From c0a439896f33800a514e9d1763d5f7dee6669566 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sat, 9 Jan 2021 22:34:29 +0100 Subject: add new chapter on homology --- buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc | 20 +++ buch/chapters/95-homologie/chapter.tex | 84 ++++++++++ buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex | 25 +++ buch/chapters/95-homologie/homologie.tex | 18 ++ buch/chapters/95-homologie/komplex.tex | 14 ++ buch/chapters/95-homologie/mayervietoris.tex | 28 ++++ buch/chapters/95-homologie/simplex.tex | 236 +++++++++++++++++++++++++++ 7 files changed, 425 insertions(+) create mode 100644 buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc create mode 100644 buch/chapters/95-homologie/chapter.tex create mode 100644 buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex create mode 100644 buch/chapters/95-homologie/homologie.tex create mode 100644 buch/chapters/95-homologie/komplex.tex create mode 100644 buch/chapters/95-homologie/mayervietoris.tex create mode 100644 buch/chapters/95-homologie/simplex.tex (limited to 'buch/chapters/95-homologie') diff --git a/buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc b/buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc new file mode 100644 index 0000000..7e6f1e7 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc @@ -0,0 +1,20 @@ +# +# Makefile.inc -- Makefile dependencies for chapter 10 +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# + +CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ + chapters/95-homologie/simplex.tex \ + chapters/95-homologie/komplex.tex \ + chapters/95-homologie/homologie.tex \ + chapters/95-homologie/mayervietoris.tex \ + chapters/95-homologie/fixpunkte.tex \ + chapters/95-homologie/chapter.tex + + + + + + + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex new file mode 100644 index 0000000..2d40e07 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex @@ -0,0 +1,84 @@ +% +% chapter.tex -- Homologie +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\chapter{Homologie +\label{buch:chapter:homologie}} +\lhead{Homologie} +\rhead{} +Mit der Inzidenzmatrix war es möglich, einen Graphen zu beschreiben +und verschiedene interessante Eigenschaften desselben zu berechnen. +Damit können aber nur eindimensionale Strukturen analysiert werden, +es ist zum Beispiel nicht möglich, ein Dreieck vom Rand eines +Dreiecks zu unterscheiden~\ref{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}. +\begin{figure} +\centering +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\def\punkt#1{ + \fill[color=white] #1 circle[radius=0.07]; + \draw #1 circle[radius=0.07]; +} +\begin{scope}[xshift=3cm] +\draw[->] (0,0) -- (3,3); +\draw[->] (0,0) -- (4,1); +\draw[->] (4,1) -- (3,3); +\node at (0,0) [below left] {$P_0$}; +\node at (4,1) [below right] {$P_1$}; +\node at (3,3) [above] {$P_2$}; +\punkt{(0,0)} +\punkt{(4,1)} +\punkt{(3,3)} +\node at (2,0.5) [below] {$k_{01}$}; +\node at (1.5,1.5) [above left] {$k_{02}$}; +\node at (3.5,2) [right] {$k_{12}$}; +\end{scope} +\begin{scope}[xshift=-3cm] +\fill[color=gray!40] (0,0) -- (4,1) -- (3,3) -- cycle; +\draw[->] (0,0) -- (3,3); +\draw[->] (0,0) -- (4,1); +\draw[->] (4,1) -- (3,3); +\node at (0,0) [below left] {$P_0$}; +\node at (4,1) [below right] {$P_1$}; +\node at (3,3) [above] {$P_2$}; +\node at (2,0.5) [below] {$k_{01}$}; +\node at (1.5,1.5) [above left] {$k_{02}$}; +\node at (3.5,2) [right] {$k_{12}$}; +\node at (2.333,1.333) {$\triangle$}; +\punkt{(0,0)} +\punkt{(4,1)} +\punkt{(3,3)} +\end{scope} +\end{tikzpicture} +\caption{Ein Dreieck $\triangle$ (rechts) und der Rand des Dreicks +(links) sind mit den Methoden +der Graphentheorie nicht unterschiedbar. +Als topologische Räume sind das Dreieck und sein Rand aber ganz klar +unterschiedbar: In einem Dreieck ist jeder geschlossene Pfad in einen +Punkt zusammenziehbar, aber die Randkurve ist nicht mehrzusammenziehbar, +sobald man das innere des Dreiecks entfernt. +\label{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}} +\end{figure} +Die Randkurve ist in einem Dreieck zusammenziehbar, aber sobald man +das innere des Dreiecks entfernt, ist die Randkurve nicht mehr +zusammenziehbar. +Dreieck und der Rand des Dreiecks sind also grundsätzlich verschieden. + +Die Inzidenzmatrix ordnet jeder Kante ihre beiden Endpunkte zu. +Die Homologietheorie verallgemeinert diese Idee. +Der sogenannte Randoperator ordnet jedem Dreieck, Tetraeder oder allgemein +jedem Simplex seinen Rand zu. +Damit wird es möglich, das Dreieck vom Rand des Dreiecks zu unterschieden. + +\input{chapters/95-homologie/simplex.tex} +\input{chapters/95-homologie/komplex.tex} +\input{chapters/95-homologie/homologie.tex} +\input{chapters/95-homologie/mayervietoris.tex} +\input{chapters/95-homologie/fixpunkte.tex} + + + + + + + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex new file mode 100644 index 0000000..1ed51ef --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex @@ -0,0 +1,25 @@ +% +% fixpunkte.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Fixpunkte +\label{buch:section:fixpunkte}} +\rhead{Fixpunkte} +Zu jeder Abbildung $f\colon X\to X$ eines topologischen Raumes in sich +selbst gehört die zugehörige lineare Abbildung $f_*\colon H_*(X)\to H_*(X)$ +der Homologiegruppen. +Diese linearen Abbildungen sind im Allgemeinen viel einfacher zu +analysieren. +Zum Beispiel soll in Abschnitt~\ref{buch:subsection:lefshetz} +die Lefshetz-Spurformel abgeleitet werden, die eine Aussagen darüber +ermöglicht, ob eine Abbildung einen Fixpunkt haben kann. +In Abschnitt~\ref{buch:subsection:brower} wird gezeigt wie man damit +den Browerschen Fixpunktsatz beweisen kann, der besagt, dass jede +Abbildung eines Einheitsballs in sich selbst immer einen Fixpunkt hat. + +\subsection{Lefshetz-Spurformel +\label{buch:subsection:lefshetz}} + +\subsection{Brower-Fixpunktsatz +\label{buch:subsection:brower}} diff --git a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex new file mode 100644 index 0000000..2b80a17 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex @@ -0,0 +1,18 @@ +% +% homologie.tex -- Homologie eines Komplexes +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Homologie +\label{buch:section:homologie}} +\rhead{Homologie} + +\subsection{Homologie eines Kettenkomplexes +\label{buch:subsection:homologie-eines-kettenkomplexes}} + +\subsection{Induzierte Abbildung +\label{buch:subsection:induzierte-abbildung}} + +\subsection{Homologie eines simplizialen Komplexes +\label{buch:subsection:simplizialekomplexe}} + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex b/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex new file mode 100644 index 0000000..6dd8efb --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex @@ -0,0 +1,14 @@ +% +% komplex.tex -- simpliziale Komplexe und Kettenkomplexe +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Kettenkomplexe +\label{buch:section:komplex}} +\rhead{Kettenkomplexe} + +\subsection{Randoperator von Simplexen +\label{buch:subsection:randoperator-von-simplexen}} + +\subsection{Kettenkomplexe und Morphismen +\label{buch:subsection:kettenkomplex}} diff --git a/buch/chapters/95-homologie/mayervietoris.tex b/buch/chapters/95-homologie/mayervietoris.tex new file mode 100644 index 0000000..57105f8 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/mayervietoris.tex @@ -0,0 +1,28 @@ +% +% mayervietoris.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Exaktheit und die Mayer-Vietoris-Folge +\label{buch:section:mayervietoris}} +\rhead{Exaktheit und die Mayer-Vietoris-Folge} +Die Berechnung der Homologie-Gruppen ist zwar im Wesentlichen ein +kombinatorisches Problem, trotzdem ist eher aufwändig. +Oft weiss man, wie sich toplogische Räume aus einfacheren Räumen +zusammensetzen lassen. +Eine Mannigkfaltigkeit zum Beispiel wird durch die Karten +definiert, also zusammenziehbare Teilmengen von $\mathbb{R}^n$, +die die Mannigkfaltigkeit überdecken. +Das Ziel dieses Abschnittes ist, Regeln zusammenzustellen, mit denen +man die Homologie eines solchen zusammengesetzten Raumes aus der +Homologie der einzelnen Teile und aus den ``Verklebungsabbildungen'', +die die Teile verbinden, zu berechnen. + +\subsection{Kurze exakte Folgen von Kettenkomplexen +\label{buch:subsection:exaktefolgen}} + +\subsection{Schlangenlemma und lange exakte Folgen +\label{buch:subsection:schlangenlemma}} + +\subsection{Mayer-Vietoris-Folge +\label{buch:subsection:mayervietoris}} diff --git a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex new file mode 100644 index 0000000..6a4a571 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex @@ -0,0 +1,236 @@ +% +% simplex.tex -- simplizes und simpliziale Komplexe +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Simplexe und simpliziale Komplexe +\label{buch:section:simplexe}} +\rhead{Simplexe und simpliziale Komplexe} +Die Idee, das Dreieck und seinen Rand zu unterscheiden verlangt, +dass wir zunächst Dreiecke und deren höherdimensionale Verallgemeinerungen, +die sogenannten Simplizes entwickeln müssen. + +\subsection{Simplexe und Rand +\label{buch:subsection:simplexe}} + +\subsubsection{Rand eines Dreiecks} +Die Inzidenz-Matrix eines Graphen hat einer Kante die beiden Endpunkte +mit verschiedenen Vorzeichen zugeordnet. +Dieses Idee soll jetzt verallgemeinert werden. +Der Rand des Dreiecks $\triangle$ in +Abbildung~\ref{buch:homologie:figure:zusammenziehbar} +besteht aus den Kanten $P_0P_1$, $P_1P_2$ und $P_0P_2$. +Für eine algebraische Definition müssen die Kanten offenbar eine +Orientierung haben, die ist aber garantiert, da wir den Anfangs- +und Endpunkten einer Kante verschiedene Vorzeichen gegeben haben. +Dem Dreieck $\triangle$ werden dann die drei Kanten $k_{01}$, $k_{02}$ +und $k_{12}$ zuogeordnet, aber mit zusätzlichen Vorzeichen, die +die Orientierung festhalten. +Durchläuft man den Rand von $\triangle$ in der Reihenfolge $P_0P_1P_2$, +dann müssen die Kanten $k_{12}$ und $k_{02}$ ein negatives Vorzeichen +erhalten. + +Wir können diese Zuordnung wieder mit einer Matrix ausdrücken. +\[ +\begin{matrix} +\text{$k_{01}$:}\mathstrut\\ +\text{$k_{02}$:}\mathstrut\\ +\text{$k_{12}$:}\mathstrut +\end{matrix} +\qquad +\partial += +\begin{pmatrix*}[r] +1\mathstrut\\ +-1\mathstrut\\ +1\mathstrut +\end{pmatrix*} +\] + +\subsubsection{Simplizes} +Punkte, Kanten und Dreiecke sind die einfachsten Fälle sogenannter +Simplizes. +Wir formulieren die Definition dieser Objekte auf eine Weise, +die uns ermöglichen soll, sie auf beliebige Dimension zu verallgemeinern. + +Die Strecke, die die Punkte $P$ und $Q$ miteinander verbindet, +kann beschrieben werden durch eine Parametrisierung +der Form +\begin{equation} +s_1 +\colon +t +\mapsto +t\vec{p} + (1-t) \vec{q} += +t_0 \vec{p} + t_1\vec{q}, +\end{equation} +wobei die beiden positiven reellen Zahlen $t_0,t_1\in\mathbb{R}$ die +Bedingung $t_0+t_1$ erfüllen. +Für ein eindimensionales Objekt brauchen wir also zwei Punkte und zwei +positive Parameter, die sich zu $1$ summieren. +Die Mengen $\triangle_1=\{ (t_0,t_1)\,|t_i\ge 0, t_0+t_1=1\}$ kann also +ganz allgemein als Parameterraum zur Beschreibung eindimensionalen Objektes +mit den Endpunkten dienen. +Eine Strecke ist also eine Abbildung der Form +\begin{equation} +s_1 +\colon +\triangle_1 \to \mathbb{R}^N +: +(t_0,t_1) +\mapsto +t_0 \vec{p} + t_1\vec{q}, +\end{equation} +und der Rand besteht aus den Punkten $s_1(0)$ und $s_1(1)$, wobei der +Anfangspunkt $s_1(0)$ mit einem negativen Vorzeichen versehen wird. + +Für höhere Dimensionen brauchen wir auf analoge Weise erst wieder einen +geeigneten Parameterraum. +Die Menge +\[ +\triangle_n += +\{(t_0,\dots,t_n)\in\mathbb{R}^{n+1}\,|\, t_i\ge 0,t_0+t_1+\dots+t_n=1\} +\] +beschreibt zum Beispiel für $n=2$ ein Dreieck und für $n=3$ ein +Tetraeder. + +Gegeben $n+1$-Punkte $P_0,\dots,P_n$ mit Ortsvektoren +$\vec{p}_0,\dots,\vec{p}_n$ können wir eine Abbildung +\begin{equation} +s_n +\colon +\triangle_n +\to +\mathbb{R}^N +: +(t_0,\dots,t_n) +\mapsto +t_0\vec{p}_0 ++ +t_1\vec{p}_1 ++ +\dots ++ +t_n\vec{p}_n +\end{equation} +Eine solche Abbildung verallgemeinert also den Begriff einer Strecke +auf höhere Dimensionen. + +\begin{definition} +\label{buch:def:simplex} +Ein $n$-dimensionales {\em Simplex} oder {\em $n$-Simplex} ist eine +stetige Abbildung $s_n\colon\triangle_n\to X$. +\end{definition} + +Die Ecken des $n$-Simplex $\triangle_n$ sind die Standardbasisvektoren +in $\mathbb{R}^{n+1}$. +Mit $e_k$ bezeichnen wird die Ecke, deren Koordinaten $t_i=0$ sind für +$k\ne i$, ausser der Koordinaten $t_k$, die den Wert $t_k=1$ hat. + +\subsubsection{Rechnen mit Simplizes} +Damit wir leichter mit Simplizes rechnen können, betrachten wir +jedes Simplex als einen Basisvektor eines abstrakten Vektorraumes. +Zu einem $n$-Simplex gehören Vektorräume $C_l$ für jede Dimension +$l=0$ bis $l=n$. +Der Vektorraum $C_0$ besteht aus Linearkombinationen +\[ +C_0 += +\{ x_0 P_0 + \dots + x_n P_n \,| x_i\in\mathbb{R} \}, +\] +$C_0$ ist ein $n$-dimensionaler Raum. +Der Vektorraum $C_1$ besteht aus Linearkombinationen der Kanten +\[ +C_1 += +\biggl\{ +\sum_{i Date: Wed, 3 Feb 2021 14:17:05 +0100 Subject: Typos --- buch/chapters/95-homologie/chapter.tex | 4 ++-- buch/chapters/95-homologie/simplex.tex | 20 +++++++++++--------- 2 files changed, 13 insertions(+), 11 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/95-homologie') diff --git a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex index 2d40e07..95ecb79 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex @@ -9,8 +9,8 @@ \rhead{} Mit der Inzidenzmatrix war es möglich, einen Graphen zu beschreiben und verschiedene interessante Eigenschaften desselben zu berechnen. -Damit können aber nur eindimensionale Strukturen analysiert werden, -es ist zum Beispiel nicht möglich, ein Dreieck vom Rand eines +Damit können aber nur eindimensionale Strukturen analysiert werden: +Es ist zum Beispiel nicht möglich, ein Dreieck vom Rand eines Dreiecks zu unterscheiden~\ref{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}. \begin{figure} \centering diff --git a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex index 6a4a571..5ca2ca8 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/simplex.tex @@ -66,7 +66,7 @@ t\vec{p} + (1-t) \vec{q} t_0 \vec{p} + t_1\vec{q}, \end{equation} wobei die beiden positiven reellen Zahlen $t_0,t_1\in\mathbb{R}$ die -Bedingung $t_0+t_1$ erfüllen. +Bedingung $t_0 + t_1 = 1$ erfüllen. Für ein eindimensionales Objekt brauchen wir also zwei Punkte und zwei positive Parameter, die sich zu $1$ summieren. Die Mengen $\triangle_1=\{ (t_0,t_1)\,|t_i\ge 0, t_0+t_1=1\}$ kann also @@ -195,8 +195,9 @@ und hat in den oben beschriebenden Basen die Matrix \subsubsection{Rand eines Simplex} Einem Simplex muss auch der Rand zugeordnet werden können. -Setzt man in $\triangle_2$ den Parameter $t_k=0$, dann erhalt man die Kante, -die der Ecke mit der Nummer $k$ gegenüberliegt. +Setzt man in $\triangle_2$ den Parameter $t_k=0$, dann erhält +man die Kante, +die der Ecke mit Nummer $k$ gegenüberliegt. Für jedes $k$ gibt es also eine Abbildung \[ i_k @@ -207,19 +208,20 @@ i_k \mapsto (t_0,\dots,t_{k-1},0,t_{k},\dots,t_n), \] -die die Kante gegenüber der Ecke $e_k$. +in die Kante gegenüber der Ecke $e_k$. Dies ist auch die Art, wie Kanten des Dreiecks $\triangle$ in Abbildung~\ref{buch:homologie:figure:zusammenziehbar} orientiert wurden. Für den Rand des $2$-Simplexes mussten die Kanten mit alternierenden Vorzeichen zugeordnet werden. -Damit wird erreicht, dass jeder Punkt sowohl Endpunkt einer Kante ist und -ausserdem Anfangspunkt der nächsten kannte ist. +Damit wird erreicht, dass jeder Punkt sowohl Endpunkt einer +Kante und +ausserdem Anfangspunkt der nächsten Kannte ist. Diese Eigenschaft soll auch in höheren Dimensionen erhalten bleiben. -Die vier Dreiecke, die den Rand eines $3$-Simplex ausmachen, müssen -derart müssen so orientiert werden, dass jede Kante in beiden Richtungen -durchlaufen wird. +Die vier Dreiecke, die den Rand eines $3$-Simplex ausmachen, +müssen so orientiert werden, +dass jede Kante in beiden Richtungen durchlaufen wird. \begin{definition} \label{buch:def:randoperator} -- cgit v1.2.1 From ada53a9c225b896c8d7608300427aac475bb7045 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 9 Feb 2021 21:52:16 +0100 Subject: move all iamges to separate files --- buch/chapters/95-homologie/chapter.tex | 37 +----------------- buch/chapters/95-homologie/images/Makefile | 10 +++++ buch/chapters/95-homologie/images/dreieck.pdf | Bin 0 -> 12089 bytes buch/chapters/95-homologie/images/dreieck.tex | 54 ++++++++++++++++++++++++++ 4 files changed, 65 insertions(+), 36 deletions(-) create mode 100644 buch/chapters/95-homologie/images/Makefile create mode 100644 buch/chapters/95-homologie/images/dreieck.pdf create mode 100644 buch/chapters/95-homologie/images/dreieck.tex (limited to 'buch/chapters/95-homologie') diff --git a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex index 95ecb79..eaa56c4 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex @@ -14,42 +14,7 @@ Es ist zum Beispiel nicht möglich, ein Dreieck vom Rand eines Dreiecks zu unterscheiden~\ref{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}. \begin{figure} \centering -\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] -\def\punkt#1{ - \fill[color=white] #1 circle[radius=0.07]; - \draw #1 circle[radius=0.07]; -} -\begin{scope}[xshift=3cm] -\draw[->] (0,0) -- (3,3); -\draw[->] (0,0) -- (4,1); -\draw[->] (4,1) -- (3,3); -\node at (0,0) [below left] {$P_0$}; -\node at (4,1) [below right] {$P_1$}; -\node at (3,3) [above] {$P_2$}; -\punkt{(0,0)} -\punkt{(4,1)} -\punkt{(3,3)} -\node at (2,0.5) [below] {$k_{01}$}; -\node at (1.5,1.5) [above left] {$k_{02}$}; -\node at (3.5,2) [right] {$k_{12}$}; -\end{scope} -\begin{scope}[xshift=-3cm] -\fill[color=gray!40] (0,0) -- (4,1) -- (3,3) -- cycle; -\draw[->] (0,0) -- (3,3); -\draw[->] (0,0) -- (4,1); -\draw[->] (4,1) -- (3,3); -\node at (0,0) [below left] {$P_0$}; -\node at (4,1) [below right] {$P_1$}; -\node at (3,3) [above] {$P_2$}; -\node at (2,0.5) [below] {$k_{01}$}; -\node at (1.5,1.5) [above left] {$k_{02}$}; -\node at (3.5,2) [right] {$k_{12}$}; -\node at (2.333,1.333) {$\triangle$}; -\punkt{(0,0)} -\punkt{(4,1)} -\punkt{(3,3)} -\end{scope} -\end{tikzpicture} +\includegraphics{chapters/95-homologie/images/dreieck.pdf} \caption{Ein Dreieck $\triangle$ (rechts) und der Rand des Dreicks (links) sind mit den Methoden der Graphentheorie nicht unterschiedbar. diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile b/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile new file mode 100644 index 0000000..82f1285 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile @@ -0,0 +1,10 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +all: dreieck.pdf + +dreieck.pdf: dreieck.tex + pdflatex dreieck.tex + diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/dreieck.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/dreieck.pdf new file mode 100644 index 0000000..e5d360a Binary files /dev/null and b/buch/chapters/95-homologie/images/dreieck.pdf differ diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/dreieck.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/dreieck.tex new file mode 100644 index 0000000..1c28bc7 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/images/dreieck.tex @@ -0,0 +1,54 @@ +% +% dreieck.tex -- Dreieck und Simplex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\punkt#1{ + \fill[color=white] #1 circle[radius=0.07]; + \draw #1 circle[radius=0.07]; +} +\begin{scope}[xshift=3cm] +\draw[->] (0,0) -- (3,3); +\draw[->] (0,0) -- (4,1); +\draw[->] (4,1) -- (3,3); +\node at (0,0) [below left] {$P_0$}; +\node at (4,1) [below right] {$P_1$}; +\node at (3,3) [above] {$P_2$}; +\punkt{(0,0)} +\punkt{(4,1)} +\punkt{(3,3)} +\node at (2,0.5) [below] {$k_{01}$}; +\node at (1.5,1.5) [above left] {$k_{02}$}; +\node at (3.5,2) [right] {$k_{12}$}; +\end{scope} +\begin{scope}[xshift=-3cm] +\fill[color=gray!40] (0,0) -- (4,1) -- (3,3) -- cycle; +\draw[->] (0,0) -- (3,3); +\draw[->] (0,0) -- (4,1); +\draw[->] (4,1) -- (3,3); +\node at (0,0) [below left] {$P_0$}; +\node at (4,1) [below right] {$P_1$}; +\node at (3,3) [above] {$P_2$}; +\node at (2,0.5) [below] {$k_{01}$}; +\node at (1.5,1.5) [above left] {$k_{02}$}; +\node at (3.5,2) [right] {$k_{12}$}; +\node at (2.333,1.333) {$\triangle$}; +\punkt{(0,0)} +\punkt{(4,1)} +\punkt{(3,3)} +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + -- cgit v1.2.1