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From: Malarius1999 <malarius1999@gmail.com>
Date: Mon, 23 Aug 2021 11:04:41 +0200
Subject: letzter Commit?
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\, zwischen ||

Bei "Fehlendes Verb" bin ich mir ein wenig unsicher. Es Handelt sich doch um eine Aufzählung:
Man
kann dabei mit zwei verschiedenen Systemen arbeiten.
- Mit den Eulerischen Winkeln, ...
- Mit den Quaternionen, ...
Falls doch ein Verb fehlen würde müsste doch bei den Eulerischen Winkeln auch noch etwas fehlen...
---
 buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex | 18 +++++++++---------
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diff --git a/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex
index 6e60be1..d04ea38 100644
--- a/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex
+++ b/buch/papers/clifford/10_Quaternionen.tex
@@ -22,9 +22,9 @@ erreichen, falls $q,v,q^{-1} \in \mathbb{H}$ und die Zusammenhänge
 \begin{align}
 \operatorname{Re}(q) = \operatorname{Re}(q^{-1})\quad\text{und}\quad \operatorname{Im}(q) = -\operatorname{Im}(q^{-1})
 \end{align}
-gelten. Auffallend ist bei der abbildenden Funktion \eqref{QuatRot} schon die Ähnlichkeit zur Funktion \eqref{rotGA} im Abschnitt Drehung. Man könnte sich nun fragen wieso es drei imaginäre Einheiten $i,j,k$ gibt und nicht zwei, was doch näherliegender wäre. Der Grund liegt darin, weil es in drei Dimensionen drei Drehachsen gibt, anstatt nur eine. Wie im Abschnitt Drehung beschrieben können wir auch hier die drei Drehungen durch Linearkombinationen von drei Bivektoren beschreiben. In der geometrischen Algebra ist es leicht herauszufinden, wie viele Imaginärteile für jede weitere Dimension existieren. Dabei muss man nur die Anzahl der unabhängigen Bivektoren ermitteln. In vier Dimensionen würden es beispielsweise durch alle Vektorkombinationen von $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4$ insgesamt 8 Bivektoren existieren (Nicht 16, da $\mathbf{e}_{ij} = -\mathbf{e}_{ji}$ nicht unabhängig voneinander sind).
+gelten. Auffallend ist bei der abbildenden Funktion \eqref{QuatRot} schon die Ähnlichkeit zur Funktion \eqref{rotGA} im Abschnitt Drehung. Man könnte sich nun fragen wieso es drei imaginäre Einheiten $i,j,k$ gibt und nicht zwei, was doch näherliegender wäre. Der Grund liegt darin, weil es in drei Dimensionen drei Drehachsen gibt, anstatt nur eine. Wie im Abschnitt Drehung beschrieben, können wir auch hier die drei Drehungen durch Linearkombinationen von drei Bivektoren beschreiben. In der geometrischen Algebra ist es leicht herauszufinden, wie viele Imaginärteile für jede weitere Dimension existieren. Dabei muss man nur die Anzahl der unabhängigen Bivektoren ermitteln. In vier Dimensionen würden es beispielsweise durch alle Vektorkombinationen von $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4$ insgesamt 8 Bivektoren existieren (Nicht 16, da $\mathbf{e}_{ij} = -\mathbf{e}_{ji}$ nicht unabhängig voneinander sind).
 
-Ohne die geometrische Algebra, haben wir jetzt aber leider ein kleines Problem. Für die Darstellung der Quaternionen bräuchten wir insgesamt vier Achsen. Drei für die imaginären Einheiten und eine für die reelle Einheit. Ein weiterer Nachteil in visueller Hinsicht entsteht beim Anwenden eines Quaternion auf einen Vektor. Sie befinden sich nicht im gleichen Raum und müssen zuerst durch
+Ohne die geometrische Algebra, haben wir jetzt aber leider ein kleines Problem. Für die Darstellung der Quaternionen bräuchten wir insgesamt vier Achsen. Drei für die imaginären Einheiten und eine für die reelle Einheit. Ein weiterer Nachteil in visueller Hinsicht entsteht beim Anwenden einer Quaternion auf einen Vektor. Sie befinden sich nicht im gleichen Raum und müssen zuerst durch
 \begin{align}
 \mathbf{v} = x\mathbf{\hat{x}} + y\mathbf{\hat{y}} + z \mathbf{\hat{z}} \in \mathbb{R}^3 \enspace\mapsto\enspace v = 0 + xi + yj + zk \in \mathbb{H}
 \end{align}
@@ -52,7 +52,7 @@ Betrachten wir nun das Produkt
 \mathbf{qv} &= (w + x\mathbf{e}_{12} + y\mathbf{e}_{23} + z\mathbf{e}_{31})(a\mathbf{e}_1+b\mathbf{e}_2+c\mathbf{e}_3)\\
 &= \underbrace{w(a\mathbf{e}_1+b\mathbf{e}_2+c\mathbf{e}_3)}_{\displaystyle{w\mathbf{v}}} + \underbrace{x(-a\mathbf{e}_2+b\mathbf{e}_1}_{\displaystyle{x\mathbf{v}_{\angle 90^\circ, \parallel \mathbf{e}_{12}}}}+c\mathbf{e}_{123}) + \underbrace{y(-b\mathbf{e}_3+c\mathbf{e}_2}_{\displaystyle{y\mathbf{v}_{\angle 90^\circ, \parallel \mathbf{e}_{23}}}}+a\mathbf{e}_{123}) + \underbrace{z(a\mathbf{e}_3-c\mathbf{e}_1}_{\displaystyle{z\mathbf{v}_{\angle 90^\circ, \parallel \mathbf{e}_{31}}}}-b\mathbf{e}_{123}).
 \end{align}
-Wie schon im zweidimensionalen Fall \eqref{GAdrehstreck}, beschreibt im dreidimensionalen Fall mit drei Bivektoren, jeder Bivektoranteil, um wie viel der um 90° gedrehte zu der Ebene parallele Teil des Vektors gestreckt wird. Dabei dreht jeder Bivektor den Vektor um eine andere Achse und man sieht die dreh-streckende Eigenschaft ähnlich zu den komplexen Zahlen. Der störende Trivektoranteil $(xc+ya+zb)\mathbf{e}_{123}$ bekommt man aber nur weg, indem man, wie in der Drehungsgleichung \eqref{QuatRot}, mit der Inversen Quaternion $\mathbf{q}^{-1}$  multipliziert, wobei die drehgestreckten parallelen Anteile nochmals drehgestreckt werden. Da nur so der Trivektoranteil wegfällt, sieht man, dass die Drehungsformel, der einzige vernünftige Weg ist, mit Quaternionen zu arbeiten.
+Wie schon im zweidimensionalen Fall \eqref{GAdrehstreck}, beschreibt im dreidimensionalen Fall mit drei Bivektoren jeder Bivektoranteil um wie viel der um 90° gedrehte zu der Ebene parallele Teil des Vektors gestreckt wird. Dabei dreht jeder Bivektor den Vektor um eine andere Achse und man sieht die drehstreckende Eigenschaft ähnlich zu den komplexen Zahlen. Der störende Trivektoranteil $(xc+ya+zb)\mathbf{e}_{123}$ bekommt man aber nur weg, indem man, wie in der Drehungsgleichung \eqref{QuatRot}, mit der Inversen Quaternion $\mathbf{q}^{-1}$  multipliziert, wobei die drehgestreckten parallelen Anteile nochmals drehgestreckt werden. Da nur so der Trivektoranteil wegfällt, sieht man, dass die Drehungsformel, der einzige vernünftige Weg ist, mit Quaternionen zu arbeiten.
 
 In der Computergraphik und Robotik macht eine Drehstreckung aber nicht viel Sinn. Wieso sollte ein Objekt bei einer Drehung zusätzlich noch grösser werden? Darum verwendet man sogenannte Einheitsquaternionen, welche den Betrag $|\mathbf{q}|=1$ haben und somit drehen sie die Objekte bzw. Vektoren lediglich.
 \begin{definition}
@@ -67,7 +67,7 @@ Zudem setzten wir $\tilde{x}^2+\tilde{y}^2+\tilde{z}^2=1$, damit
 \end{align}
 Der Winkel $\alpha$ beschreibt dabei, wie im Bild \ref{BildQuaternionBeispiel2} gezeigt, den halben Winkel, um welchen der parallelen Anteil $\mathbf{v_{\parallel}}$ des Vektors $\mathbf{v}$ zur kombinierten Bivektorebene $sin(\alpha)(\tilde{x}\mathbf{e}_{12} + \tilde{y}\mathbf{e}_{23} + \tilde{z}\mathbf{e}_{31})$ gedreht wird.
 
-Um einen Vektor zu drehen, verwendet man die in Abschnitt Drehung hergeleitete Formel 
+Um einen Vektor zu drehen, verwendet man die in Abschnitt 18.4 hergeleitete Formel 
 \begin{align} \label{QuatRotGA}
 \begin{split} 
 \mathbf{v}'' = \mathbf{qvq}^{-1},
@@ -92,12 +92,12 @@ ist. Durch die geometrische Algebra sieht man nun, wieso es wichtig ist, bei Qua
 	\mathbf{q}_{23} &= \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{23}) =  e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{23}} &= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{23})\\
 	\mathbf{q}_{23}^{-1} &&= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} (1- \mathbf{e}_{23})
 	\end{align}
-	welcher um die $\mathbf{e}_{2}$-$\mathbf{e}_{3}$-Ebene um 90 Grad dreht und danach die Einheitsquaternion 
+	welche um die $\mathbf{e}_{2}$-$\mathbf{e}_{3}$-Ebene um 90 Grad dreht und danach die Einheitsquaternion 
 	\begin{align}
 	\mathbf{q}_{31} &= \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)(1\mathbf{e}_{31}) =  e^{(\pi/4)\mathbf{e}_{31}} &= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31})\\
 	\mathbf{q}_{31}^{-1} &&= \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 - \mathbf{e}_{31}),
 	\end{align}
-	welcher um die $\mathbf{e}_{3}$-$\mathbf{e}_{1}$-Ebene  um 90 Grad dreht. Um die vollständige Drehung zu beschreiben, können die Einheitsquaternionen multipliziert werden, wobei die Reihenfolge der Ausführung beachtet werden muss. Somit ist
+	welche um die $\mathbf{e}_{3}$-$\mathbf{e}_{1}$-Ebene  um 90 Grad dreht. Um die vollständige Drehung zu beschreiben, können die Einheitsquaternionen multipliziert werden, wobei die Reihenfolge der Ausführung beachtet werden muss. Somit ist
 	\begin{align} \label{FormelBeispielQuaternion}
 	\mathbf{q} &= \mathbf{q}_{31}\mathbf{q}_{23} = \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31})\textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + \mathbf{e}_{23}) &= \textstyle{\frac{1}{2}}(1 + \mathbf{e}_{31} + \mathbf{e}_{23} + \mathbf{e}_{12})\\
 	\mathbf{q}^{-1} &= \mathbf{q}_{23}^{-1}\mathbf{q}_{31}^{-1} = \textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} (1- \mathbf{e}_{23})\textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 -\mathbf{e}_{31}) &= \textstyle{\frac{1}{2}}(1 - \mathbf{e}_{31} - \mathbf{e}_{23} - \mathbf{e}_{12}).
@@ -111,7 +111,7 @@ ist. Durch die geometrische Algebra sieht man nun, wieso es wichtig ist, bei Qua
 	\end{align}
 	Anders betrachtet könnte man von der Formel \eqref{FormelBeispielQuaternion} sehen, dass der Drehwinkel
 	\begin{align}
-	\alpha = \arccos(w) = \arccos(\textstyle{\frac{1}{2}}) = 60°
+	\alpha = \arccos(w) = \arccos(\textstyle{\frac{1}{2}}) = 60^\circ
 	\end{align}
 	und die Ebene der kombinierten Bivektoren wie in Abbildung \ref{BildQuaternionBeispiel2} aussieht.
 	Somit kann man sich ebenfalls vorstellen, wie der parallele Anteil zur Ebene insgesamt um 120° gedreht wird, während der senkrechte Anteil unverändert bleibt.
@@ -154,8 +154,8 @@ In der Computergrafik wird Interpolation verwendet, um eine flüssige Drehbewegu
 		\end{pmatrix}
 	}_{\displaystyle{R_x(\alpha)}}
 	\end{align}
-	dargestellt werden. Wichtig dabei zu sehen ist, dass die Drehbewegungen durch die einzelnen Matrizen nacheinander ausgeführt werden. Das bedeutet, wenn man die Reihenfolge vertauscht, bekommt man eine völlig andere Drehung. Man kann die Auswirkungen der Reihenfolge gut bei einem Gimbal im Bild \ref{BildReihenfolgeGimbal} sehen. Die Matrix ganz links in der Gleichung \eqref{GADrehmatrix} ist die, welche als letztes Angewendet wird. Somit bildet sie die Drehung des äusseren Rings, welche auch die zwei inneren Ringe und das Objekt mitdreht. Die Matrix ganz rechts hingegen bildet nur die Drehung des inneren Rings, welche nur das Objekt mitdreht. Man kann dabei erkennen, dass vorgehen dabei sehr intuitiv ist, aber es kompliziert sein kann eine gewünschte Drehbewegung auszuführen, da sich beim Drehen der äusseren Achse, sich auch die Inneren drehen. Das bedeutet, wenn man sich eine Drehbewegung um die anfängliche x Achse mit $R_x(\alpha_2)$ wünscht, und vorher eine beliebige Drehung $R = R_z(\gamma_1) R_y(\beta_1) R_x(\alpha_1)$ ausgeführt hat, bekommt man nicht das richtige Ergebnis, da die anfängliche x-Achse durch die Drehmatrizen $R_z(\gamma_1)$ und $R_y(\beta_1)$ zu einer neuen, lokalen x-Achse wurde. 
-	\item Andererseits mit den Quaternionen, welche die besondere Eigenschaft haben, dass eine Drehung immer um die globale Achsen ausgeführt wird, egal in welcher Drehungsposition sich das Objekt befindet.
+	dargestellt werden. Wichtig dabei zu sehen ist, dass die Drehbewegungen durch die einzelnen Matrizen nacheinander ausgeführt werden. Das bedeutet, wenn man die Reihenfolge vertauscht, bekommt man eine völlig andere Drehung. Man kann die Auswirkungen der Reihenfolge gut bei einem Gimbal im Bild \ref{BildReihenfolgeGimbal} sehen. Die Matrix ganz links in der Gleichung \eqref{GADrehmatrix} ist die, welche als letztes Angewendet wird. Somit bildet sie die Drehung des äusseren Rings, welche auch die zwei inneren Ringe und das Objekt mitdreht. Die Matrix ganz rechts hingegen bildet nur die Drehung des inneren Rings, welche nur das Objekt mitdreht. Man kann dabei erkennen, dass Vorgehen dabei sehr intuitiv ist, aber es kompliziert sein kann, eine gewünschte Drehbewegung auszuführen, da sich beim Drehen der äusseren Achse, sich auch die inneren drehen. Das bedeutet, wenn man sich eine Drehbewegung um die anfängliche x Achse mit $R_x(\alpha_2)$ wünscht, und vorher eine beliebige Drehung $R = R_z(\gamma_1) R_y(\beta_1) R_x(\alpha_1)$ ausgeführt hat, bekommt man nicht das richtige Ergebnis, da die anfängliche $x$-Achse durch die Drehmatrizen $R_z(\gamma_1)$ und $R_y(\beta_1)$ zu einer neuen, lokalen $x$-Achse wurde. 
+	\item Mit den Quaternionen, welche die besondere Eigenschaft haben, dass eine Drehung immer um die globale Achsen ausgeführt wird, egal in welcher Drehungsposition sich das Objekt befindet.
 \end{itemize}
 Für Spielentwickler ist es darum meist sinnvoller Quaternionen für Drehbewegungen anzuwenden, als sich mit komplizierten Berechnungen mit Eulerschen Winkeln herumzuschlagen.
 
-- 
cgit v1.2.1

