From b6f72c598394253f7105f1507dcf8148ce2fc904 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 3 Sep 2021 11:26:59 +0200 Subject: hermitesch/selbstadjungiert --- buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex | 2 +- buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex | 2 +- .../chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex | 36 ++++++++++++---------- buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex | 8 ++--- 4 files changed, 25 insertions(+), 23 deletions(-) (limited to 'buch/chapters') diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex index d86e225..7e0ec8c 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex @@ -67,7 +67,7 @@ Zahlen mit der Eigenschaft a+b' = a'+b. \] Man nennt eine solche Menge eine {\em Äquivalenzklasse} der Relation $\sim$. -\index{Äquivalenzklasse} +\index{Aquivalenzklasse@Äquivalenzklasse} Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} ist die Menge aller solchen \index{ganze Zahlen}% Äquivalenzklassen. diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex index 53e7295..8c51346 100644 --- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex +++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex @@ -282,7 +282,7 @@ Der Vorteil dieser Definition ist, dass sie die früher definierten natürlichen Zahlen nicht braucht, diese werden jetzt erst konstruiert. Dazu fassen wir in der Menge aller endlichen Mengen die gleich mächtigen Mengen zusammen, bilden also die Äquivalenzklassen der Relation $\sim$. -\index{Äquivalenzklasse}% +\index{Aquivalenzklasse@Äquivalenzklasse}% Der Vorteil dieser Sichtweise ist, dass die natürlichen Zahlen ganz explizit als die Anzahlen von Elementen einer endlichen Menge entstehen. diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex index b249d0d..f89da33 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex @@ -505,35 +505,36 @@ g_{i\!j} \overline{g}_{ji} \quad 1\le i,j\le n. \] -Sie ist nicht mehr symmetrisch, aber selbstadjungiert, gemäss +Sie ist nicht mehr symmetrisch, aber hermitesch, gemäss der folgenden Definition. \begin{definition} -\label{buch:grundlagen:definition:selstadjungiert} +\label{buch:grundlagen:definition:hermitesch} Sei $A$ eine komplexe Matrix mit Einträgen $a_{i\!j}$, dann ist $\overline{A}$ die Matrix mit komplex konjugierten Elementen $\overline{a}_{i\!j}$. Die {\em adjungierte} Matrix ist $A^*=\overline{A}^t$. \index{adjungiert}% -Eine Matrix heisst {\em selbstadjungiert}, wenn $A^*=A$. -\index{selbstadjungiert}% +Eine Matrix heisst {\em hermitesch}, wenn $A^*=A$. +\index{hermitesch}% +Sie heisst {\em antihermitesch}, wenn $A^*=-A$. \end{definition} -\subsection{Symmetrische und selbstadjungierte Abbilungen -\label{buch:subsection:symmetrisch-und-selbstadjungiert}} -In Definition~\ref{buch:grundlagen:definition:selstadjungiert} -wurde der Begriff der selbstadjungierten Matrix basierend +\subsection{Selbstadjungierte Abbilungen +\label{buch:subsection:selbstadjungiert}} +In Definition~\ref{buch:grundlagen:definition:hermitesch} +wurde der Begriff der hermiteschen Matrix basierend eingeführt. Als Eigenschaft einer Matrix ist diese Definition notwendigerweise abhängig von der Wahl der Basis. Es ist nicht unbedingt klar, dass derart definierte Eigenschaften als von der Basis unabhängige Eigenschaften betrachtet werden können. Ziel dieses Abschnitts ist, Eigenschaften wie Symmetrie oder -Selbstadjungiertheit auf basisunabhängige Eigenschaften von +hermitesch auf basisunabhängige Eigenschaften von linearen Abbildungen in einem Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt $\langle\;,\;\rangle$ zu verstehen. -\subsubsection{Symmetrische Abbildungen} +\subsubsection{Reelle selbstadjungierte Abbildungen} Sei $f\colon V\to V$ eine lineare Abbildung. In einer Basis $\{b_1,\dots,b_n\}\subset V$ wird $f$ durch eine Matrix $A$ beschrieben. @@ -553,17 +554,17 @@ a_{ji} \] ist. Daraus leitet sich jetzt die basisunabhängige Definition einer -symmetrischen Abbildung ab. +selbstadjungierten Abbildung ab. \begin{definition} -Eine lineare Abbildung $f\colon V\to V$ heisst {\em symmetrisch}, wenn +Eine lineare Abbildung $f\colon V\to V$ heisst {\em selbstadjungiert}, wenn $\langle x,Ay\rangle=\langle Ax,y\rangle$ gilt für beliebige Vektoren $x,y\in V$. -\index{symmetrische Abbildung}% +\index{selbstadjungierte Abbildung}% \end{definition} Für $V=\mathbb{R}^n$ und das Skalarprodukt $\langle x,y\rangle=x^ty$ -erfüllt eine symmetrische Abbildung mit der Matrix $A$ die Gleichung +erfüllt eine selbstadjungierte Abbildung mit der Matrix $A$ die Gleichung \[ \left. \begin{aligned} @@ -580,15 +581,16 @@ x^tAy x^tA^ty = x^tAy\quad\forall x,y\in\mathbb{R}^n, \] was gleichbedeutend ist mit $A^t=A$. -Der Begriff der symmetrischen Abbildung ist also eine natürliche +Der Begriff der selbstadjungierten Abbildung ist also eine natürliche Verallgemeinerung des Begriffs der symmetrischen Matrix. -\subsubsection{Selbstadjungierte Abbildungen} +\subsubsection{Selbstadjungierte komplexe Abbildungen} In einem komplexen Vektorraum ist das Skalarprodukt nicht mehr bilinear und symmetrisch, sondern sesquilinear und konjugiert symmetrisch. \begin{definition} -Eine lineare Abbildung $f\colon V\to V$ heisst {\em selbstadjungiert}, +Eine lineare Selbstabbildung $f\colon V\to V$ eines komplexen +Vektorraumes heisst {\em selbstadjungiert}, wenn $\langle x,fy\rangle=\langle fx,y\rangle$ für alle $x,y\in\mathbb{C}$. \index{selbstadjungiert}% \end{definition} diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex index db1315a..94a64e1 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex @@ -521,16 +521,16 @@ f(\lambda_1)& & & \\ \] Insgesamt haben wir damit den folgenden {\em Spektralsatz } für symmetrische -und selbstadjungierte Matrizen erhalten. +und hermitesche Matrizen erhalten. \index{Spektralsatz}% \begin{satz}[Spektralsatz] \label{buch:eigenwerte:satz:spektralsatz} \index{symmetrische Matrix}% \index{Matrix, symmetrisch}% -\index{selbstadjungierte Matrix}% -\index{Matrix, selbstadjungiert}% -Ist $A$ symmetrische oder selbstadjungiert Matrix und $f$ eine Funktion +\index{hermitesche Matrix}% +\index{Matrix, hermitesche}% +Ist $A$ symmetrische oder hermitesche Matrix und $f$ eine Funktion auf dem Spektrum $\operatorname{Sp}(A)$ von $A$. Dann gibt es genau eine Matrix $f(A)$, die Grenzwert jeder beliebigen Folge $p_n(A)$ für Polynomfolgen, die auf $\operatorname{Sp}(A)$ -- cgit v1.2.1