From 70215b72a37c2191bc6119c008d2117ed122cc7e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Roy Seitz Date: Wed, 27 Jan 2021 15:04:26 +0100 Subject: Typos. --- buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex | 28 +++++------ buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex | 8 ++-- buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex | 2 +- buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex | 14 +++--- buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex | 13 +++--- buch/chapters/05-zahlen/reell.tex | 14 +++--- buch/chapters/20-polynome/chapter.tex | 13 +++--- buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex | 54 +++++++++++----------- buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex | 8 ++-- buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex | 10 ++-- buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex | 32 ++++++------- buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex | 8 ++-- buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex | 8 ++-- buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex | 6 +-- buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex | 4 +- buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex | 2 +- buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex | 4 +- 17 files changed, 115 insertions(+), 113 deletions(-) (limited to 'buch/chapters') diff --git a/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex b/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex index a6b62b1..8433572 100644 --- a/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex +++ b/buch/chapters/00-einleitung/chapter.tex @@ -44,10 +44,9 @@ Zum Beispiel beschreibt die Gleichung x^2+(y-1)^2=4 \] einen Kreis mit Radius $2$ um den Punkt $(0,1)$. -Der Kreis hat natürlich zwei Schnittpunkte mit der $x$-Achse, wie jede -Gerade, deren Abstand vom Mittelpunkt des Kreises kleiner als der Radius -ist. -Die Schnittpunkte haben die Koordinaten $(x_S,0)$ und $x_S$ muss die +Der Kreis hat natürlich zwei Schnittpunkte mit der $x$-Achse, wie mit jeder +Gerade, deren Abstand vom Mittelpunkt des Kreises kleiner ist als der Radius. +Schnittpunkte haben die Koordinaten $(x_S,0)$ und $x_S$ muss die Gleichung \[ x_S^2 + (0-1)^2 = x_S^2+1=4 @@ -75,14 +74,15 @@ hinzufügt, welches als spezielle Eigenschaft die Gleichung $i^2=-1$ hat. Bei $\sqrt{2}$ hat die geometrische Anschauung suggeriert, dass es eine solche Zahl ``zwischen'' den rationalen Zahlen gibt, aber für $i$ gibt es keine solche Anschauung. -Die imaginäre Einheit $i$ erhielt daher auch diesen durchaus +Die imaginäre Einheit $i$ erhielt daher auch diesen durchaus abwertend gemeinten Namen. Die Zahlensysteme lassen sich also verstehen als einfachere Zahlensysteme, denen man zusätzliche Objekte mit besonderen algebraischen Eigenschaften hinzufügt. -Doch was sind das für Objekte, gibt es die überhaupt? -Kann man deren Existenz einfach so postulieren, so wie man das mit $i$ +Doch was sind das für Objekte? +Gibt es die überhaupt? +Kann man deren Existenz einfach so postulieren, so wie man das mit $i$ gemacht hat? Und was macht man, wenn man sich den nächsten ``algebraischen Wunsch'' erfüllen will, auch einfach wieder die Existenz des neuen Objektes @@ -100,7 +100,7 @@ a_{21}&a_{22} gruppiert und die Rechenoperationen \begin{align*} A+B -& +&= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} @@ -128,8 +128,8 @@ b_{21}&b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{21} + a_{12}b_{22} \\ -a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{21} + a_{22}b_{22} +a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ +a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{pmatrix} \end{align*} definiert, kann man neue Objekte mit zum Teil bekannten, zum Teil @@ -161,7 +161,7 @@ J^2 = -E = -A_1. \] Das neue Objekt $J$ ist ein explizit konstruiertes Objekt, welches -die genau die rechnerischen Eigenschaften der imaginären Einheit $i$. +genau die rechnerischen Eigenschaften der imaginären Einheit $i$ hat. Die imaginäre Einheit ist nicht die einzige Grösse, die sich auf diese Weise konstruieren lässt. @@ -171,7 +171,7 @@ W=\begin{pmatrix} 0&2\\1&0 \end{pmatrix} \qquad\text{die Gleichung}\qquad W^2 = \begin{pmatrix} 2&0\\0&2\end{pmatrix} = A_2, \] -die Menge der Matrizen der +die Menge der Matrizen \[ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) = @@ -184,8 +184,8 @@ a,b\in\mathbb{Q} verhält sich daher genau so wie die Menge der rationalen Zahlen, denen man ein ``imaginäres'' neues Objekt $\sqrt{2}$ hinzugefügt hat. -Matrizen sind also ein Werkzeug, mit dem sich algebraisches Systeme -mit fast beliebigen Eigenschaften konstruieren lassen. +Matrizen sind also ein Werkzeug, mit dem sich ein algebraisches Systeme +mit fast beliebigen Eigenschaften konstruieren lässt. Dies führt zu einer Explosion der denkbaren algebraischen Strukturen. Kapitel~\ref{buch:chapter:vektoren-und-matrizen} bringt etwas Ordnung in diese Vielfalt, indem die grundlegenden Strukturen charakterisiert diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex index fe294d6..56ef096 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex @@ -10,10 +10,10 @@ Das Thema dieses Buches ist die Konstruktion interessanter mathematischer Objekte mit Hilfe von Matrizen. -Die Einträge dieser Matrizen sind natürlich Zahlen, wir wollen -von diesen als den grundlegenden Bausteinen ausgehen. +Die Einträge dieser Matrizen sind natürlich Zahlen. +Wir wollen von diesen grundlegenden Bausteinen ausgehen. Dies schliesst natürlich nicht aus, dass man auch Zahlenmengen -mit Hilfe Matrizen beschreiben kann, wie wir es später für die +mit Hilfe von Matrizen beschreiben kann, wie wir es später für die komplexen Zahlen machen werden. In diesem Kapitel sollen daher die Eigenschaften der bekannten @@ -21,7 +21,7 @@ Zahlensysteme der natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen nochmals in einer Übersicht zusammengetragen werden. Dabei wird besonderes Gewicht darauf gelegt, wie in jedem Fall -einerseits neue Objekte postuliert werden können, andererseits +einerseits neue Objekte postuliert, andererseits aber auch konkrete Objekte konstruiert werden können. \input{chapters/05-zahlen/natuerlich.tex} diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex index 8dd4a62..8a13de8 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex @@ -57,7 +57,7 @@ a+b' = a'+b. \] Man nennt eine solche Menge eine {\em Äquivalenzklasse} der Relation $\sim$. -Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} Ist die Menge aller solchen +Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} ist die Menge aller solchen Äquivalenzklassen. Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ist in evidenter Weise darin eingebettet als die Menge der Äquivalenzklassen von Paaren der diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex index 0c5eb70..3cbf473 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex @@ -6,8 +6,8 @@ \section{Komplexe Zahlen \label{buch:section:komplexe-zahlen}} \rhead{Komplexe Zahlen} -In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen, -andere, z.~B.~die Gleichung +In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen. +Andere, z.~B.~die Gleichung \begin{equation} x^2+1=0, \label{buch:zahlen:eqn:igleichung} @@ -50,7 +50,7 @@ wie folgt definiert werden: \end{aligned} \label{buch:zahlen:cregeln} \end{equation} -Diese Regeln sich ganz natürlich, sie ergeben sich aus den Rechenregeln +Diese Regeln ergeben sich ganz natürlich aus den Rechenregeln in $\mathbb{R}$ unter Berücksichtigung der Regel $i^2=-1$. Eine komplexe Zahl ist ein solches Paar, die Menge der komplexen Zahlen @@ -68,7 +68,7 @@ reeller Vektorraum. Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der Realteil $a=\Re z$ und $b$ heisst der Imaginärteil $\Im z$. Real- und Imaginärteil sind lineare Abbildungen $\mathbb{C}\to\mathbb{R}$, -sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechen +sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechend auch die reelle und die imaginäre Achse heissen. Die Multiplikation mit $i$ vertauscht Real- und Imaginärteil: @@ -122,8 +122,8 @@ In $\mathbb{R}$ kann man die Ordnungsrelation dazu verwenden zu entscheiden, ob eine Zahl $0$ ist. Wenn $x\ge 0$ ist und $x\le 0$, dann ist $x=0$. In $\mathbb{C}$ steht diese Ordnungsrelation nicht mehr zur Verfügung. -Eine komplexe Zahl ist von $0$ verschieden, wenn der Vektor in der -Zahlenebene Länge verschieden von $0$ ist. +Eine komplexe Zahl ist von $0$ verschieden, wenn die Länge des Vektors in der +Zahlenebene verschieden von $0$ ist. Wir definieren daher den Betrag einer komplexen Zahl $z=a+bi$ als \[ |z|^2 @@ -145,7 +145,7 @@ Der Betrag ist immer eine reelle Zahl. \subsubsection{Division} Die Erweiterung zu den komplexen Zahlen muss auch die Division erhalten. Dies ist durchaus nicht selbstverständlich. -Man kann zeigen, dass ein Produkt von Vektoren eines Vektorraums, nur für +Man kann zeigen, dass ein Produkt von Vektoren eines Vektorraums nur für einige wenige, niedrige Dimensionen überhaupt möglich ist. Für die Division sind die Einschränkungen noch gravierender, die einzigen Dimensionen $>1$, in denen ein Produkt mit einer Division definiert werden diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex index 278aa5e..086658f 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex @@ -34,7 +34,7 @@ $n'\in \mathbb{N}$. \item Wenn zwei Zahlen $n,m\in\mathbb{N}$ den gleichen Nachfolger haben, $n'=m'$, dann sind sie gleich $n=m$. \item Enthält eine Menge $X$ die Zahl $0$ und mit jeder Zahl auch ihren -Nachfolger, dann ist $X\subset\mathbb{N}$. +Nachfolger, dann ist $X\subset\mathbb{N}$. %TODO: X = N?... \end{enumerate} \subsubsection{Addition} @@ -145,7 +145,7 @@ a\cdot(b+c) = ab+ac \qquad\text{und}\qquad (a+b)c = ac+bc \] -gilt. +gelten. Das Distributivgesetz drückt die wohlbekannte Regel des Ausmultiplizierens aus. Ein Distributivgesetz ist also grundlegend dafür, dass man mit den @@ -165,13 +165,14 @@ Lösung in $\mathbb{N}$ hat. \index{teilbar}% Jede natürlich Zahl $n$ ist durch $1$ teilbar und auch durch sich selbst, denn $n\cdot 1 = n$. -Andere Teiler sind dagegen nicht selbstverständlich, die Zahlen +Andere Teiler sind dagegen nicht selbstverständlich. +Die Zahlen \[ \mathbb{P} = -\{2,3,5,7,11,17,19,23,29,\dots\} +\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,\dots\} \] -haben keine weiteren Teiler, sie heissen {\em Primzahlen}. +haben keine weiteren Teiler. Sie heissen {\em Primzahlen}. \index{Primzahl}% Die Menge der natürlichen Zahlen ist die naheliegende Arena für die Zahlentheorie. @@ -205,7 +206,7 @@ Die natürlichen Zahl sind also nacheinander die Mengen \begin{align*} 0 &= \emptyset \\ -1 &= \emptyset \cup \{\emptyset\} = \{0\} +1 &= 0 \cup \{0\} = \emptyset \cup \{0\} = \{0\} \\ 2 &= 1 \cup \{ 1\} = \{0\}\cup\{1\} = \{0,1\} \\ diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex index 1f241a2..4064887 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex @@ -12,8 +12,8 @@ Dass die Gleichung $x^2=2$ keine rationale Lösung hat, ist schon den Pythagoräern aufgefallen. Die geometrische Intuition der Zahlengeraden führt uns dazu, nach Zahlen zu suchen, die gute Approximationen für $\sqrt{2}$ sind. -Wir können zwar keine Bruch angeben, dessen Quadrat $2$ ist, aber -wenn es eine Zahl $\sqrt{2}$ mit dieser Eigenschaft git, dann können +Wir können zwar keinen Bruch angeben, dessen Quadrat $2$ ist, aber +wenn es eine Zahl $\sqrt{2}$ mit dieser Eigenschaft gibt, dann können wir dank der Ordnungsrelation feststellen, dass sie in all den folgenden, kleiner werdenden Intervallen \[ @@ -28,13 +28,13 @@ schnell, sie sind mit der sogenannten Kettenbruchentwicklung der Zahl $\sqrt{2}$ gewonnen.}. Jedes der Intervalle enthält auch das nachfolgende Intervall, und die intervalllänge konvergiert gegen 0. -Eine solche Intervallschachtelung beschreibt also genau eine Zahl, +Eine solche \emph{Intervallschachtelung} beschreibt also genau eine Zahl, aber möglicherweise keine, die sich als Bruch schreiben lässt. -Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann auch als die Menge -aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$. -Eine Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn für jedes $\varepsilon>0$ -es eine Zahl $N(\varepsilon)$ gibt derart, dass $|a_n-a_m|<\varepsilon$ +Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann man auch als Menge +aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ betrachten. +Eine Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn es für jedes $\varepsilon>0$ +eine Zahl $N(\varepsilon)$ gibt derart, dass $|a_n-a_m|<\varepsilon$ für $n,m>N(\varepsilon)$. Ab einer geeigneten Stelle $N(\varepsilon)$ sind die Folgenglieder also mit Genauigkeit $\varepsilon$ nicht mehr unterscheidbar. diff --git a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex index b044bcd..c7fc9e9 100644 --- a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex +++ b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex @@ -15,7 +15,7 @@ p(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1} + \cdots a_2X^2 + a_1X + a_0. Ursprünglich stand das Symbol $X$ als Platzhalter für eine Zahl. Die Polynomgleichung $Y=p(X)$ drückt dann einen Zusammenhang zwischen den Grössen $X$ und $Y$ aus. -Zum Beispiel drückt +Zum Beispiel drückt \begin{equation} H = -\frac12gT^2 + v_0T +h_0 = p(T) \label{buch:eqn:polynome:beispiel} @@ -53,14 +53,14 @@ gelten. In dieser algebraischen Sichtweise können je nach den gewählten algebraischen Rechenregeln für $X$ interessante rechnerische Strukturen abgebildet werden. \index{algebraische Sichtweise}% -Ziel dieses Kapitels ist zu zeigen, wie man die Rechenregeln für $X$ +Ziel dieses Kapitels ist zu zeigen, wie man die Rechenregeln für $X$ mit Hilfe von Matrizen allgemein darstellen kann. Diese Betrachtungsweise wird später in Anwendungen ermöglichen, -handliche Realisierungen für das Rechnen mit Grössen zu finden, +handliche Realisierungen für das Rechnen mit Grössen zu finden, die polynomielle Gleichungen erfüllen. Ebenso sollen in späteren Kapiteln die Regeln \eqref{buch:eqn:polynome:basic} -erweitert werden oder abgelöst werden um weitere Anwendungen zu erschliessen. +erweitert oder abgelöst werden um weitere Anwendungen zu erschliessen. Bei der Auswahl der zusätzlichen algebraischen Regeln muss man sehr vorsichtig vorgehen. @@ -71,7 +71,7 @@ Aber auch eine Regel wie $X^2 \ge 0$, die für alle reellen Zahlen gilt, würde die Anwendungsmöglichkeiten zu stark einschränken. Es gibt zwar keine reelle Zahl, die man in das Polynom $p(X)=X^2+1$ einsetzen könnte, so dass es den Wert $0$ annimmt. -Man könnte $X$ aber als ein neues Objekt ausserhalb von $\mathbb{R}$ +Man könnte $X$ aber als ein neues Objekt ausserhalb von $\mathbb{R}$ betrachten, welches die Gleichung $X^2+1=0$ erfüllt. In den komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ gibt es mit der imaginären Einheit $i\in\mathbb{C}$ tatsächlich ein Zahl mit der Eigenschaft @@ -80,7 +80,8 @@ verletzt. Für das Symbol $X$ sollen also die ``üblichen'' Rechenregeln gelten. Dies ist natürlich nur sinnvoll, wenn man auch mit den Koeffizienten -$a_0,\dots,a_n$ rechnen kann, sind müssen also Elemente einer +$a_0,\dots,a_n$ rechnen kann. +Sie müssen also Elemente einer algebraischen Struktur sein, in der mindestens die Addition und die Multiplikation definiert sind. Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ kommen dafür in Frage, aber auch diff --git a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex index 82356d7..4794dea 100644 --- a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex +++ b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \section{Definitionen \label{buch:section:polynome:definitionen}} \rhead{Definitionen} -In diesem Abschnitt stellen wir einige grundlegende Definitionen für das +In diesem Abschnitt stellen wir einige grundlegende Definitionen für das Rechnen mit Polynomen zusammen. % @@ -26,7 +26,7 @@ unter einer ``Zahl'' vorstellen. Wir bezeichnen die Menge, aus der die ``Zahlen'' kommen können mit $R$ und nennen sie die Menge der Skalare. \index{Skalar}% -Wenn wir uns vorstellen, dass man die Elemente von $R$ an Stelle von $X$ +Wenn wir uns vorstellen, dass man die Elemente von $R$ an Stelle von $X$ in das Polynom einsetzen kann, dann muss es möglich sein, in $R$ zu Multiplizieren und zu Addieren, und es müssen die üblichen Rechenregeln der Algebra gelten, $R$ muss also ein Ring sein. @@ -44,7 +44,7 @@ R[X] p(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1} + \dots a_1X+a_0\;|\; a_k\in R, n\in\mathbb{N} \} \] -heisst die Menge der {\em Polynome} mit Koeffizienten in $R$ +heisst die Menge der {\em Polynome} mit Koeffizienten in $R$ oder {\em Polynome über} $R$. \index{Polynome über $R$}% @@ -77,7 +77,7 @@ Ein Polynom heisst {\em normiert} oder auch {\em monisch}, wenn der höchste Koeffizient oder auch {\em Leitkoeffizient} des Polynomus $1$ ist, also $a_n=1$. \index{Leitkoeffizient}% -Wann man in $R$ durch $a_n$ dividieren kann, dann kann man aus dem Polynom +Wenn man in $R$ durch $a_n$ dividieren kann, dann kann man aus dem Polynom $p(X)=a_nX^n+\dots$ mit Leitkoeffizient $a_n$ das normierte Polynom \[ \frac{1}{a_n}p(X) = \frac{1}{a_n}(a_nX^n + \dots + a_0)= @@ -86,9 +86,8 @@ X^n + \frac{a_{n-1}}{a_n}X^{n-1} + \dots + \frac{a_0}{a_n} machen. Man sagt auch, das Polynom $p(X)$ wurde normiert. -Die Beschreibung der Rechenoperationen wird etwas verkompliziert durch -die Tatsache, zwei Polynome nicht gleich viele von $0$ verschiedene -Koeffizienten haben müssen. +Die Tatsache, dass zwei Polynome nicht gleich viele von $0$ verschiedene Koeffizienten haben müssen, +verkompliziert die Beschreibung der Rechenoperationen ein wenig. Wir werden daher im Folgenden oft für ein Polynom \[ p(X) @@ -118,7 +117,7 @@ definiert ist. Die Menge $R[X]$ aller Polynome über $R$ wird zu einem Ring, wenn man die Rechenoperationen Addition und Multiplikation so definiert, wie man das in der Schule gelernt hat. -Die Summe von zwei Polynomen +Die Summe von zwei Polynomen \begin{align*} p(X) &= a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X + a_0\\ q(X) &= b_mX^m + b_{m-1}X^{m-1} + \dots + b_1X + b_0 @@ -129,7 +128,7 @@ p(X)+q(X) = \sum_{k} (a_k+b_k)X^k, \] -wobei die Summe wieder so zu interpretieren ist, über alle Terme +wobei die Summe wieder so zu interpretieren ist, über alle Terme summiert wird, für die mindestens einer der Summanden von $0$ verschieden ist. @@ -234,7 +233,7 @@ beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradprodukt}. Es könnte aber passieren, dass $a_nb_m=0$ ist, d.~h.~es ist durchaus möglich, dass der Grad kleiner ist. Schliesslich kann der höchsten Koeffizient von $\lambda p(X)$ nicht grösser -als der höchste Koeffizient von $p(X)$ sein, was +als der höchste Koeffizient von $p(X)$ sein, was \eqref{buch:eqn:polynome:gradskalar} beweist. \end{proof} @@ -253,7 +252,7 @@ a_nb_m = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}. \end{equation} Diese unangehme Situation tritt immer ein, wenn es von Null verschiedene Elemente gibt, deren Produkt $0$ ist. -In Matrizenringen ist das der Normalfall, man kann diesen fall also nicht +In Matrizenringen ist das der Normalfall, man kann diesen Fall also nicht einfach ausschliessen. In den Zahlenmengen wie $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{R}$ passiert das natürlich nie. @@ -262,13 +261,13 @@ das natürlich nie. Ein Ring $R$ heisst {\em nullteilerfrei}, wenn für zwei Elemente $a,b\in R$ aus $ab=0$ immer geschlossen werden kann, dass $a=0$ oder $b=0$. -Ein von $0$ verschiedenes Element $a\in R$ heisst ein Nullteiler, -wenn es eine $b\in R$ mit $b\ne 0$ gibt derart dass $b=0$. +Ein von $0$ verschiedenes Element $a\in R$ heisst Nullteiler, +wenn es eine $b\in R$ mit $b\ne 0$ gibt derart dass $ab=0$. \index{Nullteiler} \index{nullteilerfrei} \end{definition} -Die beiden Matrizen in +Die beiden Matrizen in \eqref{buch:eqn:definitionen:nullteilerbeispiel} sind Nullteiler im Ring $M_2(\mathbb{Z})$ der $2\times 2$-Matrizen. Der Matrizenring $M_2(\mathbb{Z})$ ist also nicht nullteilerfrei. @@ -294,17 +293,17 @@ Dann gilt \begin{proof}[Beweis] Der Fall, dass der höchste Koeffizient verschwindet, weil $a_n$, $b_m$ -und $\lambda$ Nullteiler sind, kann unter den gegebenen Voraussetzungen +oder $\lambda$ Nullteiler sind, kann unter den gegebenen Voraussetzungen nicht eintreten, daher werden die in Lemma~\ref{lemma:rechenregelnfuerpolynomgrad} gefunden Ungleichungen -exakt für Produkte exakt. +für Produkte exakt. \end{proof} Die Gleichung \eqref{buch:eqn:polynome:gradskalarexakt} kann im Fall $\lambda=0$ natürlich nicht gelten. Betrachten wir $\lambda$ wieder als ein Polynom, dann folgt aus -\eqref{buch:eqn:polynome:gradproduktexakt}, dass +\eqref{buch:eqn:polynome:gradsummeexakt}, dass \[ \begin{aligned} \lambda&\ne 0 &&\Rightarrow& \deg (\lambda p) &= \deg\lambda + \deg p = 0+\deg p @@ -312,13 +311,14 @@ Betrachten wir $\lambda$ wieder als ein Polynom, dann folgt aus \lambda&=0 &&\Rightarrow& \deg (0 p) &= \deg 0 + \deg p = \deg 0 \end{aligned} \] -Diese Gleichung kann also nur aufrechterhalten werden, wenn $\deg 0$ eine -Zahl ist mit der Eigenschaft, dass man immer noch $\deg 0$ bekommt, -wenn man irgend eine Zahl $\deg p$ hinzuaddiert. -So eine Zahl gibt es in den ganzen Zahlen nicht, wenn zu einer ganzen -Zahl eine andere ganze Zahl hinzuaddiert, ändert sich fast immer etwas. -Man muss daher $\deg 0 = -\infty$ setzen mit der Festlegung, dass -$-\infty + n = -\infty$ gilt für beliebige ganze Zahlen $n$. +Diese Gleichung kann also nur aufrechterhalten werden, wenn die ``Zahl'' $\deg 0$ die Eigenschaft besitzt, dass man immer noch $\deg 0$ bekommt, +wenn man irgend eine Zahl $\deg p$ hinzuaddiert. Wenn also +\[\deg 0 + \deg p = \deg 0 \qquad \forall \deg p \in \mathbb Z\] +gilt. +So eine Zahl gibt es in den ganzen Zahlen nicht. +Wenn man zu einer ganzen Zahl eine andere ganze Zahl hinzuaddiert, ändert sich fast immer etwas. +Man muss daher $\deg 0 = -\infty$ setzen und festlegen, dass +$-\infty + n = -\infty$ für beliebige ganze Zahlen $n$ gilt. \begin{definition} \label{buch:def:definitionen:polynomfilterung} @@ -338,18 +338,18 @@ R^{(-\infty)}[X] & \subset & R^{(0)}[X] & \subset & R^{(1)}[X] & \subset & \dots & \subset & R^{(k)}[X] & \subset - & R^{(k+1)}[x] & \subset & \dots & \subset + & R^{(k+1)}[X] & \subset & \dots & \subset & R[X]\\[3pt] \bigg\| & &\bigg\| & - &\bigg\| & & & + &\bigg\| & & & && && & & & \\[3pt] \{0\} & \subset & R & \subset - & \{ax+b\;|a,b\in R\} & \subset & \dots & + & \{a_1X+a_0\;|a_k\in R\} & \subset & \dots & \end{array} \] und ihre Vereinigung ist $R[X]$. diff --git a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex index a797c09..408587d 100644 --- a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex +++ b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex @@ -35,17 +35,17 @@ Die Abbildung von Vektoren auf Polynome \colon R^n \to R[X] : \begin{pmatrix}a_0\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} -\mapsto +\mapsto a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0 \] -erfüllt also +erfüllt also \[ \varphi( \lambda a) = \lambda \varphi(a) \qquad\text{und}\qquad \varphi(a+b) = \varphi(a) + \varphi(b) \] und ist damit eine lineare Abbildung. -Umgekehrt kann man auch zu jedem Polynom $p(X)$ vom Grad $\le n$ einen +Umgekehrt kann man auch zu jedem Polynom $p(X)$ vom Grad~$\le n$ einen Vektor finden, der von $\varphi$ auf das Polynom $p(X)$ abgebildet wird. Die Abbildung $\varphi$ ist also ein Isomorphismus \[ @@ -108,7 +108,7 @@ b_0\\b_1\\\vdots\\b_m\\0\\\vdots \end{pmatrix} . \] -Die Moduln $R^{k}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber +Die Moduln $R^{k}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber alle auf konsistente Weise mit der Abbildung $\varphi$ in den Polynomring $R[X]$ abgebildet werden. \begin{center} diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex index 1f51fca..57a72a2 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex @@ -75,7 +75,7 @@ Beim Rechnen mit Resten modulo $n$ können Vielfache von $n$ ignoriert werden. Zum Beispiel gilt \[ \begin{aligned} -49&\equiv -1\mod 7& 49&=-1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$} +48&\equiv -1\mod 7& 48&=-1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$} \\ 3\cdot 5=15&\equiv 1\mod 7 & 3\cdot 5&=1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$.} \end{aligned} @@ -278,7 +278,7 @@ zeigt. Man berechnet in $\mathbb{F}_{13}$ die Potenz $11^{666}$. Nach dem kleinen Satz von Fermat ist $11^{13} = 11$ oder $11^{12}=1$, man kann also den Exponenten modulo $12$ reduzieren. -Weil $666=55\cdot 12 + 6$ erhält man $11^{666}= 11^5$. +Weil $666=55\cdot 12 + 6$ erhält man $11^{666}= 11^6$. Da die Potenzen von $11$ etwas mühsam zu berechnen sind, kann man sie wegen $11=-2$ in $\mathbb{F}_{13}$ auch als Potenzen von $-2$ bekommen. @@ -385,7 +385,7 @@ Wenn andererseits eines der Vielfachen von $1$ in $\Bbbk$ verschwindet, dann wissen wir aus Abschnitt~\ref{buch:subsection:arithmetik-modulo-p}, dass der Körper $\mathbb{F}_p$ in $\Bbbk$ enthalten sein muss. -Dies ist der kleinste Teilkörper, der $\Bbbk$ enthalten ist. +Dies ist der kleinste Teilkörper, der in $\Bbbk$ enthalten ist. \begin{definition} Der kleinste Teilkörper eines Körpers $\Bbbk$ heisst der @@ -417,7 +417,7 @@ Auf Zeilen, die zu Exponenten der Form $2^k$ gehören, sind alle Koeffizienten ausser dem ersten und letzten durch $2$ teilbar. \label{buch:endliche-koerper:fig:binomial2}} \end{figure} -Die Abbildung~\ref{buch:endliche-koerper:fig:binomail2} zeigt den +Die Abbildung~\ref{buch:endliche-koerper:fig:binomial2} zeigt den Rest bei Teilung durch $2$ der Binomialkoeffizienten. Man kann daraus ablesen, dass $\binom{n}{m}\equiv 0\mod 2$ für $n=2^k$ und $0{$}c<{$}>{$}c<{$}|} diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex index 536fa7d..c21c403 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex @@ -24,7 +24,7 @@ Polynom in Linearfaktoren = (x-\lambda_1)^{k_1}\cdot (x-\lambda_2)^{k_2}\cdot\dots\cdot (x-\lambda_m)^{k_m} \] -mit Vielfachheiten $k_m$ zerfällt, $\lambda_i\in\Bbbk'$. +mit Vielfachheiten $k_1$ bis $k_m$ zerfällt, $\lambda_i\in\Bbbk'$. Zu jedem Eigenwert $\lambda_i$ gibt es sicher einen Eigenvektor, wir wollen aber in diesem Abschnitt zusätzlich annehmen, dass es eine Basis aus Eigenvektoren gibt. @@ -101,7 +101,7 @@ Nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:zerlegung-in-eigenraeume} liefern die verallgemeinerten Eigenräume $V_i=\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ eine Zerlegung von $V$ in invariante Eigenräume \[ -V=V_1\oplus V_2\oplus \oplus \dots\oplus V_l, +V=V_1\oplus V_2\oplus \dots\oplus V_l, \] derart, dass $A-\lambda_iE$ auf $V_i$ nilpotent ist. Wählt man in jedem der Unterräume $V_i$ eine Basis, dann zerfällt die @@ -239,7 +239,7 @@ charakteristischen Polynom $\chi_A(x)$. -\begin{satz}[Cayley-Hamilton]] +\begin{satz}[Cayley-Hamilton] Ist $A$ eine $n\times n$-Matrix über dem Körper $\Bbbk$, dann gilt $\chi_A(A)=0$. \end{satz} @@ -254,7 +254,7 @@ $\chi_A(x) \dots (\lambda_p-x)^{m_p}$ zerfällt. -Im Vektorraum $\Bbbk''$ kann man eine Basis finden, in der die Matrix +Im Vektorraum $\Bbbk'$ kann man eine Basis finden, in der die Matrix $A$ in Jordan-Matrizen $J_1,\dots,J_p$ zerfällt, wobei $J_i$ eine $m_i\times m_i$-Matrix ist. Für den Block mit der Nummer $i$ erhalten wir diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex index 3afac18..bdc725f 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex @@ -31,7 +31,7 @@ Linearfaktoren \] zerfällt. -Für jedes beliebige Polynome $p(X)=\Bbbk[X]$ der Form +Für jedes beliebige Polynome $p(X)\in\Bbbk[X]$ der Form \[ p(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots a_1x + a_0 \] @@ -80,7 +80,7 @@ mit den Matrixelementen \[ (J_n(\lambda)^k)_{ij} = -\binom{k}{j-i}\lambda^{k-j+i} +\binom{k}{j-i}\lambda^{k-j+i}. \] Die Binomialkoeffizienten verschwinden für $ji+k$. \end{satz} @@ -391,7 +391,7 @@ hat Norm = \max_{|x|=1} |Mx| = -\max_{t\in\mathbb R} \sqrt{2^2\cos^2 t +\frac1{3^2}\sin^2t} \ge 2. +\max_{t\in\mathbb R} \sqrt{2^2\cos^2 t +\frac1{3^2}\sin^2t} = 2. \] Da aber \[ @@ -457,7 +457,7 @@ Iterationsverfahrens Auskunft zu geben. Der Grenzwert ist aber sehr mühsam zu berechnen. \index{Grenzwert}% Es wurde angedeutet, dass der Gelfand-Radius mit dem Spektralradius -übereinstimmt, dem Betrag des des betragsgrössten Eigenwertes. +übereinstimmt, dem Betrag des betragsgrössten Eigenwertes. Dies hat uns ein vergleichsweise einfach auszuwertendes Konvergenzkriterium geliefert. \index{Konvergenzkriterium}% diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex b/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex index 842051b..cadefa3 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/chapter.tex @@ -9,12 +9,12 @@ \rhead{} Die Berechnung der Determinante einer Matrix macht ausgedehnten Gebrauch von der Tatsache, dass die Vertauschung von zwei Zeilen -oder Spalten das Vorzeichen des Wertes der Determinanten bewirkt. +oder Spalten das Vorzeichen des Wertes der Determinanten dreht. In diesem Kapitel sollen die Permutationen der Zeilen abstrakt untersucht werden. -Wir erhalten so eine abstrakte Gruppe, die Permutationsgruppe. +Wir erhalten so eine abstrakte Permutationsgruppe. Ihre Elemente lassen sich auch durch spezielle Matrizen beschreiben, -eine Darstellung der Gruppe, die auch unmittelbar zu einer +eine Darstellung dieser Gruppe, die auch unmittelbar zu einer Formel für die Determinante einer Matrix führt. \input{chapters/50-permutationen/endlich.tex} diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex index 9514f88..c004d64 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/endlich.tex @@ -231,8 +231,8 @@ Basiswechsel auseinander hervorgehen. Dasselbe lässt sich auch im Kontext der symmetrischen Gruppe sagen. Seien $\sigma_1$ und $\sigma_2$ zwei konjugierte Permutationen in $S_n$. -Es gibt also eine Permutation $\gamma\in S_n$ derat, dass -$\sigma_1=\gamma\sigma_2\sigma^{-1}$ oder $\gamma^{-1}\sigma_1\gamma=\sigma_2$. +Es gibt also eine Permutation $\gamma\in S_n$ derart, dass +$\sigma_1=\gamma\sigma_2\gamma^{-1}$ oder $\gamma^{-1}\sigma_1\gamma=\sigma_2$. Dann gilt auch für die Potenzen \begin{equation} \sigma_1^k = \gamma\sigma_2^k\gamma^{-1}. diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex index 14aba7a..7e55364 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/matrizen.tex @@ -62,7 +62,7 @@ A_\sigma \begin{definition} Eine Permutationsmatrix ist eine Matrix $P\in M_n(\Bbbk)$ -derart, die in jeder Zeile und Spalte genau eine $1$ enhalten, +derart, die in jeder Zeile und Spalte genau eine $1$ enthalten ist, während alle anderen Matrixelemente $0$ sind. \end{definition} diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex index 426ece4..baed2fb 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex @@ -196,10 +196,10 @@ Permutationen. \end{definition} Die alternierende Gruppe $A_n$ ist tatsächlich eine Untergruppe. -Zunächst ist $\operatorname{sign}(e)=(-1)^0=01$, also ist $e\in A_n$. +Zunächst ist $\operatorname{sign}(e)=(-1)^0=1$, also ist $e\in A_n$. Es wurde schon gezeigt, dass mit jedem Element $\sigma\in A_n$ auch das inverse Element $\sigma^{-1}\in A_n$ ist. -Es muss aber noch sichergestellt sein, dass das Produkt von zwei +Es muss aber noch sichergestellt werden, dass das Produkt von zwei geraden Transpositionen wieder gerade ist: \[ \begin{aligned} -- cgit v1.2.1