\ --1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 1\\ - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0 -\end{pmatrix*},\\ -z_8 % variable 18 = 1 -&= -\tiny -\begin{pmatrix*}[r] - 0\\ - 0\\ - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 1\\ - 0\\ --1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 1\\ - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0 -\end{pmatrix*}, -&z_9 % variable 20 = 1 -&= -\tiny -\begin{pmatrix*}[r] --1\\ --1\\ - 0\\ - 0\\ - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ --1\\ - 0\\ - 1\\ - 0\\ - 1\\ - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0 -\end{pmatrix*}, -&z_{10} % variable 22 = 1 -&= -\tiny -\begin{pmatrix*}[r] -\phantom{-} - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ %5 - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ %10 - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ %15 - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 1\\ - 0\\ %20 - 1\\ - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ %25 - 0\\ - 0 -\end{pmatrix*}, -&z_{11} % variable 24 = 1 -&= -\tiny -\begin{pmatrix*}[r] - 1\\ - 1\\ - 0\\ - 0\\ - 1\\ %5 - 0\\ - 0\\ - 0\\ --1\\ - 0\\ %10 - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 1\\ %15 - 0\\ --1\\ - 0\\ --1\\ - 0\\ %20 - 0\\ - 0\\ - 1\\ - 1\\ - 0\\ %25 - 0\\ - 0 -\end{pmatrix*}, -&z_{12} % variable 25 = 1 -&= -\tiny -\begin{pmatrix*}[r] - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ %10 - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ %15 - 0\\ - 0\\ - 0\\ --1\\ - 0\\ %20 --1\\ - 0\\ - 1\\ - 0\\ - 1\\ %25 - 0\\ - 0 -\end{pmatrix*}, -&z_{13} % variable 27 = 1 -&= -\tiny -\begin{pmatrix*}[r] - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 0\\ - 1\\ - 0\\ %20 - 1\\ - 0\\ --1\\ - 0\\ - 0\\ %25 - 1\\ - 1 -\end{pmatrix*} -\end{align*} -} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf} -\caption{Zyklen des Randoperators $\partial_1$ im Beispiel von -Seite~\pageref{buch:homologie:beispiel:gausshomo}. -\label{buch:homologie:fig:homocycles}} -\end{figure} -Die Zyklen sind in Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:homocycles} {\color{red}rot} dargestellt. -\end{beispiel} - -Da $B_k(C)\subset Z_k(C)$ gilt, lässt sich für jedes $c_{k+1}\in C_{k+1}$ -der Rand $\partial_{k+1}c_{k+1}$ als Linearkombination der im -vorangegangenen Schritt gefundenen Basiszyklen finden. -Wir können also aus der Standardbasis $e^{(k+1)}_i\in C_{k+1}$ eine Menge -von Vektoren $\partial_{k+1}e^{(k+1)}_i$ gewinnen, die mit Sicherheit -ganz $B_k(C)$ aufspannen. -Es ist aber davon auszugehen, dass diese Vektoren nicht linear unabhängig -sind. -Es ist also nötig, eine Teilmenge -\[ -\mathcal{B}_k -= -\{ -\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_1}, -\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_2}, -\dots, -\partial_{k+1}e^{(k+1)}_{i_m} -\} -\] -von Vektoren auszuwählen, die linear -unabhängig sind. -Diese bilden eine Basis von $B_k(C)$. - -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf} -\caption{Die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ für das Beispiel von -Seite~\pageref{buch:homologie:beispiel:gausshomo}. -Die grauen Dreiecke bilden die Standardbasis $e_i^{(2)}$ von $C_2$, -die blauen Dreiecke sind die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ dieser -Dreiecke. -\label{buch:homologie:fig:homoboundaries}} -\end{figure} - -Aus den Abbildungen~\ref{buch:homologie:fig:homocycles} und -\ref{buch:homologie:fig:homoboundaries} kann man auch ablesen, -wie die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ aus den Zyklen von $\mathcal{Z}_1$ -linear kombiniert werden können. -Man erhält so die Beziehungen. -\begin{equation} -\setcounter{MaxMatrixCols}{29} -\setlength\arraycolsep{1pt} -\begin{array}{lcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcrcr} -\partial_2e_1^{(2)} &=&z_1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\partial_2e_2^{(2)} &=& & &z_2& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\partial_2e_3^{(2)} &=& & & & &z_3& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\partial_2e_4^{(2)} &=& & & & & & &z_4& & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\partial_2e_5^{(2)} &=& & & & & & & &-&z_5& & &+&z_7& & & & & & & & & & & & \\ -\partial_2e_6^{(2)} &=& & & & & & & & & &-&z_6& & &+&z_8& & & & & & & & & & \\ -\partial_2e_7^{(2)} &=& & & & & & & & & & & & & & & & & & &z_{10}& & & & & & \\ -\partial_2e_8^{(2)} &=& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &z_{11}& & & & \\ -\partial_2e_9^{(2)} &=& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &-&z_{12}&+&z_{13} -\end{array} -\end{equation} -Dies reicht jedoch nicht, um herauszufinden, welche der blauen Dreiecke -linear unabhängig sind. -Im vorliegenden Fall ist dies einfach: jedes blaue Dreieck besteht aus -Kanten, die in keinem anderen blauen Dreieck vorkommen, daher müssen -sie alle linear unabhängig sein. - -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/95-homologie/images/gausshomobasis.pdf} -\caption{Bestimmung einer Basis für die Homologiegruppe $H_k(C)$ mit -Hilfe der Vorwärtsreduktion des Gaussalgorithmus. -Die schwarzen Nullzeilen zeigen an, welche Zeilenvektoren zusammen mit -den darüberliegenden Vektoren nicht linear unabhängig sind und damit nicht -in Frage kommen für die besuchte Basis. -Übrig bleiben die {\color{red}rot} und {\color{darkgreen}grün} hervorgehobenen -Vektoren. -\label{buch:homologie:fig:gausshomobasis}} -\end{figure} - -Diese Auswahl lässt sich sehr leicht mit Hilfe der folgenden -Variante des Gauss-Algorithmus realisieren. -Dazu werden die $n_{k+1}$ Zeilen Gauss-Tableau zunächst mit den Vektoren -$\partial_{k+1}{e_i^{(k+1)}}^t$ gefüllt. -Führt man in diesem Tableau die Vorwärtsreduktion durch, wobei man -entstehende Nullzeilen einfach überspringt, bleiben nur noch Zeilen -übrig, die linear unabhängig sind. -Diese Zeilen entsprechen den linear unabhängigen Vektoren von $\mathcal{B}_k$, -die Zeilennummern sind $i_1,i_2,\dots,i_m$. -Dieses vorgehen ist schematisch im oberen Teil der -Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:gausshomobasis} dargestellt. - -Um eine Basis von $H_k(C)$ zu konstruieren, müssen wir jetzt eine -Basis von Zyklen finden, die sich nicht nur um einen Rand unterscheiden, -die also zu verschiedenen Homologie-Klassen in $H_k(C)$ gehören. -Gesucht sind jetzt also Vektoren $\mathcal{Z}'_k$ derart, dass -die Vektoren von $\mathcal{Z}'_k\cup\mathcal{B}_k$ immer noch $Z_k(C)$ -aufspannen, aber zusätzlich linear unabhängig sind. - -Dazu kann man wie folgt vorgehen. -\begin{enumerate} -\item -Man beginnt mit $\mathcal{D}_0=\emptyset$ und setzt $j=0$. -\item -Dann testet man der Reihe nach alle noch nicht getesteten Vektoren -von $z_i^{(k)}\in\mathcal{Z}_k$ daraufhin, ob sie von den Vektoren -$\mathcal{B}_k\cup \mathcal{D}_j$ linear unabhängig sind. -Wenn ja, bildet man $\mathcal{D}_{j+1} = \mathcal{D}\cup\{z^{(k)}_i\}$ und -setzt $j=1$. -Andernfalls ignoriert man $z^{(k)}_i$. -\item -Schritt 2 wird wiederholt, bis man alle Vektoren von $\mathcal{Z}_k$ -getestet hat. -Die gesuchte Basis setzt sich zusammen aus $\mathcal{B}_k$ und -$\mathcal{D}_l$, -also -$ -\mathcal{Z}_k' -= -\mathcal{B}_k -\cup -\mathcal{D}_l. -$ -\end{enumerate} - -Dieser Algorithmus kann ebenfalls mit der oben angesprochenen Variante -des Gauss-Algorithmus durchgeführt werden. -Dazu werden die Zeilen $n_k+1$ bis $n_k+1+|\mathcal{Z}_k|$ mit den -Vektoren $z_i^t$. -Dann führt man die Vorwärtsreduktion im ganzen Tableau durch, wobei -man wieder die Nullzeilen stehen lässt. -Nullzeilen zeigen wieder Vektoren an, die sich linear durch die darüber -liegenden Vektoren ausdrücken lassen. -Die auszuwählenden Vektoren sind daher genau diejenigen, die für -$\mathcal{Z}_k'$ ausgewählt werden müssen. - -Um den Algorithmus durchzuführen, bilden wir daher das Gauss-Tableau -in Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableau}, -bestehend aus den Vektoren $\partial_2e_i^{(2)}$ in den ersten 9 -Zeilen und den Zyklen $z_1,\dots,z_{13}$ in den folgenden 13 Zeilen. -Das reduzierte Tableau nach der Vorwärtsreduktion ist in -Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert} -dargestellt, amn erkennt, dass die Zyklen $z_1$ bis $z_4$, $z_7$ und $z_8$, -$z_9$ und $z_{10}$ sowie $z_{13}$ weggelassen werden müssen. -Es bleiben die folgenden Zyklen: -\begin{center} -\begin{tabular}{>{$}l<{$}l} -\text{Zyklus}&Eigenschaft\\ -\hline -z_5 &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck links unten\\ -z_6 &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck rechts unten\\ -z_9 &Zyklus umschliesst das grosse weisse Dreieck\\ -z_{12}&Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreicke oben\\ -\hline -\end{tabular} -\end{center} -Die Zyklen, die nach der Reduktion übrig bleiben, sind in -Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:homoclasses} zusammengestellt. -Jede solche Klasse entspricht genau einem der ``Löcher'', der weissen -Dreiecke. -Die Homologie kann man also als eine exakte Version der Idee eines -Vektorraums erzeugt von den ``Löchern'' eines Polygons verstehen. - -\begin{figure} -\centering -\setlength\tabcolsep{1pt} -\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|} -\hline -&\scriptstyle 1&\scriptstyle 2&\scriptstyle 3&\scriptstyle 4 &\scriptstyle 5 -&\scriptstyle 6 &\scriptstyle 7 &\scriptstyle 8 &\scriptstyle 9 &\scriptstyle 10 -&\scriptstyle 11 &\scriptstyle 12 &\scriptstyle 13 &\scriptstyle 14 &\scriptstyle 15 -&\scriptstyle 16 &\scriptstyle 17 &\scriptstyle 18 &\scriptstyle 19 &\scriptstyle 20 -&\scriptstyle 21 &\scriptstyle 22 &\scriptstyle 23 &\scriptstyle 24 &\scriptstyle 25 -&\scriptstyle 26 &\scriptstyle 27 -\\ -% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 -\hline -\scriptstyle\partial_2e_1^{(2)}& 1& & & & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle\partial_2e_2^{(2)}& & 1& & & & & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle\partial_2e_3^{(2)}& & & 1& & & & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle\partial_2e_4^{(2)}& & & &\phantom{-}1& & & & & & & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle\partial_2e_5^{(2)}& & & & & & & & & & & & & 1& & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle\partial_2e_6^{(2)}& & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1& & & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & \\ -\scriptstyle\partial_2e_7^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & 1& &\phantom{-}1& 1& & & & & \\ -\scriptstyle\partial_2e_8^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1& & & 1&\phantom{-}1& & & \\ -\scriptstyle\partial_2e_9^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1&\phantom{-}1\\ -\hline -% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 -\scriptstyle z_{ 1}& 1& & & & 1& 1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 2}& & 1& & & & & 1& 1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 3}& & & 1& & & & & & 1& 1& & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 4}& & & & 1& & & & & & & 1& 1& & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 5}&-1& & & &-1& & 1& & & & & & 1& & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 6}& & &-1& & & & & &-1& & 1& & & 1& & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 7}& 1& & & & 1& &-1& & & & & & & & 1& 1& & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 8}& & & 1& & & & & & 1& &-1& & & & & & 1& 1& & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 9}&-1&-1& & & 1& & & & 1& & & & & &-1& & 1& 1& 1& & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{10}& & & & & & & & & & & & & & & & & & 1& & 1& 1& & & & & & \\ -\scriptstyle z_{11}& 1& 1& & & 1& & & &-1& & & & & & 1& &-1& &-1& & & & 1& 1& & & \\ -\scriptstyle z_{12}& & & & & & & & & & & & & & & & & & &-1& &-1& & 1& & 1& & \\ -\scriptstyle z_{13}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & 1& & 1& &-1& & & 1& 1\\ -\hline -\end{tabular} -\caption{Gauss-Tableau für die Bestimmung einer Basis von -$H_1$ für das Beispiel. -Die ersten neuen Zeilen bestehen aus den Bildern der -Basisvektoren von $C_2$. -Im vorliegenden Fall kann man sofort sehen, dass alle diese -Zeilen linear unabhängig sind. -Die folgenden Zeilen sind die Zyklen in $\mathbb{Z}_2$, sie -sind ebenfalls linear unabhängig. -Mit Hilfe der Vorwärtsreduktion müssen jetzt diejenigen -Zeilen elminiert werden, die bereits aus anderen Zyklen -mit Hilfe von Rändern der Zeilen 1--9 kombiniert werden können. -\label{buch:homologie:beispiel:gausstableau}} -\end{figure} - -\begin{figure} -\centering -\setlength\tabcolsep{1pt} -\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|} -\hline -&\scriptstyle 1&\scriptstyle 2&\scriptstyle 3&\scriptstyle 4 &\scriptstyle 5 -&\scriptstyle 6 &\scriptstyle 7 &\scriptstyle 8 &\scriptstyle 9 &\scriptstyle 10 -&\scriptstyle 11 &\scriptstyle 12 &\scriptstyle 13 &\scriptstyle 14 &\scriptstyle 15 -&\scriptstyle 16 &\scriptstyle 17 &\scriptstyle 18 &\scriptstyle 19 &\scriptstyle 20 -&\scriptstyle 21 &\scriptstyle 22 &\scriptstyle 23 &\scriptstyle 24 &\scriptstyle 25 -&\scriptstyle 26 &\scriptstyle 27 -\\ -% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 -\hline -\scriptstyle\partial_2e_1^{(2)}&\phantom{-}1& & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle\partial_2e_2^{(2)}& &\phantom{-}1& & & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle\partial_2e_3^{(2)}& & &\phantom{-}1& & & & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle\partial_2e_4^{(2)}& & & &\phantom{-}1& & & & & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle\partial_2e_5^{(2)}& & & & & & & & & & & & & 1& & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle\partial_2e_6^{(2)}& & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1& & & 1&\phantom{-}1& & & & & & & & & \\ -\scriptstyle\partial_2e_7^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & 1& &\phantom{-}1& 1& & & & & \\ -\scriptstyle\partial_2e_8^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1& & & 1&\phantom{-}1& & & \\ -\scriptstyle\partial_2e_9^{(2)}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &\phantom{-}1&\phantom{-}1&\phantom{-}1\\ -\hline -% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 -\scriptstyle z_{ 1}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 2}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 3}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 4}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 5}& & & & & & 1& 1& & & & & & & &-1&-1& & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 6}& & & & & & & & & & 1& 1& & & & & &-1&-1& & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 7}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 8}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{ 9}& & & & & & & & 1& 1& & & & & & & 1& 1& & & &-1&-1&-1&-1& & & \\ -\scriptstyle z_{10}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{11}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\scriptstyle z_{12}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 1& 1& & &-1&-1\\ -\scriptstyle z_{13}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ -\hline -\end{tabular} -\caption{Nach Durchführung der Vorwärtsreduktion kann man die Zyklen -ablesen, die nicht für eine Basis von $H_1$ gebraucht werden. -\label{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}} -\end{figure} - -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf} -\caption{Repräsentanten für die Reduzierten Klassen aus dem -Tableau von -Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}, -sie bilden eine Basis der Homologie-Gruppe $H_1$. -Jeder dieser Repräsentanten umschliesst genau ein ``Loch'', -also genau ein weisses Dreieck. -\label{buch:homologie:beispiel:homoclasses}} -\end{figure} - -\subsubsection{Basis von $H_k(C)$} -Die im vorangegangenen Abschnitt konstruierte Basis kann jetzt auch -dazu verwendet werden, eine Basis von $H_k(C)$ zu finden. -Die Vektoren in $\mathcal{B}_k$ bilden eine Basis von $B_k(C)$ -und die Vektoren in $\mathcal{Z}_k'$ sind davon unabhängig. -Die Klassen der Vektoren von $\mathcal{Z}_k'$ in $H_k(C)$ sind -daher ebenfalls linear unabhängig und bilden damit eine Basis -von $H_k(C)$. -Die von obigem Algorithmus ausgewählten Zyklen bilden also automatisch -eine Basis von Zyklen, die nicht Rand irgend einer Kette in $C_{k+1}$ -sein können. - -\subsection{Induzierte Abbildung -\label{buch:subsection:induzierte-abbildung}} -Früher haben wurde eine Abbildung $f_*$ zwischen Kettenkomplexen $C_*$ und -$D_*$ so definiert, -dass sie mit den Randoperatoren verträglich sein muss. -Diese Forderung bewirkt, dass sich auch eine lineare Abbildung -\[ -H_k(f) \colon H_k(C) \to H_k(D) -\] -zwischen den Homologiegruppen ergibt, wie wir nun zeigen wollen. - -\subsubsection{Definition der induzierten Abbildung} -Um eine Abbildung von $H_k(C)$ nach $H_k(D)$ zu definieren, müssen wir -zu einem Element von $H_k(C)$ ein Bildelement konstruieren. -Ein Element in $H_k(C)$ ist eine Menge von Zyklen in $Z^C_k$, die sich -nur um einen Rand in $B_k$ unterscheiden. -Wir wählen also einen Zyklus $z\in Z_k$ und bilden ihn auf $f_k(z)$ ab. -Wegen $\partial^D_kf(z)=f\partial^C_kz = f(0) =0 $ ist auch $f_k(z)$ -ein Zyklus. -Wir müssen jetzt aber noch zeigen, dass eine andere Wahl des Zyklus -das gleiche Element in $H_k(D)$ ergibt. -Dazu genügt es zu sehen, dass sich $f(z)$ höchstens um einen Rand -ändert, wenn man $z$ um einen Rand ändert. -Sei also $b\in B^C_k$ ein Rand, es gibt also ein $w\in C_{k+1}$ mit -$\partial^C_{k+1}w=b$. -Dann gilt aber auch -\[ -f_k(z+b) -= -f_k(z) + f_k(b) -= -f_k(z) + f_k(\partial^C_{k+1}w) -= -f_k(z) + \partial^D_{k+1}(f_k(w)). -\] -Der letzte Term ist ein Rand in $D_k$, somit ändert sich $f_k(z)$ nur -um diesen Rand, wenn man $z$ um einen Rand ändert. -$f_k(z)$ und $f_k(z+b)$ führen auf die selbe Homologieklasse. - -\subsubsection{Matrixdarstellung} - -\subsubsection{Spur} -Für eine Selbstabbildung von Komplexen $f_*\colon C_*\to C_*$ muss -\[ -\partial_{k}\circ f_{k} -= -f_{k+1}\circ \partial_{k} -\] -man die einzelnen - - - +\input{chapters/95-homologie/homologieketten.tex} +\input{chapters/95-homologie/basiswahl.tex} +\input{chapters/95-homologie/eulerchar.tex} +\input{chapters/95-homologie/induzierteabb.tex} -- cgit v1.2.1