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Date: Thu, 29 Jul 2021 10:19:33 +0200
Subject: add polyhedra/triangulations

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 buch/chapters/95-homologie/simplex.tex | 129 +++++++++++++++++++++++++++++++--
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index 397ba07..0cf4aa7 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex
@@ -1,17 +1,17 @@
 %
-% simplex.tex -- simplizes und simpliziale Komplexe
+% simplex.tex -- simplizes und Polyeder
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Simplexe und simpliziale Komplexe
+\section{Simplices
 \label{buch:section:simplexe}}
-\rhead{Simplexe und simpliziale Komplexe}
+\rhead{Simplices}
 Die Idee, das Dreieck und seinen Rand zu unterscheiden verlangt,
 dass wir zunächst Dreiecke und deren höherdimensionale Verallgemeinerungen,
 die sogenannten Simplizes entwickeln müssen.
 
-\subsection{Simplexe und Rand
-\label{buch:subsection:simplexe}}
+\subsection{Simplices und Rand
+\label{buch:subsection:simplices}}
 
 \subsubsection{Rand eines Dreiecks}
 Die Inzidenz-Matrix eines Graphen hat einer Kante die beiden Endpunkte
@@ -231,8 +231,127 @@ Vorzeichen zu, die Matrix ist
 \]
 \end{definition}
 
+\subsection{Polyeder}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/95-homologie/images/polyeder.pdf}
+\caption{Aufbau eines zweidimensionalen Polyeders aus
+verschiedenen Simplizes.
+Die Schnittmenge zweier Simplizes muss ein Untersimplex beider Simplizes
+sein.
+Die roten Kreise im linken Bild weisen auf verschiedene Situationen
+hin, wo das diese Bedingung nicht erfüllt ist.
+In rechten Bild sind zusätzliche Simlizes hinzugefügt worden, um
+die Bedingungen eines Polyeders zu erfüllen.
+\label{buch:homologie:figure:polyeder}}
+\end{figure}
+Aus einzelnen Simplizes können jetzt kompliziertere geometrische
+Objekte gebaut werden.
+Ein Graph ist ein Beispiel für ein geometrisches Objekt, welches
+als Vereinigung von 1-Simplizes entsteht.
+Die Vereinigung ist aber nicht beliebig, vielmehr ist die Schnittmenge
+zweier beliebiger 1-Simplizes immer entweder leer, eine Menge 
+mit nur einem Vertex oder ein ganzes 1-Simplex.
+
+Dies reicht aber nicht, wie Abbildung~\ref{buch:homologie:polyeder}
+zeigt.
+In einem Graphen dürfen sich Kanten nicht in einem inneren Punkt treffen,
+sondern nur in Endpunkten.
+Verallgemeinert auf höherdimensionale Simplizes kann man dies als die
+Bedingung formulieren, dass die Schnittmenge zweier beliebiger
+Simplizes immer Untersimplizes beider Simplizes sein müssen.
+Wir fassen dies zusammen in der folgenden Definition.
+
+\begin{definition}
+\index{Polyeder}%
+\index{Dimension eines Polyeders}%
+\index{Polyeder, Dimension eines}%
+Ein {\em Polyeder} ist eine Vereingung von endlich vielen Simplizes derart,
+dass die Schnittmenge zweier beliebiger Simplizes immer ein Untersimplex
+beider Simplizes ist.
+Die {\em Dimension} des Polyeders ist die grösste Dimension der darin
+enthaltenen Simplizes.
+\end{definition}
+
+Ein Graph ist nach dieser Definition ein eindimensionales Polyeder.
+Die Mengen in der Abbildung~\ref{buch:homologie:figure:polyeder}
+ist kein Polyeder, kann aber leicht zu einem Polyeder gemacht werden,
+indem man einzelne Kanten mit zusätzlichen Punkten unterteilt.
+Auch müssen die zweidimensionalen Simplizes aufgeteilt werden.
+
+Die Abbildung~\ref{buch:homologie:figure:polyeder} zeigt auch, dass
+die Darstellung einer Punktmenge als Polyeder nicht eindeutig ist.
+Man kann die Kanten und Flächen jederzeit weiter unterteilen, ohne
+dass sich die Gestalt der gesamten Menge dadurch ändert.
 
 \subsection{Triangulation
 \label{buch:subsection:triangulation}}
+Unser Ziel ist, geometrische Objekte besser verstehen zu können.
+Dabei sind uns Deformationen ja sogar Knicke egal, es interessiert uns
+nur die ``Gestalt'' des Objekts.
+Entfernungen zwischen Punkten sind ebenfalls von untergeordneter 
+Bedeutung, da sie bei Deformation nicht erhalten bleiben.
+Der Begriff des ``topologischen Raumes'' fasst diese Ideen mathematisch
+präzise ein, eine genaue Definition würde aber an dieser Stelle zu weit
+führen.
+Stattdessen beschränken wir uns auf eine Klasse von Punktmengen, die man
+mit Simplizes beschreiben kann.
+
+Ein topologischer Raum zeichnet sich durch einen Nachbarschaftsbegriff
+von Punkte aus, der erlaubt zu definieren, was eine stetige Abbildung ist.
+Ein stetige Abbildungen bildet nahe beeinander liegende Punkte wieder
+auf nahe beeinander liegende Punkte ab.
+Dass nahe liegende Punkte nicht plötzlich auf weit auseinander liegende
+Punkte abgebildet werden gibt die Intuition wieder, dass Deformationen
+möglich sein sollen, dass der Raum dabei aber nicht ``reissen'' darf.
+Zwei topologische Räume $X$ und $Y$ können daher als ``gleichgestaltig''
+betrachtet werden, wenn es zwei stetige Abbildungen $f\colon X\to Y$
+und $g\colon Y\to X$ gibt, die zu einander invers sein.
+Oder wenn sich $X$ stetig auf $Y$ abbilden lässt, so dass auch die
+Umkehrabbildung stetig ist.
+Eine solche Abbildung heisst ein {\em Homöomorphismus}, die beiden Räume
+$X$ und $Y$ heissen {\em homomorph}.
+
+Eine Kugel ist natürlich kein Polyeder, aber sie kann leicht homöomorph
+auf ein dreidimensionales Simplex abgebildet werden.
+
+\begin{beispiel}
+Sei $T$ ein reguläres Tetraeder mit den Ecken auf der dreidimensionalen
+Einheitskugel $B^3$.
+Für jeden Richtungsvektor $x\ne 0$ sei $l(x)$ Entfernung vom Mittelpunkt des
+Tetraeders bis zum Durchstosspunkt einer Geraden durch den Mittelpunkt
+mit Richtungsvektor $x$ durch die Oberfläche des Tetraeders.
+Dann sind die Abbildungen
+\[
+f\colon
+T\to B^3
+:
+x \mapsto\begin{cases}
+\displaystyle
+\frac{x}{l(x)}&\quad\text{für $x\ne 0$}\\
+0&\quad\text{für $x=0$}
+\end{cases}
+\qquad\text{und}\qquad
+g\colon
+B^3\to T
+:
+x \mapsto\begin{cases}
+l(x) x&\quad\text{für $x\ne 0$}\\
+0&\quad\text{für $x=0$}
+\end{cases}
+\]
+zueinander inverse stetige Abbildungen oder Homöomorphismen.
+\end{beispiel}
+
+Im Folgenden sollen daher nur solche topologischen Räume untersucht werden,
+die homöomorph sind zu einem Polyeder.
+Man nennt die homöomorphe Abbildung eines Polyeders auf so einen Raum
+auch eine Triangulation.
+Durch Unterteilung der Simplizes in kleiner Simplizes kann eine solche
+Triangulation beliebig verfeinert werden.
+
+
+
+
 
 
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cgit v1.2.1

