From eab9aa83268309cdcba5b83df1cb221418e18f93 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 27 Jul 2021 11:23:52 +0200 Subject: induzierte Abbildung --- buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc | 1 - buch/chapters/95-homologie/homologie.tex | 43 +++++++++++++++++++++++++++++++- buch/chapters/95-homologie/komplex.tex | 32 ++++++++++++------------ 3 files changed, 58 insertions(+), 18 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/95-homologie') diff --git a/buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc b/buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc index 7e6f1e7..41b1569 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc @@ -8,7 +8,6 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/95-homologie/simplex.tex \ chapters/95-homologie/komplex.tex \ chapters/95-homologie/homologie.tex \ - chapters/95-homologie/mayervietoris.tex \ chapters/95-homologie/fixpunkte.tex \ chapters/95-homologie/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex index cba09ee..905ecc3 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex @@ -62,6 +62,8 @@ Die Elemente von \[ Z_k = +Z_k^C += \{z\in C_k\;|\; \partial_k z = 0\} = \ker \partial_k @@ -84,6 +86,8 @@ Die Elemente von \[ B_k = +B_k^C += \{\partial_{k+1}z\;|\; C_{k+1}\} = \operatorname{im} \partial_{k+1} @@ -101,8 +105,10 @@ Wir definieren daher \begin{definition} Die $k$-dimensionale Homologiegruppe des Kettenkomplexes $C_*$ ist \[ -H_k = Z_k/B_k = \ker \partial_k / \operatorname{im} \partial_{k+1}. +H_k(C) = Z_k/B_k = \ker \partial_k / \operatorname{im} \partial_{k+1}. \] +Wenn nur von einem Kettenkomplex die Rede ist, kann auch $H_k(C)=H_k$ +abgekürzt werden. \end{definition} Die folgenden zwei ausführlichen Beispiele sollen zeigen, wie die @@ -309,5 +315,40 @@ Hohlraum an. \subsection{Induzierte Abbildung \label{buch:subsection:induzierte-abbildung}} +Früher haben wurde eine Abbildung $f_*$ zwischen Kettenkomplexen $C_*$ und +$D_*$ so definiert, +dass sie mit den Randoperatoren verträglich sein muss. +Diese Forderung bewirkt, dass sich auch eine lineare Abbildung +\[ +H_k(f) \colon H_k(C) \to H_k(D) +\] +zwischen den Homologiegruppen ergibt, wie wir nun zeigen wollen. + +Um eine Abbildung von $H_k(C)$ nach $H_k(D)$ zu definieren, müssen wir +zu einem Element von $H_k(C)$ ein Bildelement konstruieren. +Ein Element in $H_k(C)$ ist eine Menge von Zyklen in $Z^C_k$, die sich +nur um einen Rand in $B_k$ unterscheiden. +Wir wählen also einen Zyklus $z\in Z_k$ und bilden ihn auf $f_k(z)$ ab. +Wegen $\partial^D_kf(z)=f\partial^C_kz = f(0) =0 $ ist auch $f_k(z)$ +ein Zyklus. +Wir müssen jetzt aber noch zeigen, dass eine andere Wahl des Zyklus +das gleiche Element in $H_k(D)$ ergibt. +Dazu genügt es zu sehen, dass sich $f(z)$ höchstens um einen Rand +ändert, wenn man $z$ um einen Rand ändert. +Sei also $b\in B^C_k$ ein Rand, es gibt also ein $w\in C_{k+1}$ mit +$\partial^C_{k+1}w=b$. +Dann gilt aber auch +\[ +f_k(z+b) += +f_k(z) + f_k(b) += +f_k(z) + f_k(\partial^C_{k+1}w) += +f_k(z) + \partial^D_{k+1}(f_k(w)). +\] +Der letzte Term ist ein Rand in $D_k$, somit ändert sich $f_k(z)$ nur +um diesen Rand, wenn man $z$ um einen Rand ändert. +$f_k(z)$ und $f_k(z+b)$ führen auf die selbe Homologieklasse. diff --git a/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex b/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex index c1b5698..fa2d8e1 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex @@ -68,31 +68,31 @@ Die Beziehung~\eqref{buch:komplex:abbildung} kann übersichtlich als kommutatives Diagramm dargestellt werden. \begin{equation} \begin{tikzcd} -0 \arrow[r] - & C_0 \arrow[r, "\partial_0^C"] +0 + & C_0 \arrow[l, "\partial_0^C"] \arrow[d, "f_0"] - & C_1 \arrow[r,"\partial_1^C"] + & C_1 \arrow[l,"\partial_1^C"] \arrow[d, "f_1"] - & C_2 \arrow[r,"\partial_2^C"] + & C_2 \arrow[l,"\partial_2^C"] \arrow[d, "f_2"] - & \dots \arrow[r] - \arrow[r, "\partial_{k-1}^C"] + & \dots \arrow[l] + \arrow[l, "\partial_{k-1}^C"] & C_k - \arrow[r, "\partial_k^C"] + \arrow[l, "\partial_k^C"] \arrow[d, "f_k"] - & C_{k+1}\arrow[r, "\partial_{k+1}^C"] + & C_{k+1}\arrow[l, "\partial_{k+1}^C"] \arrow[d, "f_{k+1}"] & \dots \\ -0 \arrow[r] - & D_0 \arrow[r, "\partial_0^D"] - & D_1 \arrow[r,"\partial_1^D"] - & D_2 \arrow[r,"\partial_2^D"] - & \dots \arrow[r] - \arrow[r, "\partial_{k-1}^D"] +0 + & D_0 \arrow[l, "\partial_0^D"] + & D_1 \arrow[l,"\partial_1^D"] + & D_2 \arrow[l,"\partial_2^D"] + & \dots \arrow[l] + \arrow[l, "\partial_{k-1}^D"] & D_k - \arrow[r, "\partial_k^D"] - & D_{k+1}\arrow[r, "\partial_{k+1}^D"] + \arrow[l, "\partial_k^D"] + & D_{k+1}\arrow[l, "\partial_{k+1}^D"] & \dots \end{tikzcd} \label{buch:komplex:abbcd} -- cgit v1.2.1