From 40db89ca6efb1a6b962fe237c5641c939b18dde6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nao Pross Date: Tue, 25 May 2021 00:47:51 +0200 Subject: Add book reference, fix typos --- buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/chapters') diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex index 9848469..7628942 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex @@ -182,7 +182,7 @@ begegnet, wo wir nur gezeigt haben, dass $AA^{-1}=E$ ist. Da aber die invertierbaren Matrizen eine Gruppe bilden, folgt jetzt aus dem Satz automatisch, dass auch $A^{-1}A=E$. -\subsubsection{Homomorphismen} +\subsubsection{Homomorphismen} \label{buch:gruppen:subsection:homomorphismen} Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen zeichnen sich dadurch aus, dass sie die algebraische Struktur des Vektorraumes respektieren. Für eine Abbildung zwischen Gruppen heisst dies, dass die Verknüpfung, -- cgit v1.2.1 From c4cd9d1d746d382c4afe67078cb31997db1a5f9c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nao Pross Date: Tue, 25 May 2021 00:53:59 +0200 Subject: Typos in chapter Vectore und Matrizen --- buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex | 4 ++-- 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/chapters') diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex index 9848469..6453566 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex @@ -313,14 +313,14 @@ auf einem geeigneten Vektorraum. \begin{definition} \label{buch:vektorenmatrizen:def:darstellung} Eine Darstellung einer Gruppe $G$ ist ein Homomorphismus -$G\to\operatorname{GL}_(\mathbb{R})$. +$G\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. \index{Darstellung} \end{definition} \begin{beispiel} Die Gruppen $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$, $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ oder $\operatorname{SO}(n)$ -sind alle Teilmengen von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R}$. + sind alle Teilmengen von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. Die Einbettungsabbildung $G\hookrightarrow \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ ist damit automatisch eine Darstellung, sie heisst auch die {\em reguläre Darstellung} der Gruppe $G$. -- cgit v1.2.1 From f1229a2d10f67eaefa4903a1e94d8259517bdd1c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nao Pross Date: Tue, 25 May 2021 00:56:22 +0200 Subject: Remove whitespace Made a typo while fixing one ... --- buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/chapters') diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex index 6453566..dfa7ab9 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex @@ -320,7 +320,7 @@ $G\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. \begin{beispiel} Die Gruppen $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$, $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ oder $\operatorname{SO}(n)$ - sind alle Teilmengen von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. +sind alle Teilmengen von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. Die Einbettungsabbildung $G\hookrightarrow \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ ist damit automatisch eine Darstellung, sie heisst auch die {\em reguläre Darstellung} der Gruppe $G$. -- cgit v1.2.1 From 0c790bc7f4a0e39efc45b5aa007a4e0d94ae5b74 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nao Pross Date: Wed, 26 May 2021 15:48:00 +0200 Subject: Typo in lie groups --- buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/chapters') diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex index d6fc007..e92c254 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex @@ -29,7 +29,7 @@ wenn es gelingt, eine Karte für eine Umgebung des neutralen Elements zu finden. Dazu muss gezeigt werden, dass sich aus einer solchen Karte für jedes andere Gruppenelement eine Karte für eine Umgebung ableiten lässt. -Sei also $\varphi_e\colon U_e\mathbb{R}^N$ eine Karte für die Umgebung +Sei also $\varphi_e\colon U_e \to \mathbb{R}^N$ eine Karte für die Umgebung $U_e\subset G$ von $e\in G$. Für $g\in G$ ist dann die Abbildung \[ -- cgit v1.2.1 From 9771c90a2643fc790dec3fb66741b969a379682e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 28 May 2021 08:27:18 +0200 Subject: wavelets, slides --- buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex | 34 +++++++++++++++++----------------- 1 file changed, 17 insertions(+), 17 deletions(-) (limited to 'buch/chapters') diff --git a/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex b/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex index ae065bc..ef1520e 100644 --- a/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex +++ b/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex @@ -174,14 +174,14 @@ die in der Umgebung eines Knotens wie die Konstante Funktion aussehen. Das Mutter-Wavelet einer Wavelet-Analyse zeichnet definiert, in welchem Mass sich Funktionen im Orts- und im Frequenzraum lokalisieren lassen. Die Standardbasis der Funktionen auf einem Graphen repräsentieren die -perfekte örtliche Lokalisierung, Eigenbasis der Laplace-Matrix repräsentiert +perfekte örtliche Lokalisierung, Eigenbasis der Laplace-Matrix $L$ repräsentiert die perfekte Lokalisierung im Frequenzraum. Sei $g(\lambda)\ge 0$ eine Funktion im Frequenzraum, die für $\lambda\to0$ und $\lambda\to\infty$ rasch abfällt mit einem Maximum irgendwo dazwischen (Abbildung~\ref{buch:graphs:fig:lokalisierung}). Sie kann als eine Lokalisierungsfunktion im Frequenzraum betrachtet werden. -Die Matrix $g(I)$ bildet entfernt aus einer Funktion die ganz hohen und +Die Matrix $g(L)$ bildet entfernt aus einer Funktion die ganz hohen und die ganz tiefen Frequenz, lokalisiert also die Funktionen im Frequenzraum. Die Standardbasisvektoren werden dabei zu Funktionen, die nicht mehr nur auf einem Knoten von $0$ verschieden sind, aber immer noch einigermassen @@ -190,15 +190,15 @@ Natürlich sind vor allem die Werte auf den Eigenwerten $\lambda_0 < \lambda_1\le \dots\le \lambda_n$ der Laplace-Matrix von Interesse. -Die Matrix $g(I)$ kann mit Hilfe der Spektraltheorie berechnet werden, +Die Matrix $g(L)$ kann mit Hilfe der Spektraltheorie berechnet werden, was im vorliegenden Fall naheliegend ist, weil ja die Eigenvektoren von der Laplace-Matrix bereits bekannt sind. Die Matrix $\chi^t$ bildet die Standardbasisvektoren in die Eigenbasis-Vektoren ab, also in eine Zerlegung im Frequenzraum ab, $\chi$ vermittelt die Umkehrabbildung. -Mit der Spektraltheorie findet man für die Abbildung $g(I)$ die Matrix +Mit der Spektraltheorie findet man für die Abbildung $g(L)$ die Matrix \begin{equation} -g(I) +g(L) = \chi \begin{pmatrix} @@ -214,7 +214,7 @@ g(\lambda_0)&0&\dots&0\\ \subsubsection{Dilatation} Die Dilatation um $a$ im Ortsraum wird zu einer Dilatation um $1/a$ im Frequenzraum. -Statt also nach einer echten Dilatation der Spaltenvektoren in $g(I)$ +Statt also nach einer echten Dilatation der Spaltenvektoren in $g(L)$ zu suchen, kann man sich darauf verlegen, Funktionen zu finden, deren Spektrum von einer Funktionen lokalisiert worden ist, die eine Dilatation von $g$ ist. @@ -225,9 +225,9 @@ Die zugehörigen Wavelet-Funktionen auf dem Graphen können wieder mit der Formel~\eqref{buch:graphen:eqn:mutterwavelet} berechnet werden, man erhält \begin{equation} -\tilde{D}_{1/a_i}g(I) +\tilde{D}_{1/a_i}g(L) = -g_i(I) +g_i(L) = \chi \begin{pmatrix} @@ -238,30 +238,30 @@ g(a_i\lambda_0)&0&\dots&0\\ \end{pmatrix} \chi^t . \end{equation} -Die Spalten von $g_i(I)$ bilden wieder eine Menge von Funktionen, die +Die Spalten von $g_i(L)$ bilden wieder eine Menge von Funktionen, die eine gemäss $g_i$ lokalisiertes Spektrum haben. \subsubsection{Vater-Wavelet} Wegen $g(0)=0$ wird die konstante Funktion, die Eigenvektor zum Eigenwert -$\lambda_0=0$ ist, von den Abbildungen $g_i(I)$ auf $0$ abgebildet. +$\lambda_0=0$ ist, von den Abbildungen $g_i(L)$ auf $0$ abgebildet. Andererseits ist diese Funktion nicht lokalisiert, man möchte Sie also für die Analyse nicht unbedingt verwenden. Man wählt daher eine Funktion $h(\lambda)$ mit $h(0)=1$ so, dass für $\lambda\to \infty$ der Wert $h(\lambda)$ genügend rasch gegen $0$ geht. -Die Matrix $h(I)$ bildet daher den konstanten Vektor nicht auf $0$ ab, +Die Matrix $h(L)$ bildet daher den konstanten Vektor nicht auf $0$ ab, sondern lokalisiert ihn im Ortsraum. -Wir erhalten daher in den Spalten von $h(I)$ Vektoren, die um die +Wir erhalten daher in den Spalten von $h(L)$ Vektoren, die um die einzelnen Knoten lokalisiert sind. \subsubsection{Rekonstruktion} -Die Operatoren $h(I)$ und $g_i(I)$ erzeugen analysieren eine Funktion +Die Operatoren $h(L)$ und $g_i(L)$ erzeugen analysieren eine Funktion nach den verschiedenen Frequenzen mit den Skalierungsfaktoren $a_i$, aber die Rekonstruktion ist noch nicht klar. Diese wäre einfacher, wenn die Operatoren zusammen die identische Abbildung ergäben, wenn also \[ -h(I) + \sum_{i}g_i(I)=I +h(L) + \sum_{i}g_i(L)=I \] gelten würde. Nach der Spektraltheorie gilt das nur, wenn für alle Eigenwerte @@ -301,14 +301,14 @@ B\|v\|^2 Die Zahlen $A$ und $B$ heissen die {\em Frame-Konstanten} des Frames. \end{definition} -Die oben gefundenen Vektoren, die Spalten Vektoren von $h(I)$ und $g_i(I)$ +Die oben gefundenen Vektoren, die Spalten Vektoren von $h(L)$ und $g_i(L)$ bilden daher ein Frame. Die Frame-Konstanten kann man unmittelbar ausrechnen. Der mittlere Term von \eqref{buch:graphen:eqn:frame} ist \[ -\|h(I) v\|^2 +\|h(L) v\|^2 + -\sum_{i} \|g_i(I)v\|^2, +\sum_{i} \|g_i(L)v\|^2, \] die durch die Funktion \[ -- cgit v1.2.1