From eab9aa83268309cdcba5b83df1cb221418e18f93 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Tue, 27 Jul 2021 11:23:52 +0200
Subject: induzierte Abbildung
---
buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc | 1 -
buch/chapters/95-homologie/homologie.tex | 43 +++++++++++++++++++++++++++++++-
buch/chapters/95-homologie/komplex.tex | 32 ++++++++++++------------
3 files changed, 58 insertions(+), 18 deletions(-)
(limited to 'buch/chapters/95-homologie')
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc b/buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc
index 7e6f1e7..41b1569 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/95-homologie/Makefile.inc
@@ -8,7 +8,6 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \
chapters/95-homologie/simplex.tex \
chapters/95-homologie/komplex.tex \
chapters/95-homologie/homologie.tex \
- chapters/95-homologie/mayervietoris.tex \
chapters/95-homologie/fixpunkte.tex \
chapters/95-homologie/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex
index cba09ee..905ecc3 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex
@@ -62,6 +62,8 @@ Die Elemente von
\[
Z_k
=
+Z_k^C
+=
\{z\in C_k\;|\; \partial_k z = 0\}
=
\ker \partial_k
@@ -84,6 +86,8 @@ Die Elemente von
\[
B_k
=
+B_k^C
+=
\{\partial_{k+1}z\;|\; C_{k+1}\}
=
\operatorname{im} \partial_{k+1}
@@ -101,8 +105,10 @@ Wir definieren daher
\begin{definition}
Die $k$-dimensionale Homologiegruppe des Kettenkomplexes $C_*$ ist
\[
-H_k = Z_k/B_k = \ker \partial_k / \operatorname{im} \partial_{k+1}.
+H_k(C) = Z_k/B_k = \ker \partial_k / \operatorname{im} \partial_{k+1}.
\]
+Wenn nur von einem Kettenkomplex die Rede ist, kann auch $H_k(C)=H_k$
+abgekürzt werden.
\end{definition}
Die folgenden zwei ausführlichen Beispiele sollen zeigen, wie die
@@ -309,5 +315,40 @@ Hohlraum an.
\subsection{Induzierte Abbildung
\label{buch:subsection:induzierte-abbildung}}
+Früher haben wurde eine Abbildung $f_*$ zwischen Kettenkomplexen $C_*$ und
+$D_*$ so definiert,
+dass sie mit den Randoperatoren verträglich sein muss.
+Diese Forderung bewirkt, dass sich auch eine lineare Abbildung
+\[
+H_k(f) \colon H_k(C) \to H_k(D)
+\]
+zwischen den Homologiegruppen ergibt, wie wir nun zeigen wollen.
+
+Um eine Abbildung von $H_k(C)$ nach $H_k(D)$ zu definieren, müssen wir
+zu einem Element von $H_k(C)$ ein Bildelement konstruieren.
+Ein Element in $H_k(C)$ ist eine Menge von Zyklen in $Z^C_k$, die sich
+nur um einen Rand in $B_k$ unterscheiden.
+Wir wählen also einen Zyklus $z\in Z_k$ und bilden ihn auf $f_k(z)$ ab.
+Wegen $\partial^D_kf(z)=f\partial^C_kz = f(0) =0 $ ist auch $f_k(z)$
+ein Zyklus.
+Wir müssen jetzt aber noch zeigen, dass eine andere Wahl des Zyklus
+das gleiche Element in $H_k(D)$ ergibt.
+Dazu genügt es zu sehen, dass sich $f(z)$ höchstens um einen Rand
+ändert, wenn man $z$ um einen Rand ändert.
+Sei also $b\in B^C_k$ ein Rand, es gibt also ein $w\in C_{k+1}$ mit
+$\partial^C_{k+1}w=b$.
+Dann gilt aber auch
+\[
+f_k(z+b)
+=
+f_k(z) + f_k(b)
+=
+f_k(z) + f_k(\partial^C_{k+1}w)
+=
+f_k(z) + \partial^D_{k+1}(f_k(w)).
+\]
+Der letzte Term ist ein Rand in $D_k$, somit ändert sich $f_k(z)$ nur
+um diesen Rand, wenn man $z$ um einen Rand ändert.
+$f_k(z)$ und $f_k(z+b)$ führen auf die selbe Homologieklasse.
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex b/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex
index c1b5698..fa2d8e1 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/komplex.tex
@@ -68,31 +68,31 @@ Die Beziehung~\eqref{buch:komplex:abbildung} kann übersichtlich als
kommutatives Diagramm dargestellt werden.
\begin{equation}
\begin{tikzcd}
-0 \arrow[r]
- & C_0 \arrow[r, "\partial_0^C"]
+0
+ & C_0 \arrow[l, "\partial_0^C"]
\arrow[d, "f_0"]
- & C_1 \arrow[r,"\partial_1^C"]
+ & C_1 \arrow[l,"\partial_1^C"]
\arrow[d, "f_1"]
- & C_2 \arrow[r,"\partial_2^C"]
+ & C_2 \arrow[l,"\partial_2^C"]
\arrow[d, "f_2"]
- & \dots \arrow[r]
- \arrow[r, "\partial_{k-1}^C"]
+ & \dots \arrow[l]
+ \arrow[l, "\partial_{k-1}^C"]
& C_k
- \arrow[r, "\partial_k^C"]
+ \arrow[l, "\partial_k^C"]
\arrow[d, "f_k"]
- & C_{k+1}\arrow[r, "\partial_{k+1}^C"]
+ & C_{k+1}\arrow[l, "\partial_{k+1}^C"]
\arrow[d, "f_{k+1}"]
& \dots
\\
-0 \arrow[r]
- & D_0 \arrow[r, "\partial_0^D"]
- & D_1 \arrow[r,"\partial_1^D"]
- & D_2 \arrow[r,"\partial_2^D"]
- & \dots \arrow[r]
- \arrow[r, "\partial_{k-1}^D"]
+0
+ & D_0 \arrow[l, "\partial_0^D"]
+ & D_1 \arrow[l,"\partial_1^D"]
+ & D_2 \arrow[l,"\partial_2^D"]
+ & \dots \arrow[l]
+ \arrow[l, "\partial_{k-1}^D"]
& D_k
- \arrow[r, "\partial_k^D"]
- & D_{k+1}\arrow[r, "\partial_{k+1}^D"]
+ \arrow[l, "\partial_k^D"]
+ & D_{k+1}\arrow[l, "\partial_{k+1}^D"]
& \dots
\end{tikzcd}
\label{buch:komplex:abbcd}
--
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