From 6229fba2ac67cb9fb0836ead4a23eae35649fc4f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 26 Sep 2021 20:59:00 +0200 Subject: 2. Lesung abgeschlossen --- buch/chapters/95-homologie/simplex.tex | 51 +++++++++++++++++++++------------- 1 file changed, 31 insertions(+), 20 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/95-homologie/simplex.tex') diff --git a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex index 65ab441..a38a507 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex @@ -12,12 +12,12 @@ die sogenannten Simplizes entwickeln müssen. \subsection{Simplizes und Rand \label{buch:subsection:simplices}} -Die Inzidenz-Matrix eines Graphen hat einer Kante die beiden Endpunkte +Die Inzidenzmatrix eines Graphen hat einer Kante die beiden Endpunkte mit verschiedenen Vorzeichen zugeordnet. \subsubsection{Rand eines Dreiecks} Dieses Idee soll jetzt verallgemeinert werden. -Der Rand des Dreiecks $\triangle$ in +Der Rand des Dreiecks $\triangle P_0P_1P_2$ in Abbildung~\ref{buch:homologie:figure:zusammenziehbar} besteht aus den Kanten $P_0P_1$, $P_1P_2$ und $P_0P_2$. Für eine algebraische Definition müssen die Kanten offenbar eine @@ -27,8 +27,7 @@ Dem Dreieck $\triangle$ werden dann die drei Kanten $k_{01}$, $k_{02}$ und $k_{12}$ zuogeordnet, aber mit zusätzlichen Vorzeichen, die die Orientierung festhalten. Durchläuft man den Rand von $\triangle$ in der Reihenfolge $P_0P_1P_2$, -dann müssen die Kanten $k_{12}$ und $k_{02}$ ein negatives Vorzeichen -erhalten. +dann muss die Kante $k_{02}$ ein negatives Vorzeichen erhalten. Wir können diese Zuordnung wieder mit einer Matrix ausdrücken. \[ @@ -69,9 +68,10 @@ wobei die beiden positiven reellen Zahlen $t_0,t_1\in\mathbb{R}$ die Bedingung $t_0 + t_1 = 1$ erfüllen. Für ein eindimensionales Objekt brauchen wir also zwei Punkte und zwei positive Parameter, die sich zu $1$ summieren. -Die Mengen $\triangle_1=\{ (t_0,t_1)\,|t_i\ge 0, t_0+t_1=1\}$ kann also -ganz allgemein als Parameterraum zur Beschreibung eindimensionalen Objektes -mit den Endpunkten dienen. +Die Mengen $\triangle_1=\{ (t_0,t_1)\mid t_i\ge 0, t_0+t_1=1\}$ kann also +ganz allgemein als Parameterraum zur Beschreibung eines eindimensionalen Objektes +$\triangle_1$ +mit den Endpunkten $0$ und $1$ dienen. Eine Strecke ist also eine Abbildung der Form \begin{equation} s_1 @@ -105,7 +105,7 @@ heisst das $n$-dimensionale Standardsimplex. \index{Standardsimplex}% \end{definition} -Die Standardbasisvektoren von $\mathbb{R}^{n+1}$ werden $e_0,\dots,e_n$ +Die Standardbasisvektoren von $\mathbb{R}^{n+1}$ werden mit $e_0,\dots,e_n$ bezeichnet und sind die Ecken des $n$-dimensionalen Standardsimplex. \subsubsection{Simplizes in $\mathbb{R}^N$} @@ -155,21 +155,23 @@ Wir schreiben auch $[P_0,P_1,\dots,P_n]$ für dieses Simplex. \subsubsection{Rechnen mit Simplizes} Wir möchten später ein geometrisches Objekt aus Simplizes zusammensetzen. -Dazu müssen wir mehrere Simplizes so ein einen Raum abbilden können, dass +Dies soll rein algebraisch geschehen, die einzelnen Simplizes sollen +formal als Basisvektoren eines abstrakten Vektorraums verwendet werden. +Damit das geht, müssen die Simplizes so platziert sein, dass sie an den Rändern zusammenpassen. -Dazu müssen wir mit ``Kombinationen'' von Simplizes rechnen können. -Wir betrachten daher -jedes Simplex als einen Basisvektor eines abstrakten Vektorraumes. Simplizes verschiedener Dimension in $\mathbb{R}^N$ können natürlich immer unterschieden werden, wir können also den Vektorraum in einzelne -Vektorräume aufteilnen, einen für jede Dimension. -In Dimension $l$ bezeichnen wir mit $C_l$ den Vektorraum, dessen -Basisvektoren $l+1$-Tupel +Vektorräume aufteilen, einen für jede Dimension. +Der Vektorraum in Dimension $l$ wird von den $l$-dimensionalen Simplizes +als Basis erzeugt und wir bezeichnen ihn mit $C_l$. +Da die Eckpunkte ein Simplex in $\mathbb{R}^N$ festlegen, ist ein +$l$-dimensionales Simplex, als ein Basisvektor von $C_l$ durch +das $l+1$-Tupel \( [P_0,\dots,P_l] \) -von Punkten von $\mathbb{R}^N$ sind. +von Punkten von $\mathbb{R}^N$ gegeben. Der Vektorraum $C_l$ besteht dann aus Linearkombinationen \[ C_l @@ -274,8 +276,9 @@ Der Rand des Simplex $[P_0,\dots,P_l]$ ist \] Darauf muss jetzt der Randoperator $\partial_{l-1}$ angewendet werden. -Dabei wird jeweils der Index $i$ übersprungen, bei der Bildung der -Summe müssen die Teile daher separat betrachtet werden: +Dabei wird auf der rechten Seit jeweils der Index $i$ des weggelassenen +Punktes übersprungen, bei der Bildung der +Summe müssen die Teile vor und nach $i$ daher separat betrachtet werden: \begin{align} \partial_{l-1}\partial_l[P_0,\dots,P_l] &= @@ -304,6 +307,9 @@ Summe müssen die Teile daher separat betrachtet werden: [P_0,\dots,\widehat{P_i},\dots,\widehat{P_j}\dots,P_l] \notag \end{align} +Auf der letzten Zeile sind die Summen über alle Paare +$(i,j)\in\{0,\dots,n\}^2$ zu erstrecken, die die zusätzliche +Bedingung $ji$ erfüllen. Der Exponent $j-1$ im zweiten Term von \eqref{buch:homologie:eqn:randrand} trägt der Tatsache Rechnung, @@ -383,7 +389,7 @@ dass sich die Gestalt der gesamten Menge dadurch ändert. \label{buch:subsection:triangulation}} Unser Ziel ist, geometrische Objekte besser verstehen zu können. Dabei sind uns Deformationen und sogar Knicke egal, es interessiert uns -nur die ``Gestalt'' des Objekts. +nur die ``Gestalt'' oder ``Topologie'' des Objekts. Entfernungen zwischen Punkten sind ebenfalls von untergeordneter Bedeutung, da sie bei Deformation nicht erhalten bleiben. Der Begriff des ``topologischen Raumes'' fasst diese Ideen mathematisch @@ -405,12 +411,13 @@ und $g\colon Y\to X$ gibt, die zu einander invers sein. Oder wenn sich $X$ stetig auf $Y$ abbilden lässt, so dass auch die Umkehrabbildung stetig ist. Eine solche Abbildung heisst ein {\em Homöomorphismus}, die beiden Räume -$X$ und $Y$ heissen {\em homomorph}. +$X$ und $Y$ heissen {\em homöomorph}. Eine Kugel ist natürlich kein Polyeder, aber sie kann leicht homöomorph auf ein dreidimensionales Simplex abgebildet werden. \begin{beispiel} +\label{buch:homologie:projektion} Sei $T$ ein reguläres Tetraeder mit den Ecken auf der dreidimensionalen Einheitskugel $B^3$. Für jeden Richtungsvektor $x\ne 0$ sei $l(x)$ Entfernung vom Mittelpunkt des @@ -436,12 +443,16 @@ l(x) x&\quad\text{für $x\ne 0$}\\ \end{cases} \] zueinander inverse stetige Abbildungen oder Homöomorphismen. +Dies funktioniert natürlich nicht nur ein Tetraeder, sondern für jedes +beliebige konvexe Polyeder. \end{beispiel} Im Folgenden sollen daher nur solche topologischen Räume untersucht werden, die homöomorph sind zu einem Polyeder. Man nennt die homöomorphe Abbildung eines Polyeders auf so einen Raum auch eine Triangulation. +Triangulationen reduzieren die algebraischen Untersuchungen auf jene +von Polyedern. Durch Unterteilung der Simplizes in kleiner Simplizes kann eine solche Triangulation beliebig verfeinert werden. -- cgit v1.2.1